概率统计讲课稿第二章(第一,二,三节)

1第二章随机变量及其分布第一节随机变量为了更深入地研究随机事件及其果数量化(或数值化，数字化).为此,先考察几个随机试验的例子.E:投掷一枚匀称的硬币,观察它哪X=〈,10,当e=反面则X是定义在S上的函数,用函数X取面或反面的出现是随机1的,所以X=1或X=0也是随机取到的,因而称此1X2E:甲乙两人下一盘棋,观察比赛E是则X是定义在S上的函数,用函数X的E：记录某电话交换2台在一天内接叫次数，试验E的样本空间是，试验E的样本空间是S={t|t40}={e}，我们从上4面几个例子看到,用数量来描述试验的全部结果,对我们研究随机试验是方便的.因此,有必要把随机试验结果都转化成数量来表示.这就有必要引入一个重要概念--随机变量.3定义1设随机试验E的样本空间为如果对于每一个样本点eS，都有并且对于任意实数x，(即要求X(e)是可测函数)，{Xx}有确定的概率，则称这样的实值变量X=X(e)为随机变量，简记为X。通常用大写英文字母例如，上述分别定义于样本空间E,E,E,E上的函数X,X,X,X都是随4样本空间S={e}上的一个可测函数。4由于e在试验E中出现是随机的，所以实数X(e)的取值相对于试验E来说注意定义在样本空间S={e}上的任一个函数，未必是随机变量。如在试验E中，则随机事件A,B,C可分别表示如A={X20}；B={X>8}；的概率问题就转化为随机变量取值的我们今后学习研究的主要对象。5不可测事件存在性的社会学证明：“深(神)不可测”，“高深莫测”，场景。我们通常遇到的大都是可测的。外延，就能理解“随机变量”。第二节随机变量的分布函数研究随机变量X，不但要知道它取6述它取值的概率规律就成为我们下面道了，那么对X取值于一切有限，无限能用概率的性质计算出来。定义2设X为随机变量，对于任意实数x，令称F(x)为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数,记为X~F(x).就是说,随机变量X的分布函数F(x)在任意实数x处的值等于X在区间e考生”={e}，X(e)表示考生的总分数，制定录取线，报志愿时7对一切实数x对一切实数xF(x)=P{Xx}。分布函数F(x)具有以下基本性质：(1)取值范围:0F(x)1,且x+(2)单调不减,对于x<x,有F(x)F(x);12(由于{Xx1}仁{X2x},F(x)=P{X1x}P{X2x}=F(x))122(3)右连续,F(x+)=limF(x)=F(x),00xx+00.00(记号:右极限f(x+)=limf(x))xxxx+0反之，若定义在(,+)上的实8则F(x)一定是某随机变量的的分布分布函数F(x)还具有下列一些性(4)对任意实数a,b,a<b,事实上,P{a<Xb}=P({Xb}{Xa})=P{Xb}P{Xa}0xx00分布函数举例出现的点数.令(0,当出现奇数点X=〈,1,当出现偶数点则X是一个随机变量.求X的分布函9数.数且根据题意,P{X=0}=,P{X=1}=222于是得到随机变量X的分布函数为.例2已知随机变量X的分布函数为Fx=〈-x,Fx=〈-x,x)+wx)+wx)0+x)0+Fxx;11=1-=,设射击一定中靶,且击中靶上任一与圆靶同心的圆盘的概率与该圆靶的面积成正比.以X表示弹着点至靶心的距离,试求机变量X的分布函数.解根据题意,X可能取[0,1]上的任何实数.总上所述,即得X的分布函数为||显然,F(x)是一个连续函数.当分布函数在点x=a处连续时,x)a+x)a-由上面例题的实际情况,{X=a}是有可这一事实告诉我们,P(A)=0,未必随机变量按其取值不同,可分为离散型随机变量和连续型随机变量及其它类随机变量.我们只讨论离散型随机变量与连续型随机变量.第三节离散型随机变量及其概率分布定义3若随机变量X只可能取有X取各个可能值的概率ij称为离k散型随机k变量X概率分布(或分布律,或分布列).离散型随机变量例子例如,从一批产品中抽取n件,抽到对目标进行射击,直到击中目标为止,记X为所需射击次数,X只能取可是离散型随机变量X的分布律.离散型随机变量X的分布律的表示方法:(1)公式法,(2)列表法或矩阵kkXxx…x…12kPpp…p…12k或用矩阵表示.离散型随机变量X的分布律具有kkkk事实上,因为x,x,...,x,...是随机变所以{X=x}=S,kk且{X=x},{X=x},...,{X=x},...是kk利用概率的可加性即有1=P{S}=P({X=x})kk=P{X=x}=p.kkkk上式中，当X取得有限个可能值时，反之，可以证明,任意一个具有(1)和(2)两条性质的一串数p,p,...,p,...一分布律和分布函数可互相确定的方分布律P{X=x}=p,k=1,2^,则F(x)=P{Xx}=p,x;k:xx(事实上,F(x)={Xx}=P({X=x})kkxxk=P{X=x}=p)kkxxxx(2)对任k意区间I,有kP{XI}=P{X=x}=p;kxIk从分布函数kkxIkkF(x)=P{Xx},x,可以确定分布律p=P{X=x}=F(x)F(x),kkkkkkxxk由此可见,离散型随机变量X的分布律不但具有分布函数的相同作用,而且它比分布函数更直接且简便地描述了随机变量的取值规律.所以,今后我们用分布律来描述离散型随机变量的取值规律.得白球为止，求取球次数X的概率分设A=第i次取球时得白球,iP(A)P(A)=,P(A)=,i5i5根据题意,事件{X=k}表示“前(k1)次取出的球都是黑球，第k次才取出白球”=A...AA；如果每次取出的球总立,所以X的分布律k1k=(=()k1,55(k=1,2,3,…)入编号为1，2，3，4的四只盒中(每盒容纳球的个数不限)。设X为有球的(1)随机变量X的分布律与分布函(2)P{|X|2}。P{X=1}=13=1；43646464即随机变量X的分布律为XX1234P17X的分布函数为1781=+==.盒容纳球的个数不限)，以X表示有球律与分布函数.解根据题意知，随机变量X可能P{X=3}=13=1,27P{X=2}=2313=7,7即随机变量X的分布律为XP12731X的分布函数为例4某射手欲对一目标进行射击,每次一发子弹.设他每次射中记X为停止射击时,射手所消耗的子弹数目,求随机变量X的分布律.解根据题意知，随机变量X可能A=第i次射击时射中目标,123123341234{X=5}=