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文档简介

（正交分解定理，投影定理）设M是Hilbert空间H中的闭线性子空间，则（1）H中任一x都有唯一的表示：x=y+z，其中yGM和zGM丄；（2）H=M㊉M丄。多项式响应面法工程中常见二次响应面表达如下，以二维为例y=P+PX+PX+PX2+Px2+Pxx

011223142512=atPa=1,X,X,X2,X2,XXlT121212P=[p,P,P,P,P,pb012345A=[a,a，…,a]r12mY=[y,y,...,y412m首先必须存在m>6个样本点才能保证最小二乘存在唯一解。以上的问题则等价为如下投影问题，min||Y-AP||来求P的取值。一般欧式空间的2范数构成Hilbert空间。由投影定理，当[Y-AP,=0，Y为AP的最佳逼近元。内积空间为线性空间，求解内积方程得到況,A：=:AP,A]Aty二AtapATYATY即多项式响应面表达式。特点:二次面构造简单，工程应用广泛；对样本点的个数要求不小于(n+l)(n+2)/2，当样本点个数不满足要求时不存在唯vv一解；由于一般假设的是二次响应面，对于多次项问题可能存在精度不高的现象；当新的样本点加入时需要重新构造设计矩阵；对每个样本点的权重选取一致，会导致设计点受离设计点较远的样本点的影响较大；移动最小二乘法核心思想与多项式响应面法一样。移动最小二乘法考虑数据的相关性，认为离估计点越近的样本点相关性越大，即认为在加权最小二乘法构造中所占权重越大。则对每个样本点误差加上权重系数后，其中权重可以理解为对绝对偏差做权重比较，minIW(Y-Ap)二min||WY-WAp||22由投影定理，当fWY-WAp,WA=0，wy为wap的最佳逼近元。求解内积方程得到

p=(AtWtWA)-1AtWtWY由于在投影定理推导最小二乘法过程中选取的权重系数与一般的对平方取系数不同，如下J=2we2ii因此推导结果与课本上结果不同p=p=(ATWA)-lATWY0<p<1i0<p<1ip>1i其中p=i卜.-xll1li节点x的影响域以半径lii衡量，需保证半径li内至少包含其中对应的权重相差一个平方。因此在权重的选取方面略有差异。权函数选取包括三种样条函数，以c1样条函数为例1一3p2+2p3ii0(n+1)(n+2)/2

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