《复变函数与积分变换》学习课件1

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§2-2柯西积分定理与原函数1.

柯西积分定理该定理有时也称为:柯西—古萨定理.黎曼证法例1解根据柯西积分定理,有:例2解根据柯西积分定理得:由定理2可知:

解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)定理3：证明:利用导数的定义来证.由于积分与路线无关,

此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]原函数的定义:原函数之间的关系:证:那末它就有无穷多个原函数,

根据以上讨论可知:[证毕]不定积分的定义:定理4:(类似于牛顿-莱布尼兹公式)证明:根据柯西-古萨基本定理,[证毕]说明:

有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.例题:例1:解:由牛顿-莱布尼兹公式知,例2:解:(使用了微积分学中的“凑微分”法)例3:解:由牛顿-莱布尼兹公式知,例3：另解：此方法使用了微积分中“分部积分法”例4：解：利用分部积分法可得课堂练习答案1）

闭路变形原理︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵得︵︵︵︵

解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.2）复合闭路定理那末典型例题例1解依题意知,

根据复合闭路定理,例2：

解：圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例3：解：由复合闭路定理,

此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.例4：由上例作业:P89:7:1),3),6);8:1);作业柜分配(四教西305门外):电气06A-01:B7;06A-02:B8;06A-03:B9;06A-04:B10;

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