2022届高三人教A版理科数学一轮复习作业（20）两角和与差的正弦余弦正切

课时作业(二十)[第20讲两角和与差的正弦、余弦、正切][时间：35分钟分值：80分]eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2022·课标全国卷]若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．－eq\f(7\r(2),10)\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)\f(\r(2),10)2．[2022·上饶一模]已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,3)，则cos(π＋2α)的值为()A．－eq\f(7,9)\f(2,9)\f(7,9)D．－eq\f(2,3)3．sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为()A．－eq\f(\r(2),5)B．－eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(7\r(2),10)\f(7\r(2),10)4．[2022·广州二模]若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2022·揭阳一模]已知α为锐角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则cosα的值为()\f(4－3\r(3),10)\f(4＋3\r(3),10)\f(4\r(3)－3,10)\f(4\r(3)＋3,10)6．[2022·北京石景山区一模]已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－eq\f(3,5)，则tan2α的值为()\f(4,5)B．－eq\f(23,7)C．－eq\f(24,7)D．－eq\f(8,3)7．若△ABC的内角A满足sin2A＝eq\f(2,3)，则sinA＋cosA等于()\f(\r(15),3)B．－eq\f(\r(15),3)\f(5,3)D．－eq\f(5,3)8．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝eq\f(\r(6),2)，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．b<c<a9．[2022·琼海一模]已知cos(2π－x)＝eq\f(3,5)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan2x＝________.10．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))的值为________．11．[2022·湘西民族中学模拟]化简[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°)的结果是________．12．(13分)设函数f(x)＝sinωx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))，x∈R.(1)若ω＝eq\f(1,2)，求f(x)的最大值及相应的x的集合；(2)若x＝eq\f(π,8)是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(12分)[2022·四川卷]已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,4)))，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝eq\f(4,5)，cos(β＋α)＝－eq\f(4,5)，0＜α＜β≤eq\f(π,2).求证：[f(β)]2－2＝0.

课时作业(二十)【基础热身】1．A[解析]∵cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)－\f(3,5)))＝－eq\f(7\r(2),10)，故选A.2．C[解析]由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,3)，得cosα＝eq\f(1,3)，则cos(π＋2α)＝－cos2α＝－(2cos2α－1)＝eq\f(7,9)，故选C.3．B[解析]∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\f(π,4)cosα＋sineq\f(π,4)sinα＝－eq\f(\r(2),10).4．3[解析]由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1,2)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(\f(1,2)＋1,1－\f(1,2)×1)＝3.【能力提升】5．D[解析]由α为锐角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝eq\f(3,5)，∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(4\r(3)＋3,10)，故选D.6．C[解析]由sin(π＋α)＝－eq\f(3,5)，得sinα＝eq\f(3,5)，又α是第二象限角，故cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2)＝－eq\f(24,7).7．A[解析]∵0＜A＜π，又sin2A＝eq\f(2,3)，即2sinAcosA＝eq\f(2,3)，∴0＜A＜eq\f(π,2)，(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝eq\f(5,3)，则sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3)，故选A.8．B[解析]a＝eq\r(2)sin(45°＋14°)＝eq\r(2)sin59°，b＝eq\r(2)sin(45°＋16°)＝eq\r(2)sin61°，c＝eq\f(\r(6),2)＝eq\r(2)sin60°，∴b>c>a，故选B.\f(24,7)[解析]由cos(2π－x)＝eq\f(3,5)，得cosx＝eq\f(3,5)，由x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosx＝eq\f(3,5)，得sinx＝－eq\r(1－cos2x)＝－eq\f(4,5)，tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝－eq\f(4,3)，∴tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2)＝eq\f(24,7).10．－eq\f(7,9)[解析]coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))－1＝－eq\f(7,9).\r(6)[解析]原式＝2sin50°＋sin10°·eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)·eq\r(2)sin80°＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2sin50°＋2sin10°·\f(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cos10°)))·eq\r(2)cos10°＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2sin50°＋2sin10°·\f(cos60°－10°,cos10°)))·eq\r(2)cos10°＝2eq\r(2)(sin50°cos10°＋sin10°cos50°)＝2eq\r(2)sin60°＝eq\r(6).12．[解答](1)f(x)＝sinωx＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,2)))＝sinωx－cosωx，当ω＝eq\f(1,2)时，f(x)＝sineq\f(x,2)－coseq\f(x,2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，而－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))≤1，所以f(x)的最大值为eq\r(2)，此时，eq\f(x,2)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即x＝eq\f(3π,2)＋4kπ，k∈Z，相应的x的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3π,2)＋4kπ，k∈Z)))).(2)因为f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))，所以，x＝eq\f(π,8)是f(x)的一个零点⇔feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,8)－\f(π,4)))＝0，即eq\f(ωπ,8)－eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，整理，得ω＝8k＋2，又0<ω<10，所以0<8k＋2<10，－eq\f(1,4)<k<1，而k∈Z，所以k＝0，ω＝2，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，f(x)的最小正周期为π.【难点突破】13．[解答](1)∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,4)－2π))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\b\lc\(\r