2018年九年级上册数学知识点总结(收藏版)

2018年九年级上册数学知识点总结(收藏版)九年级上册知识点总结（数学）2017年12月第二十一章一元二次方程22.1一元二次方程一元二次方程是指等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。需要注意的是，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程。一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。一元二次方程的解又叫做根。一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。22.2降次——解一元二次方程22.2.1直接开平方法如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=√a，x2=-√a。直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。22.2.2配方法通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。具体来说，把常数项移到等号的右边；方程两边都除以二次项系数；方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。22.2.3公式法一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=(-b±√(b2-4ac))/2a。这个公式叫做一元二次方程的求根公式，也叫做根公式。以上是一元二次方程的基本知识点总结，掌握好这些知识点，才能更好地解决一元二次方程的相关问题。一元二次方程是数学中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。解一元二次方程的方法有公式法、因式分解法和配方法等。公式法是指利用求根公式，由一元二次方程的系数a、b、c的值直接求得方程的解。具体步骤为：将方程化为一般形式，确定公式中a、b、c的值，求出b²-4ac的值，若b²-4ac≥0，则把a、b、c和b²-4ac的值代入公式即可求解，若b²-4ac＜0，则方程无实数根。因式分解法是指把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。具体步骤为：移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。一元二次方程的根的判别式是b²-4ac，通常用希腊字母△表示它，即△=b²-4ac。当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。在实际问题中，我们可以列出一元二次方程来解决问题。列一元二次方程解应用题的一般步骤为：设未知量，列出方程，化简方程，解方程，检验答案。1.审题是指理解题目，明确已知量和未知量之间的等量关系。2.设元是指设出未知数。3.列方程是关键步骤，要找出能够表达应用题全部含义的相等关系，然后用代数式表示各个量，得到含有未知数的等式，即方程。4.解方程是求出未知数的值。5.验证是指检验方程的解是否符合题意。6.最后写出答案。常见的应用题类型包括数字问题、增长率问题、利润问题和图形面积问题。对于数字问题，可以设出中间数或使用表示方法；对于增长率问题，可以使用平均增长率或平均降低率的等量关系式；对于利润问题，可以使用总利润、单位利润和利润率的相等关系式；对于图形面积问题，可以根据图形的相关元素建立一元二次方程。二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。抛物线的三要素包括开口、对称轴和顶点。二次函数的图象与性质包括基本形式、上加下减、左加右减和一般形式。对于一般形式的二次函数，当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)，其中Δ=b^2-4ac；当x<-b/2a时，y随x增大而减小；当x>-b/2a时，y随x增大而增大；当x=-b/2a时，y有最小值。注意修改格式错误，删除明显有问题的段落，并进行小幅度的改写，使文章更加清晰易懂。和方向，对称轴的位置为x=-b/2a，对称轴的方向与a的正负有关.③c决定抛物线与y轴的交点，即（0，c）.当c>0时，抛物线与y轴有正交点，开口向上；当c<0时，抛物线与y轴有负交点，开口向下；当c=0时，抛物线经过原点.由于抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴是直线x=-b/(2a)。如果b=0时，对称轴为y轴；如果b>0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；如果b<0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。c的大小决定抛物线y=ax^2+bx+c与y轴交点的位置。当x=0时，y=c，所以抛物线与y轴有且只有一个交点（0,c），故如果c=0，抛物线经过原点；如果c>0，与y轴交于正半轴；如果c<0，与y轴交于负半轴。函数y=ax^2+bx+c，当y=0时，得到一元二次方程ax^2+bx+c=0，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。当二次函数的图象与x轴有两个交点时，方程有两个实根；当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，方程有一个相等实根；当二次函数的图象与x轴没有交点时，方程没有实数解。通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：二次函数图象与x轴的交点情况|一元二次方程的解---|---有两个不等实数的交点|方程有两个不等实数的解有一个相等实数的交点|方程有一个相等实数的解没有交点|方程没有实数解关于直线与抛物线的交点，有以下几个知识点：-y轴与抛物线y=ax^2+bx+c的交点为(0,c)。-与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax^2+bx+c有且只有一个交点(h,ah^2+bh+c)。-抛物线与x轴的交点是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点当且仅当判别式大于零，有一个交点（顶点在x轴上）当且仅当判别式等于零，没有交点当且仅当判别式小于零。-平行于x轴的直线与抛物线的交点同样可能有一个交点、两个交点或没有交点。当有两个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax^2+bx+c=k的两个实数根。-一次函数y=kx+n的图像与二次函数y=ax^2+bx+c的图像的交点，由方程组y=kx+n和2y=ax^2+bx+c的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时，两个图像有两个交点。中心对称是指平面内存在一个点O，对于平面内的任意一点P，都存在另外一个点P'，使得OP=OP'，且P、P'、O三点共线。点O称为中心对称中心，P和P'称为中心对称点。知识点二中心对称的性质中心对称具有以下性质：（1）对于平面内的任意两点P和Q，它们的中点M一定是中心对称中心O的对称点，即OM=OM'，M'是M的对称点。（2）对于平面内的任意一条直线l，如果l上有一点P，在l上取P的对称点P'，则l是中心对称中心O的对称轴。（3）中心对称是一种保持大小和形状不变的变换，即中心对称前后的图形全等。（4）中心对称具有传递性，即如果A和B关于O对称，B和C关于O对称，则A和C关于O对称。知识点三中心对称的应用中心对称在几何学中有广泛的应用。例如：（1）在平面内，如果两个点关于中心对称中心对称，则它们的距离相等。（2）在平面内，如果一个点和它的对称点关于一条直线对称，则这条直线是它们的中垂线。（3）在平面内，如果一个三角形和它的对称三角形关于中心对称中心对称，则这两个三角形全等。（4）在平面内，如果一个多边形和它的对称多边形关于中心对称中心对称，则这两个多边形全等。23.3轴对称知识点一轴对称的定义轴对称是指平面内存在一条直线l，对于平面内的任意一点P，都存在另外一个点P'，使得P、P'在直线l上，且l是P和P'的中垂线。直线l称为轴对称轴。知识点二轴对称的性质轴对称具有以下性质：（1）对于平面内的任意两点P和Q，它们的中点M一定在轴对称轴l上。（2）轴对称是一种保持大小和形状不变的变换，即轴对称前后的图形全等。（3）轴对称具有传递性，即如果A和B关于轴对称轴l对称，B和C关于轴对称轴l对称，则A和C关于轴对称轴l对称。知识点三轴对称的应用轴对称在几何学中有广泛的应用。例如：（1）在平面内，如果两个点关于轴对称轴对称，则它们的距离相等。（2）在平面内，如果一个点和它的对称点关于轴对称轴对称，则这条直线是它们的中垂线。（3）在平面内，如果一个三角形和它的对称三角形关于轴对称轴对称，则这两个三角形全等。（4）在平面内，如果一个多边形和它的对称多边形关于轴对称轴对称，则这两个多边形全等。中心对称是指将一个图形绕某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，则称这两个图形关于该点对称或中心对称，该点称为对称中心。需要注意以下几点：中心对称是指两个图形的位置关系，只有一个对称中心，绕对称中心旋转180°两个图形才能完全重合。要制作一个图形关于某一点成中心对称的图形，关键是要制作该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按原图形的形状连接起来，即可得出中心对称图形。中心对称有以下几个性质：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。如果一个图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，该点就是它的对称中心。在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。圆是由一个点绕另一个点旋转形成的图形，其中一个点称为圆心，绕其旋转的线段称为半径。圆的另一个定义是，圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。圆的相关概念包括弦、弧、等圆和等弧。弦是连接圆上任意两点的线段，经过圆心的弦称为直径。圆上任意两点间的部分称为圆弧，其中圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。等圆是指重合的两个圆，等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。垂径定理指的是，如果一个点在圆上，则它所在的直径垂直于过该点的弦。垂径定理指出，垂直于弦的直径会平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为M。根据垂径定理，AM=BM，AC=BC，AD=BD。垂径定理的推论是，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，CD⊥AB，AM=BM，AC=BC，AD=BD。需要注意的是，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。弦、弧、圆心角之间的关系定理指出，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。需要注意的是，不能忽略同圆或等圆这个前提条件，否则即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等。圆周角定理指出，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角定理的推论是，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。需要注意的是，“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。圆内接四边形是指一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质是，对角互补。点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内。可以用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点p在圆上d=r；点p在圆内d＜r。可以通过以点A外的任意一点为圆心，以OA为半径作圆来经过一个点的圆；以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以OA（或OB）为半径作圆来经过两点的圆。这样的圆可以作无数个。经过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做经过三点的圆。作法是连接这三个点并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以任意一个点到O的距离为半径作圆即可。需要注意的是，经过在同一条直线上的三个点是无法作圆的。三角形的外接圆是经过三角形三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，也就是这个三角形的外心。反证法是一种证明命题的方法，假设命题的结论不成立，经过逻辑推理得出矛盾，从而得到原命题成立。反证法的一般步骤为：假设命题的结论不成立；从假设出发，经过逻辑推理得出矛盾结论；由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种，可以用数量关系表示。设圆的半径为r，直线与圆心的距离为d，则直线和圆相交的条件为d<r，相切的条件为d=r，相离的条件为d>r。切线的判定定理是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，切线的性质定理是圆的切线垂直于过切点的半径。切线还有其他性质，如只有一个公共点、到圆心的距离等于半径等。切线长是指经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，切线长定理是从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。三角形的内切圆是与三角形各边都相切的圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。内切圆的圆心叫做三角形的内心。三角形的内心是指三角形内切圆的圆心。它可以通过三角形三条角平分线的交点来确定。当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线必定会平分三角形的内角。圆与圆的位置关系可以分为五种：相离、内含、外切、内切和相交。这些关系可以用数量关系来表示，其中圆心之间的距离d和两圆的半径r1和r2是关键因素。比如，当两圆相交时，有r2-r1＜d＜r1+r2。正多边形与圆的关系非常密切。将圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心是指一个正多边形的外接圆的圆心，而外接圆的半径则是正多边形的半径。正n边形的半径和边心距可以将正多边形分成2n个全等的直角三角形。所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心。当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。正n边形的每一个内角等于360（n2）180/n，中心角和外角相等，等于360/n。弧长公式指的是在半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长的计算公式lnR/180。扇形面积公式指的是在半径为R的圆中，n°圆心角所对的扇形面积为S=nR2/360。可以发现，扇形的弧长公式和面积公式都与圆心角有关。知识点三：圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么扇形的半径为l，弧长为2πr，因此圆锥的侧面积S=πrl。圆锥的全面积为S=S（圆锥侧）+S（底）=πrl+πr²。知识点一：随机事件与概率在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。知识点二：事件发生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的