2022年高考数学一轮复习第九篇解析几何椭圆教案理新人教版

第5讲椭圆【2022年高考会这样考】1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．2．考查椭圆的方程及其几何性质．3．考查直线与椭圆的位置关系．【复习指导】1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．基础梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形续表性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．双基自测1．(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()．\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 \f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 D．以上都不对解析∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1.答案C2．(2022·合肥月考)设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()．A．4B．5C解析依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.答案D3．(2022·兰州调研)“－3＜m＜5”是“方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示椭圆”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析要使方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示椭圆，应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m＞0，,m＋3＞0，,5－m≠m＋3，))解得－3＜m＜5且m≠1，因此“－3＜m＜5”是“方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案B4．(2022·淮南五校联考)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq\f(4,5)，则k的值为()．A．－21 B．21C．－eq\f(19,25)或21 \f(19,25)或21解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq\r(5－k)，由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)即eq\f(\r(5－k),3)＝eq\f(4,5)，得k＝－eq\f(19,25)；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq\r(k－5)，由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，即eq\f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq\f(4,5)，解得k＝21.答案C5．(2022·全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2eq\r(2)，所以椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.答案eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1考向一椭圆定义的应用【例1】►(2022·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[审题视点]关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，进而得解．解析由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝eq\f(1,2)×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案3椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．【训练1】已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A．2eq\r(3) B．6C．4eq\r(3) D．12解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，∴周长为4a＝4eq\r(3)(F是椭圆的另外一个焦点)．答案C考向二求椭圆的标准方程【例2】►(1)求与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，－eq\r(3))的椭圆方程．(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．[审题视点]用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定．解(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t＞0)，∵椭圆过点(2，－eq\r(3))，∴t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2，故所求椭圆标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.(2)设所求的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,2c2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，b2＝12.故所求方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．【训练2】(1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程．解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵椭圆过点A(3,0)，∴eq\f(9,a2)＝1，a＝3，∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，∴椭圆过点A(3,0)，∴eq\f(02,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3，又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.综上所述，椭圆方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝eq\f(\r(3),2)|MN|＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)b＝1.∴b＝eq\r(3).a2＝b2＋c2＝4.故椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.考向三椭圆几何性质的应用【例3】►(2022·北京)已知椭圆G：eq\f(x2,4)＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．[审题视点](1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值．解(1)由已知得，a＝2，b＝1，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3).所以椭圆G的焦点坐标为(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)，离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2)))，此时|AB|＝eq\r(3).当m＝－1时，同理可得|AB|＝eq\r(3).当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－m，,\f(x2,4)＋y2＝1.))得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k2m,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2m2－4,1＋4k2).又由l与圆x2＋y2＝1相切，得eq\f(|km|,\r(k2＋1))＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(64k4m2,1＋4k22)－\f(44k2m2－4,1＋4k2))))＝eq\f(4\r(3)|m|,m2＋3).由于当m＝±1时，|AB|＝eq\r(3)，所以|AB|＝eq\f(4\r(3)|m|,m2＋3)，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝eq\f(4\r(3)|m|,m2＋3)＝eq\f(4\r(3),|m|＋\f(3,|m|))≤2，且当m＝±eq\r(3)时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.(1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)弦长公式l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2).【训练3】(2022·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为________．解析设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC为直角三角形，∴1＋1＋eq\r(2)＝4a，则a＝eq\f(2＋\r(2),4)，设|FA|＝x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2a，,1－x＋\r(2)＝2a，))∴x＝eq\f(\r(2),2)，∴1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(6),4)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3).答案eq\r(6)－eq\r(3)考向四椭圆中的定值问题【例4】►(2022·重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，一条准线的方程为x＝2eq\r(2).(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：Oeq\o(P,\s\up6(→))＝Oeq\o(M,\s\up6(→))＋2Oeq\o(N,\s\up6(→))，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－eq\f(1,2).问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．[审题视点](1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P点．解(1)由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(a2,c)＝2eq\r(2)，解得a＝2，c＝eq\r(2)，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由Oeq\o(P,\s\up6(→))＝Oeq\o(M,\s\up6(→))＋2Oeq\o(N,\s\up6(→))得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，故x2＋2y2＝(xeq\o\al(2,1)＋4xeq\o\al(2,2)＋4x1x2)＋2(yeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,2)＋4y1y2)＝(xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1))＋4(xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2))＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOM·kON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,2)，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.所以P点是椭圆eq\f(x2,2\r(5)2)＋eq\f(y2,\r(10)2)＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值．又因c＝eq\r(2\r(5)2－\r(10)2)＝eq\r(10)，因此两焦点的坐标为F1(－eq\r(10)，0)，F2(eq\r(10)，0)．本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点P，利用设而不求的方法求出P点的轨迹方程，从而找出定点．【训练4】(2022·安徽)如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝eq\f(1,2).(1)求椭圆E的方程；(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程．解(1)设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由e＝eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.∴椭圆方程可化为eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1.将A(2,3)代入上式，得eq\f(1,c2)＋eq\f(3,c2)＝1，解得c＝2，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程为y＝eq\f(3,4)(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．设P(x，y)为l上任一点，则eq\f(|3x－4y＋6|,5)＝|x－2|.若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0，∴直线l的方程为2x－y－1＝0.规范解答16——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题【问题研究】求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现．虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上．【解决方案】解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数．【示例】►(本题满分12分)(2022·天津)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝eq\f(5,8)|AB|，求椭圆的方程．第(1)问由|PF2|＝|F1F2|建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B的坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解．[解答示范](1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以eq\r(a－c2＋b2)＝2c.整理得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1＝0，得eq\f(c,a)＝－1(舍)，或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以e＝eq\f(1,2).(4分)(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝eq\r(3)(x－c)．A、B两点的坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋4y2＝12c2，,y＝\r(3)x－c.))消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝eq\f(8,5)c.(6分)得方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝－\r(3)c，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(8,5)c，,y2＝\f(3\r(3),5)c.))不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)c，\f(3\r(3),5)c))，B(0，－eq\r(3)c)，所以|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),5)c＋\r(3)c))2)＝eq\f(16,5)c.(8分)于是|MN|＝eq\f(5,8)|AB|＝2c.圆心(－1，eq\r(3))到直线PF2的距离d＝eq