高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理课件新人教版选修1

1.2

空间向量基本定理课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解.3.会用空间向量基本定理解决一些简单问题.4.通过本节课学习,提升学生直观想象、逻辑推理的核心素养.知识概览课前·基础认知1.空间向量基本定理(1)定理:如果三个向量a,b,c

不共面

,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

(2)基底:如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是

{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}

.这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把

{a,b,c}

叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

微判断

判断.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)空间向量的基底是唯一的.(

)(2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,c均为非零向量.(

)(3)已知A,B,M,N是空间四点,若

不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N共面.(

)(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(

)×√√√2.空间向量的正交分解(1)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为

1

,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.

(2)正交分解:把一个空间向量分解为三个

两两垂直

的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

课堂·重难突破一

空间基底的判断典例剖析

规律总结判断三个向量能否构成空间的一个基底的关键是判断这三个向量是否共面,若共面,则不能构成空间的一个基底;若不共面,则能构成空间的一个基底.判断三个向量是否共面,往往先假设共面,再利用向量共面的充要条件及已知条件进行判断.学以致用1.(多选题)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底.给出下列向量组,其中可以构成空间的基底的有(

)A.{a,b,x} B.{x,y,z}C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c}答案:BCD由A,B1,D1,C四点不共面可知,向量x,y,z不共面,故{x,y,z}可以构成空间的一个基底.同理可知b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故{b,c,z}和{x,y,a+b+c}可以作为空间的基底.因为x=a+b,所以a,b,x共面,故{a,b,x}不能作为空间的一个基底.二

用基底表示空间向量典例剖析2.在四面体OABC中,G,H分别为△ABC,△OBC的重心,D为BC的中点,设规律总结用基底表示向量时的注意事项

(1)若基底确定,则要充分利用向量的三角形法则或平行四边形法则,以及向量的线性运算进行变形、化简,求出结果.

(2)若没给定基底,则要先选择基底,再用基底表示向量.学以致用

B三

空间向量基本定理的应用典例剖析3.如图,在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°,且OA=OB=OC=1,M,N分别是OA,BC的中点.求:(1)MN的长;(2)ON与CM所成角的余弦值.互动探究(变问法)本例其他条件不变,若G是MN的中点,求证:OG⊥BC.规律总结用向量法求异面直线所成角的步骤:学以致用3.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=,DD1=2.(1)证明:DD1⊥BD;(2)求CA1与AB所成角的余弦值.随堂训练1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是(

)A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2aC.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c答案:C解析:对于A,有3a=2(a-b)+a+2b,则3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底;同理可判断B,D均不符合题意.故选C.答案:DA.钝角三角形

B.锐角三角形C