初中数学-12个模型54种题型总结

中点问题常用性质及常见辅助线作法1、多个中点或平行＋中点构造中位线；2、直角三角形＋斜边中点直角三角形斜边中点；3、等腰三角形＋底边中点等腰三角形三线合一；4、三角形一边的垂线过这边中点垂直平分线性质；5、中线或与中点有关线段倍长线段构造全等；6、圆＋弦或弧的中点垂径定理或圆周角定理．联想联想联想联想联想联想满分技法专题一关于中点的联想模型一遇到三角形一边的中点，考虑构造中位线例1题图【思考】在一般三角形中看到中点，你想到了哪些学过的知识：_________________________________________________________________．例

1如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3.则AC的长为(

)A.3B.7C.8D．14过中点作平行线可构造中位线，中位线平行于底边且等于底边的一半D专题一关于中点的联想解析：∵AN平分∠BAC，

∴∠BAN=∠DAN，AN=AN，∠ANB=∠AND=90°，

∴△ABN≌△AEN，

∴AD=AB=8，BN=ND，

又∵M是△ABC的边BC的中点，

∴CD=2MN=2×3=6，

∴AC=AD+DC=8+6=14，故选D专题一关于中点的联想基本模型模型分析连接中点构造中位线：当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线．利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE＝，△ADE∽△ABC，则可得线段之间的相等或比例关系及平行关系．专题一关于中点的联想模型二遇到直角三角形斜边上的中点，考虑构造斜边上的中线例2如图，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接DC并延长到E，使，过点B作BFDE，与AE的延长线交于点F，若BF＝8，则AB的长度为________．∥例2题图6【思考】在直角三角形中遇到斜边上的中点，你想到了哪些学过的知识：_____________________________________________．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半专题一关于中点的联想关于中点的联想专题一解：如图，又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFD的中位线，∴BF=2ED=8∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=

AB．又CE=

CD，AB=6∴ED=CE+CD=

4基本模型模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用．专题一关于中点的联想针对训练第2题图2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠BCE的度数是(

)A.60°

B.45°

C.30°

D.75°

C专题一关于中点的联想关于中点的联想专题一∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，

∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，

∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，

∴△ACE是等边三角形，

∴∠CED=60°，

∴∠B=∠CED=30°．

∴∠A=60°，

故选C．

123.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至点F，使，若AB＝10，则EF的长是（）A.5B.4C.3D.2第3题图A专题一关于中点的联想关于中点的联想专题一∵D，E分别为AC，AB的中点，

∴DE为△ACB的中位线．

∴DE∥BC．

∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，

∴CE=12AB=5．

∴DF∥CE．

又∵DE∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形

DE=5模型三遇到等腰三角形底边上的中点，考虑“三线合一”的性质例3如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N.则MN的长为________．例3题图【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点，你想到了哪些学过的知识：___________________________________________________．等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”专题一关于中点的联想关于中点的联想专题一如图，连接AM．

∵AB=AC=5，点M为BC的中点，

∴AM⊥CM，

∴AM=

，

∵

AM*MC=

AC*MN，

∴MN=

．

基本模型模型分析如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题．专题一关于中点的联想4.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE平分∠CAD，交CD于点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为________．第4题图8专题一关于中点的联想模型四遇到三角形一边垂线过这边中点，考虑垂直平分线的性质例4题图【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：___________________________________________________________________．DE是线段AB的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等例4

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE

⊥AB交BC的延长线于点E，则CE

的长为________．专题一关于中点的联想关于中点的联想专题一设CE=x，连接AE，

∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AE=BE=BC+CE=3+x，

∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，

解得x=

7/6．

故答案为：7/6．

基本模型模型分析当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到(如图)：BE＝CE，证明线段间的数量关系．专题一关于中点的联想针对训练第5题图5.如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC.(1)求证：∠BAD＝2∠MAN；(2)连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC.专题一关于中点的联想第5题解图(1)证明：如解图，连接AC，∵M是CD的中点，AM⊥CD，∴AM是线段CD的垂直平分线．∴AC＝AD.又∵AM⊥CD，∴∠3＝∠4，同理可得∠1＝∠2，∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠BAD，∴∠2＋∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；专题一关于中点的联想(2)解：∵AM⊥CD，AN⊥BC，∠MAN＝70°，∴∠BCD＝360°－90°－90°－70°＝110°.∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠BCD＝30°，∠BAD＝2∠MAN＝140°.∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD.∴∠ADB＝∠ABD＝20°.∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝50°.专题一关于中点的联想例5如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE.【思考】聪明的你能想到哪些作辅助线的方法_________________________________________________________________________________________________________________．模型五遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段)，考虑倍长(类倍长)线段构造全等三角形例5题图①延长AD到点G，使得DG＝AD，构造△GDB全等于△ADC；②延长ED到点G，使得DG＝DE，构造△CGD全等于△BED.专题一关于中点的联想【自主作答】证明：如解图①，延长AD到点G，使得DG＝AD，连接BG，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，∴△ADC≌△GDB.∴AC＝GB，∠G＝∠EAF.∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF.∵∠AEF＝∠BED，∴∠G＝∠BED.∴BE＝BG.∴BE＝AC.例5题解图①专题一关于中点的联想【一题多解】证明：如解图②，延长ED到点G，使得DG＝DE，连接CG.∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵∠BDE＝∠CDG，DG＝DE，∴△BED≌△CGD.∴∠G＝∠BED，BE＝CG.∵AF＝EF，∴∠FAE＝∠AEF＝∠BEG.∴∠G＝∠EAF.∴AC＝GC.∴AC＝BE.例5题解图②专题一关于中点的联想基本模型模型分析1．倍长中线构造全等三角形：当已知条件中出现中线时，常利用倍长中线构造全等三角形解决问题；2．倍长类中线构造全等三角形：当已知条件中出现类中线(中点有关的线段)时，常利用倍长类中线构造全等三角形解决问题．专题一关于中点的联想6.如图，已知AB＝24，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝10，BC＝20.若点E是CD的中点，则AE的长是________．针对训练第6题图13专题一关于中点的联想模型六遇到圆中弦(或弧)的中点，考虑垂径定理及圆周角定理基本模型专题一关于中点的联想如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂线构造中位线解题；(2)圆中遇到弦的中点，出现“四中点(如图①，点F、O、E、C)一垂直(FC⊥AB)”，联想“垂径定理”，解决相应问题；(3)圆中遇到弧的中点，可得弧相等、弦相等、圆周角相等，可进一步引出垂径定理、角平分线等来解决相应问题．模型分析专题一关于中点的联想7.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为(

)A.2

B.3

C.3.5

D.4针对训练第7题图B专题一关于中点的联想第8题图8.

如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为________．专题一关于中点的联想关于中点的联想专题一终合训练1.

在△ABC中，D为BC的中点．(1)如图①，AB＝5，AC＝3，AD＝2，求△ABC的面积；(2)如图②，M为AC的中点，连接BM交AD于点F，若AM＝MF.求证：BF＝AC.(1)解：如解图①，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，CE.∵BD＝DC，DE＝AD，∴四边形ABEC是平行四边形．∴BE＝AC＝3，AE＝2AD＝4.在△ABE中，三条边的长度3、4、5是勾股数，∴△ABE是直角三角形．∴S△ABE＝1/2×3×4＝6.根据平行四边形的性质可知S△ABC＝S△ABE，∴S△ABC为6；专题一关于中点的联想(2)证明：如解图②，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，∵BD＝DC，DE＝AD，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AC＝BE，AC∥BE.∴∠MAF＝∠BEA.∵AM＝MF，∴∠MAF＝∠AFM.∵∠BFE＝∠MFA，∴∠BEF＝∠BFE.∴BF＝BE.∴BF＝AC.第1题解图②专题一关于中点的联想关于中点的联想专题一终合训练2.

如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，点E，F分别在AB，BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE，AF，EF.(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；(2)若CE⊥EF，求证：CE＝2EF.专题一关于中点的联想(1)解：∵AC⊥BC，AC＝CF，∴△ACF为等腰直角三角形，则∠AFC＝45°.

∵∠AFC＝∠B＋∠EAF，∠B＝35°，∴∠EAF＝10°；(2)证明：如解图①，取CF的中点M，连接EM、AM.∵CE⊥E

∴EM＝CM＝FM＝CF.又∵AC＝AE，∴AM为EC的中垂线．∴∠CAM＋∠ACE＝90°.又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM＝∠FCE.又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM∽△CEF，＝.又∵CF＝AC＝2CM，∴＝＝.∴CE＝2EF.当题中出现角平分线或易得到角平分线(有对称或等腰三角形)时,首先考虑利用角平分线定理求解.若另有平行或垂直等条件,则可考虑构造等腰三角形或对称图形求解.常见类型如下：专题二关于角平分线的联想类型一角平分线+边的垂线双垂直类型二角平分线+角平分线的垂线等腰三角形类型三见角平分线作对称全等三角形类型四角平分线+平行线等腰三角形类型五角平分线+角平分线三角形内心构造构造构造构造构造类型一角平分线+边的垂线双垂直

如图1,遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时,一般过该点作另一边的垂线,构造双垂直求解.构造图1专题二关于角平分线的联想1.如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD=3,则点D到AB的距离DE是 (

)A.5 B.4 C.3 D.2图2C专题二关于角平分线的联想2.如图3,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,则DE的长是

.

图3专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想3.如图4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(1)填空:点B的坐标为

;AC的长度为

.

(2)若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.图4专题二关于角平分线的联想解:(1)(12,9)

15专题二关于角平分线的联想3.如图4,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC.(2)若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式.图4专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想类型二角平分线+角平分线的垂线等腰三角形构造图5如图5,当题目中有垂直于角平分线的线段PA时,通过延长AP交ON于点B,构造等腰三角形AOB求解.专题二关于角平分线的联想4.如图6,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,则AE=

.

图6专题二关于角平分线的联想[答案]4

[解析]延长BD,AC交于点F,∵AD平分∠BAC,AD⊥BD,∴∠ABF=∠AFB,BD=FD,BF=2BD.∵AD⊥BD,∠ACB=90°,∠AEC=∠BED,∴∠EAC=∠FBC.又∵AC=BC,∴△ACE≌△BCF,∴AE=BF=2BD=4.专题二关于角平分线的联想5.如7,△ABC中,∠BAC=90°,S△ABC=10,AD平分∠BAC,交BC于点D,BE⊥AD交AD延长线于点E,连接CE,则△ACE的面积为

.

图7专题二关于角平分线的联想[答案]5专题二关于角平分线的联想图8专题二关于角平分线的联想类型三见角平分线作对称全等三角形构造图9如图9,若P是∠MON平分线上一点,点A是边OM上任意一点,可考虑在边ON上截取OB=OA,连接PB,构造△OPB≌△OPA,进而将一些线段和角进行等量代换,这是常用的解题技巧之一.专题二关于角平分线的联想证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE.∴∠CBE=∠CDE.又∵AB∥DC,∴∠APD=∠CDE.∴∠APD=∠CBE.7.如图10,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点且不与A,B重合,连接DP交对角线AC于E,连接BE.求证:∠APD=∠CBE.图10专题二关于角平分线的联想8.如图11,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+CD.图W2-11专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想类型四角平分线+平行线等腰三角形

当题中同时出现角平分线和平行线时,注意找等腰三角形.一般地,角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件存在,可得第三个条件.如图12,OP平分∠MON,PQ∥ON,则△OPQ为等腰三角形.图12构造专题二关于角平分线的联想9.如图13,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,则∠D的度数为 (

)A.50° B.60°C.70° D.100°图13A专题二关于角平分线的联想10.在△ABC中,D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD.若BD平分∠ABC,则下列结论错误的是 (

)A.BC=2BE B.∠A=∠EDAC.BC=2AD D.BD⊥ACC专题二关于角平分线的联想11.如图14,AC是正方形ABCD的对角线,∠DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE=

.

图14专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想12.在▱ABCD中,AE平分∠BAD交边BC于点E,DF平分∠ADC交边BC于点F,若AD=11,EF=5,则AB=

.

专题二关于角平分线的联想[答案]8或3[解析]①如图①,在▱ABCD中,∵BC∥AD,∴∠ADF=∠CFD.∵DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠ADF=∠CDF,∴∠CFD=∠CDF,∴CF=CD.同理可证AB=BE.∴AB=BE=CF=CD.∵EF=5,BC=AD=11,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11,∴AB=8.②如图②,在▱ABCD中,同①可得AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11,∴AB=3.故答案为8或3.①②专题二关于角平分线的联想13.如图15,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,则DE=

.

图15专题二关于角平分线的联想14.如图16,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于点F.求证:四边形DECF是菱形.图16证明:如图,∵DE∥AC,DF∥BC,∴四边形DECF为平行四边形,∠2=∠3.又∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴DE=EC,∴四边形DECF为菱形.专题二关于角平分线的联想15.如图17,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于点G.求证:BF=AC+AF.图17专题二关于角平分线的联想专题二关于角平分线的联想类型五角平分线+角平分线三角形内心图18构造专题二关于角平分线的联想16.如图19所示,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=

.

图192∶3∶4专题二关于角平分线的联想17.如图20所示,已知△ABC的周长是18cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,若△ABC的面积为45cm2,则OD=

;若∠BOC=110°,则∠A=

°.

图205cm40专题二关于角平分线的联想图21专题二关于角平分线的联想[答案]C专题二关于角平分线的联想专题三有关面积问题的联想多边形的面积是中小学数学中常接触的教学内容,利用面积求线段的长度是一种重要的方法,这种题型中往往没有提到面积,但面积是一个关键的隐含的等量关系,因此需要灵活掌握多边形面积的求法,体会其内在联系.本专题讲解关于面积的计算和应用，具体如下：类型一一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形面积的计算类型二三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴)的三角形面积的计算类型三借助面积求线段长类型四借助面积证明线段间的关系类型五面积在综合问题中的应用专题三类型一一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形面积的计算

直接使用三角形的面积公式S＝

AB·h，其中AB是三角形在坐标轴上(或平行于坐标轴)的线段长，h为AB边上的高．有关面积问题的联想专题三1.如图，已知A(2，0)、B(5，0)、C(3，3)三点，则△ABC的面积是________．∵点A（2，0），B（5，0），C（3，3），∴AB=5-2=3，C到x轴的距离为：3，则△ABC的面积是：1/2×3×3=9/2故答案为：9/2．有关面积问题的联想专题三2.如图，直线

与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B，则△AOB的面积为________．

分析：

将二直线联立成方程组解得B(1,2),B到X轴距离为2，AO=3,容易求的面积为3有关面积问题的联想专题三3.(2019凉山州改编)如图，正比例函数y＝kx与反比例函数

的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于________．4有关面积问题的联想专题三类型二三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴)的三角形面积的计算S△ABC＝S△ABD＋S△BCD

＝

S△ABC＝S△ABD＋S△BCD

＝

有关面积问题的联想专题三4.如图，A、B是反比例函数

在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是()A.4B.3C.2D.1B有关面积问题的联想专题三5.(2018宁夏)抛物线

经过点A(3，0)和点B(0，3)，且这条抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.(1)求抛物线的表达式；(2)连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)和点B(0，3)，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3；∴，解得，有关面积问题的联想专题三(2)如解图，过点B作BF⊥l于点F，经过点A(3，0)，B(0，3)的直线的表达式为y＝－x＋3，将抛物线的表达式配方，得y＝－(x－)2＋4，∴点C的坐标为(，4)，∴点D的坐标为(，2)，∴CD＝2，则BF＝OE.∵BF＋AE＝OE＋AE＝3，∴S△ABC＝CD·(BF＋AE)＝×2×3＝3.有关面积问题的联想专题三类型一借助面积求线段长6.已知直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高为 (

)A.5 B.3 C.1.2 D.2.47.等腰三角形的腰长是13,底边长是10,则腰上的高等于

.

8.等边三角形的边长为6,内部任意一点O到三边的距离之和为

.

D有关面积问题的联想专题三9.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,角平分线AD,BE相交于点O,点O到AB边的距离为

.

10.如图,在菱形ABCD中,AE是菱形的高,若对角线AC,BD的长分别是12,16,则AE的长是

.

29.6有关面积问题的联想专题三类型二借助面积证明线段间的关系11.证明命题“等腰三角形两腰上的高相等”,根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程.解:已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB,BD⊥AC.求证:CE=BD.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵CE⊥AB,BD⊥AC,∴∠BEC=∠CDB.∵BC=CB,∴△BEC≌△CDB(AAS),∴CE=BD.有关面积问题的联想专题三12.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上的任意一点,过P点分别作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分别为E,F.(1)若P为BC边的中点,则PE,PF,CD三条线段有何数量关系(写出推理过程).(2)若P为线段BC上任意一点,则(1)中关系还成立吗?(3)若P为直线BC上任意一点,则PE,PF,CD三条线段间有何数量关系(请直接写出).有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三12.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上的任意一点,过P点分别作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分别为E,F.(2)若P为线段BC上任意一点,则(1)中关系还成立吗?有关面积问题的联想专题三12.如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于D,P为BC上的任意一点,过P点分别作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分别为E,F.(3)若P为直线BC上任意一点,则PE,PF,CD三条线段间有何数量关系(请直接写出).有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三类型三面积在综合问题中的应用13.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止,设运动时间为t秒(t>0).(1)求线段CD的长;(2)当t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1∶2两部分?有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三13.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,P,Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止,设运动时间为t秒(t>0).(2)当t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1∶2两部分?有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三14.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点E从点A出发,沿AC向点C运动,同时动点F从点A出发,沿AB向点B运动,运动速度均为每秒1个单位长度,当点E到达点C处时,点F同时停止运动,点E,F出发后,连接EF,并将△AEF沿EF翻折,得到△DEF,设△AFD与△ABC重叠部分图形的面积为S,点E的运动时间为t(s).(1)求证:四边形AEDF是菱形;(2)当点D落在BC边上时,求AF的长;(3)在点E的整个运动过程中,求S与t的函数关系式.有关面积问题的联想专题三解:(1)证明:如图①,∵点E,F的运动速度相同,∴AE=AF.∵△EFD是由△AEF翻折得到,∴AE=ED,AF=DF,∴AE=DE=DF=AF,∴四边形AEDF是菱形.有关面积问题的联想专题三14.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点E从点A出发,沿AC向点C运动,同时动点F从点A出发,沿AB向点B运动,运动速度均为每秒1个单位长度,当点E到达点C处时,点F同时停止运动,点E,F出发后,连接EF,并将△AEF沿EF翻折,得到△DEF,设△AFD与△ABC重叠部分图形的面积为S,点E的运动时间为t(s).(2)当点D落在BC边上时,求AF的长;有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想专题三14.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点E从点A出发,沿AC向点C运动,同时动点F从点A出发,沿AB向点B运动,运动速度均为每秒1个单位长度,当点E到达点C处时,点F同时停止运动,点E,F出发后,连接EF,并将△AEF沿EF翻折,得到△DEF,设△AFD与△ABC重叠部分图形的面积为S,点E的运动时间为t(s).(3)在点E的整个运动过程中,求S与t的函数关系式.有关面积问题的联想专题三有关面积问题的联想五大常考的全等模型专题四

三角形全等属于中考的必考知识，为了在复习中更好掌握和快速解题达到高分，本节专题把大常考的模型总结如下模型一平移模型模型二对称模型

模型三三垂直型

模型四旋转模型模型五半角模型模型一

平移模型例1如图，已知BC∥EF，∠B＝∠DGC，点D、C在AF上，且AB＝DE.求证：AD＝CF.【找一找】已知结论BC∥EF①____________，②___________∠B＝∠DGC③______________∠F＝∠BCA∠E＝∠DGC∠E＝∠B例1题图五大常考的全等模型专题四证明：∵BC∥EF，∴∠F＝∠BCA，∠E＝∠DGC.∵∠B＝∠DGC，∴∠B＝∠E.又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC＝DF.∵AD＋CD＝CD＋CF，∴AD＝CF.五大常考的全等模型专题四基本模型图示

模型总结

有一组边共线，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等.

五大常考的全等模型专题四针对训练第1题图1.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.(1)求证：△AED≌△EBC；(2)当AB＝6时，求CD的长．(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC.∵E是AB中点，∴AE＝EB.∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC(ASA)；五大常考的全等模型专题四(2)解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形．∴CD＝AE.∵AB＝6，∴CD＝AB＝3.五大常考的全等模型专题四模型二对称模型例2题图例2如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是三角形内一点，连接DA，DB，DC，若∠1＝∠2，则△ABD与△ACD全等吗？请说明理由．【找一找】已知结论AB＝AC①_______________∠1＝∠2DB＝DC，②_______________∠ABC＝∠ACB∠ABD＝∠ACD五大常考的全等模型专题四结论：△ABD与△ACD全等．理由如下：∵∠1＝∠2，∴DB＝DC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2.∴∠ABD＝∠ACD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)五大常考的全等模型专题四基本模型图示

模型总结所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等.

五大常考的全等模型专题四针对训练第2题图2.如图，点E、F在BC上，AB＝DC，∠B＝∠C，请补充一个条件：________________________________________________，使△ABF≌△DCE.BE＝CF或BF＝CE或∠A＝∠D或∠AFB＝∠DEC

五大常考的全等模型专题四3.

如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD交OE于点F.求证：(1)OC＝OD；(2)△ECF≌△EDF.第3题图证明：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC＝ED，∠ECO＝∠EDO＝90°.在Rt△COE和Rt△DOE中，∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL)．∴OC＝OD；五大常考的全等模型专题四(2)∵Rt△COE≌Rt△DOE，∴∠CEF＝∠DEF.在△ECF和△EDF中，∴△ECF≌△EDF(SAS)．五大常考的全等模型专题四模型三三垂直型例3题图例3如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP交CP于点D，BE⊥CE交CP的延长线于点E，垂足分别为D，E，已知DC＝2，求BE的长．【思维教练】已知DC的长，求BE的长，可通过证明△CBE和△ACD全等，根据同角的余角相等可得∠DAC＝∠BCE，从而利用AAS可证△CBE和△ACD全等．五大常考的全等模型专题四解：∵∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC.∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE.在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE(AAS)．∴BE＝CD＝2.五大常考的全等模型专题四基本模型图示模型总结

有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等.

五大常考的全等模型专题四针对训练第4题图4.

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.求证：DE＝AD＋BE.证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACD＋∠BCE＝90°.∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD＝CE，DC＝EB.∵DE＝DC＋CE，∴DE＝BE＋AD.五大常考的全等模型专题四模型四旋转模型例4题图类型一不共顶点旋转模型例4如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF，CE∥BF，AB＝CD.求证：△EAC≌△FDB.【找一找】已知结论AE∥DF①_____________CE∥BF②_____________AB＝CDAB＋BC＝BC＋CD⇒③________∠A＝∠D∠ACE＝∠DBFAC＝BD五大常考的全等模型专题四证明：∵AE∥DF，CE∥BF，∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF.∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB.∴△EAC≌△FDB(ASA)．五大常考的全等模型专题四基本模型图示模型总结所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转180°，则可得到另一个三角形，两三角形有一组边共线，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等.五大常考的全等模型专题四类型二共顶点旋转模型(含手拉手模型)例5如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE＝∠BCE＝90°，且BC＝CE，AB＝DE.求证：△ABC≌△DEC.【思维教练】题干已知BC＝CE，AB＝DE，∠BAE＝∠BCE＝90°，要证△ABC≌△DEC，只需证明∠B＝∠CED即可．例5题图证明：∵∠BAE＝∠BCE＝90°，∴∠ABC＋∠AEC＝180°.∵∠AEC＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠B.在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(SAS)．五大常考的全等模型专题四基本模型图示1(无重叠)

图示2(有重叠)

模型总结此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角．注：遇到共顶点，等线段，考虑用旋转.

五大常考的全等模型专题四针对训练第5题图5.

如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为()A.30°B.35°C.40°D.50°C五大常考的全等模型专题四6.

如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD＋CF.求证：△ADE≌△CFE.第6题图证明：∵AB＝BD＋CF，AB＝BD＋AD.∴CF＝AD.∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F.在△ADE与△CFE中，∴△ADE≌△CFE(ASA)．五大常考的全等模型专题四模型五半角模型例4题图例6如图，已知：正方形ABCD，点E，F分别是BC，DC上的点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF.【思维教练】延长CD到点G，使DG＝BE，将BE，DF转化在一条直线上，再证EF＝GF即可．五大常考的全等模型专题四∵∠EAF＝45°.∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠EAF＝∠GAF.在△AGF和△AEF中，∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴EF＝GF.∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF.证明：如解图，延长CD到点G，使DG＝BE，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠B.在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE.例6题解图五大常考的全等模型专题四基本模型图示等边三角形含半角(∠BDC＝120°)

等腰直角三角形含半角

五大常考的全等模型专题四图示正方形含半角模型总结当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等.五大常考的全等模型专题四针对训练第7题图7.

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E均在边BC上，且∠DAE＝45°，试猜想BD，DE，EC应满足的数量关系，并写出推理过程．五大常考的全等模型专题四解:BD2＋CE2＝DE2.证明：∵AB＝AC，∴如解图所示，把△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，∴AD＝AG，BD＝CG，∠B＝∠ACG，∠BAD＝∠CAG.在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∴∠ECG＝∠ACB＋∠ACG＝∠ACB＋∠B＝45°＋45°＝90°.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠EAG＝∠CAE＋∠CAG＝∠CAE＋∠BAD＝90°－45°＝45°，∴∠DAE＝∠EAG，第7题解图五大常考的全等模型专题四在△DAE和△GAE中，∴△DAE≌△GAE(SAS)，∴DE＝EG，在Rt△ECG中，EG2＝CE2＋CG2，即BD2＋CE2＝DE2.第7题解图五大常考的全等模型专题四五大常考的全等模型专题四综合训练1.

如图①，△ABD，△ACE都是等边三角形，(1)求证：△ABE≌△ADC；(2)若∠ACD＝15°，求∠AEB的度数；(3)如图②，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上时，

求证：AC∥BE.五大常考的全等模型专题四1.(1)证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°.∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC.∴∠DAC＝∠BAE.在△ABE和△ADC中，∴AB=AD∠DAC＝∠BAE

，AE=AC∴△ABE≌△ADC(SAS)；五大常考的全等模型专题四(2)由(1)知△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD.∵∠ACD＝15°，∴∠AEB＝15°；(3)由(1)知：△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD.又∵∠ACD＝60°，∴∠AEB＝60°.∵∠EAC＝60°，∴∠AEB＝∠EAC.∴AC∥BE.五大常考的全等模型专题四2.

如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连接BE.(1)求证：BE＝AC；(2)如图②，在图①的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM，AM，若AC＝5，求CM的长度．五大常考的全等模型专题四(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°.∴∠ABC＝∠BAD，∴AD＝BD.在△BDE和△ADC中，BD=AD∴△BDE≌△ADC(SAS)．∴BE＝AC；∠EDB＝∠CDA

DE=DC五大常考的全等模型专题四(2)解：∵点F是BC的中点，∴BF＝CF.在△BEF和△CMF中，

BF=CF∠BFE＝∠CFMEF=MF∴△BEF≌△CMF(SAS)．∴BE＝CM，∠EBF＝∠BCM.由(1)知，BE＝AC，△BDE≌△ADC，∴AC＝CM，∠BED＝∠ACD.∴∠ACM＝∠ACD＋∠BCM＝∠BED＋∠EBF＝90°.∴在等腰Rt△ACM中，CM＝AC＝5.相似的基本模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种演变和联系.现将基本模型总结如下模型一A字型模型二

8字型模型三

一线三等角型(K型)专题五

相似的基本模型有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．(ⅰ)正A字型模型分析模型一A字型图①【结论】如图①，由DE∥BC得，△ADE∽△ABC，＝＝.专题五(ⅱ)反A共角型图②【结论】如图②，当∠AED＝∠B(或∠ADE＝∠C)时，△ADE∽△ACB，＝＝；如图③，∠C＝∠ADE＝90°，则△ADE∽△ACB，＝＝.图③相似的基本模型图②图③专题五(ⅲ)反A共边共角型图④【结论】如图④，当∠ACD＝∠B(或∠ADC＝∠ACB)时，△ADC∽△ACB，AC²＝AD·AB；如图⑤，CD⊥AB，AC⊥BC，则△CAD∽△BCD，CD²＝AD·BD；△CDA∽△BCA，AC²＝AD·AB；△BCD∽△BAC，BC²＝BD·BA.(双垂直型(影射型))图⑤相似的基本模型图④(双垂直型(影射型))图⑤专题五针对训练1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC.若AD＝1，BD＝2，则的值为（）A.B.C.D.第1题图B2.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．或相似的基本模型专题五3.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E是AC上任意一点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F.求证：BD·BC＝BF·BE.第3题图相似的基本模型专题五3.证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠BDA＝90°.∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA.∴＝.∴AB²＝BD·BC.∵∠BAC＝90°，AF⊥BE，∴∠BAC＝∠AFB＝90°.∵∠FBA＝∠ABE，∴△BAF∽△BEA，∴＝，∴AB²＝BF·BE.∴BD·BC＝BF·BE相似的基本模型专题五有一组已知的等角(对顶角)，此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．(ⅰ)正8字型模型分析模型二

8字型图①【结论】如图①，由AB∥CD得，△ABO∽△DCO，＝＝.相似的基本模型专题五(ⅱ)斜8字型(蝴蝶型)图②【结论】如图②，当∠A＝∠C(或∠B＝∠D)时，△ABO∽△CDO，＝＝.相似的基本模型专题五(ⅲ)燕尾型图③【结论】如图③，当∠A＝∠C(或∠ABF＝∠CDF)时，△ADE∽△CBE，

＝＝；△ABF∽△CDF，＝＝.相似的基本模型专题五(ⅳ)三平行型图④【结论】如图④，由AB∥EF∥DC得，△AFB∽△CFD，＝＝；△CEF∽△CBA，＝＝；△BEF∽△BCD，＝＝；＋＝.注意：∵＋＝＋＝＝＝1，∴＋＝.相似的基本模型专题五针对训练4.如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若＝2，则的值为________．第4题图相似的基本模型专题五5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于点E.(1)求证：△ADC∽△BEC；(1)证明：∵在四边形ABDE中，∠ABD＋∠AED＝180°，∴∠BAE＋∠BDE＝180°.∴点A、B、D、E四点共圆．∴∠DAE＝∠DBE.又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC；第5题图相似的基本模型专题五(2)若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．(2)解：∵AB＝4，∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝4.∵D为BC中点，∴BD＝DC＝2.在Rt△ABD中，AD＝＝2.在Rt△CDE中，∠C＝30°，C