八年级下册数学-矩形

第10讲矩形知识导航.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；.矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，矩形是轴对称图形，又是中心对称图形；.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形.【板块一】矩形的折叠问题方法技巧矩形的折叠图中，有较多的直角三角形，常运用相等的边、勾股定理计算边的长.题型一矩形折叠——勾股定理求边长【例1】已知矩形A5C。中，AB=4,BC=3,按下列要求折叠：⑴如图1,把矩形A5C。沿对角线折叠得4E5QfE交。。于点R求。尸的长；(2)如图2,折叠矩形ABCD,AD落在对角线BD上，求折痕DE的长；(3)如图3,折叠矩形A5C。,使点5与点。重合，求折痕£尸的长.E图1 图2 图3【例2】如图，在矩形A5C。中，£是5。的中点，将4A5E沿AE折叠后得到AA比，点尸在矩形A5C。内部，延长Ab交CD于点G.⑴猜想线段Gb与GC有何数量关系？并证明你的结论；(2)若A5=3,AO=4,求线段GC的长.题型二矩形折叠——求边的比值【例3】如图1,在□ABCD中,E是AD上一点，连接CE,F为CE的中点,DF=EF.⑴求证:四边形ABCD为矩形；(2)如图2,若AE=AB过点B作BG±CE,垂足为点G,连接AG.求∠AGB的度数。EDAD针对练习1.如图，在矩形纸片ABCD中9=4,5C=8,将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,求EF的长..如图,在正方形A5C。中，£为45边上一点，过点。作_L与5。的延长线交于点,连接EF与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.⑴若BF=BD=22求BE的长；(2)若∠ADE=2∠BFE,求证:FH=HE+HD..(1)【操作发现】如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后到^GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，小明认为GF=DF，你同意吗？请说明理由.⑵【问题解决】保持⑴中的条件不变，若DC=2DF，求AD的值.AB(3)【类比探究】保持⑴中的条件不变，若DC="DF，直接写出AD的值：.ABB【板块二】矩形与等腰三角形方法技巧.利用矩形的性质可证明线段相等或平分，角相等，两直线平行或垂直，还可以求角的度数；.矩形的对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此矩形有关问题常常会用到等腰三角形的性质.题型三矩形中的等腰三角形【例1】如图,在矩形A5C。中，AC,5。交于点O,P为4。上一点，_L5。于点£,Pb_LAC于点EAG±BD于点G.⑴求证:P£+/7三4G;(2)若A5=4,AO=6,利用(1)的结论,求PE+PF的值.B C【例2】已知四边形A5C。是矩形，连接Ae点£是边C5的延长线上一点，CA=CE,连接A£,方是线段AE的中点。⑴如图1,当AD=DC时,连接CF交AB于点M求证BM=BE.(2)如图2,连接5。交AC于点O,连接。尸分别交45,AC于点G,H,连接Gc若NJFr啰=30。，S四边形诩尸邛，求线段GC的长.题型四矩形中的中位线【例3】如图，在矩形A5C。中，点£在5。的延长线上,若方为。£的中点.(1)求证:/。5£=2NCQE;(2)求证:AF±CF.【例4】在矩形ABCD中，A=6,BC=8,E为BC延长线上一点，且B=BE，连接DE,Q为DE的中点，有一动点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点E运动，运动时间为t秒.(1)如图1，连接DP，PQ，则S△DP=(用含t的式子表示)；(2)如图2,M，N分别为AB，AD的中点，当t为何值时，四边形MNQP为平行四边形?请说明理由.NBDQ图2图1矩形与等腰直角三角形【例5】如图，4A5C和△4。£都是等腰直角三角形，NAC5=44。£=90。，点。在边45上，点E在射线AC±,分别过点5,£作4。，5。的平行线，两平行线交于点(1)求证：四边形5CM为矩形(2)求证:。C=OH;(3)当点£在AC的延长线上时，H(直接写出结果)针对练习21.(2017中考题改)如图在矩形A5C。中，A=4,A=3,M是边CQ上一点，将M沿直线AM对折,得到△⑷W,MΛζA5的延长线交于点。，DM=I,求NQ的长..如图，在矩形BECD中,£为。。中点BE平分/ABC,交BE于点FBE±EF.

(1)求∠AEB的度数；(2)求证:GF=2DF.DB.(2019原创)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，交DC的延长线于点F.M为EF的

中点，连接MD,AC。试探究AC与MD之间的数量关系。D.如图，在矩形A5C。中，点£在5。上，CG_L5。于点G,直线CG交AE的延长线于点FCF=BD,求NA4b的度数.【板块三】矩形中的多解与最值题型六矩形中的分类讨论与多解方法技巧矩形中画等腰三角形时，已知的边为底或为腰具有多种可能性；画直角三角形时，已知边为直角边或为斜边也具有多样性,因此产生多解.【例U如图，在矩形A5C。中√45=4fC=6,点P在边4。上，若ABPC是以PB为腰的等腰三角PD的长为.B C【例2】在矩形纸片ABCD中，巳知AD=8,AB=6,E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点落在点F处，连接方。，当4EFC为直角三角形时，求BE的长.题型七矩形与动点最值方法技巧动态图求值，先分别选取运动点的起点，中间某一特殊点，终端点这些特殊位置对应的动点，然后由特殊到一般猜想估计运动点的情形，最后验证.【例3】在矩形ABCD中，A=6,AD=8,E是BC边上一点，EF±AE，且EF=AE.(1)如图1,当点F在CD边上时，求BE的长；(2)如图2,若DF±EF,求BE的值；BC(3)如图3,Q为AF的中点，直接写出CQ的最小值为.对练习31、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形045。是矩形，点A,C的坐标分别为A(10,0),

C(0,4),点。是04的中点，点P在5。边上运动，当AOQP是腰长为5的等腰三角形，点P坐标为2、如图，在一张长为8,宽为6的矩形纸片A5C。上，现要剪下一个腰长为5的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)，求剪下的等腰三角形的面积。3、如图，在矩形A5C。中，BC=6