初二上学期全等三角形专题之角平分线四大模型教案(有答案)

初二上学期全等三角形专题之角平分线四大模型教案(有答案)角平分线四大模型互动精讲【知识梳理】模型一：角平分线+两垂线如图1，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。结论：PB=PA。模型二：角平分线+截长补短如图2，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。结论：△OPB≌△OPA。模型三：角平分线+垂线如图3，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。结论：△AOB是等腰三角形。模型四：角平分线+平行线如图4，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。结论：△POQ是等腰三角形。【例题精讲】模型一：角平分线+两垂线例1、（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是2；（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC。例2、如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD+∠BCD=180°。模型二：角平分线+截长补短例3、已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。求线段BC的长。例4、（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。模型三：角平分线+垂线例5、如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。例6、如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C。模型四：角平分线+平行线1、如图，在△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。要证明BC=AB+CE。首先，连接AE和CD，我们可以发现△ABD与△BCE相似，因为它们有一个共同角B，而∠ABD和∠BCE都是直角。因此，我们可以得到：AB/BC=BD/CE又因为DE=AD，所以△ADE与△ABC相似，因为它们有一个共同角A，而∠ADE和∠ABC都是直角。因此，我们可以得到：AD/AB=DE/BC将DE替换为AD，我们得到：AD/AB=AD/BC移项，得到：AB+BC=AD因此，我们证明了BC=AB+CE。2、如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E。要证明BE=(AC-AB)/2。首先，连接BE和CD，我们可以发现△ABE与△ACD相似，因为它们有一个共同角A，而∠ABE和∠ACD都是直角。因此，我们可以得到：BE/AC=AB/AD又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，因此△ABD与△ACD相似，因为它们有一个共同角A，而∠ABD和∠ACD都是直角。因此，我们可以得到：AB/AC=BD/CD将BD替换为AC-CD，我们得到：AB/AC=(AC-CD)/CD移项，得到：AB/CD=(AC-AB)/AC因此，我们可以得到：BE/CD=(AC-AB)/2AC因为BE和CD是垂直的，所以BE=CD×(AC-AB)/2AC。因此，我们证明了BE=(AC-AB)/2。3、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，要求∠CAP的度数。首先，我们可以发现△ABP与△ACP相似，因为它们有一个共同角A，而∠ABP和∠ACP都是直角。因此，我们可以得到：AP/AB=AC/CP又因为BP是∠ABC的平分线，所以∠ABP=∠CBP，因此△BPC是等腰三角形，因此∠PBC=∠PCB=(180-40)/2=70度。因此，∠ABP=∠ACP=70度。因此，∠CAP=∠BAP-∠BAC=70-40=30度。4、解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB。我们可以发现△ABD与△EFD相似，因为它们有一个共同角A，而∠ABD和∠EFD都是直角。因此，我们可以得到：BD/AB=CD/AC=FD/EF因此，我们可以得到：EF=AB+CD=AB+CE（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F。我们可以发现△ADE与△ABC相似，因为它们有一个共同角A，而∠ADE和∠ABC都是直角。因此，我们可以得到：AD/AB=DE/BC同时，我们可以发现△AED与△ACF相似，因为它们有一个共同角A，而∠AED和∠ACF都是直角。因此，我们可以得到：AE/AC=DE/CF将DE替换为AD×BC/AB，我们得到：AE/AC=AD×BC/(AB×CF)因此，我们可以得到：BE/CF=AB/AC因此，我们可以得到：EF/BE=AB/AC+1（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F。我们可以发现△ADE与△ABC相似，因为它们有一个共同角A，而∠ADE和∠ABC都是直角。因此，我们可以得到：AD/AB=DE/BC同时，我们可以发现△AED与△ACF相似，因为它们有一个共同角A，而∠AED和∠ACF都是直角。因此，我们可以得到：AE/AC=DE/CF将DE替换为AD×BC/AB，我们得到：AE/AC=AD×BC/(AB×CF)因此，我们可以得到：BE/CF=AB/AC因此，我们可以得到：EF/BE=AB/AC+12、在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的一点，且AB＞AC，要证明AB-AC＞PB-PC。3、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上的一点，CE⊥BD于点E。（1）如图①，当BD平分∠ABC时，要求解∠ECD的度数，同时要证明BD=2EC。（2）如图②，过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明猜想。4、如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、