工程力学2复习课

2023/9/10材料力学11、材料力学是研究构件

，

，

计算的科学。2、构件在外力作用下，抵抗

的能力称为强度

,

抵 抗

的能力称为刚度，保持

的能力称为稳定 性

。3、在强度计算中，根据强度条件可以解决三方面的问 题：即

、

和

。4、杆件的强度、刚度和稳定性与材料的力学性质有关 及与构件的形状尺寸有关；5、杆件变形的基本形式有＿、＿、＿、＿＿。6、研究杆件内力的基本方法是＿＿＿。2023/9/10材料力学22023/9/10材料力学37、材料在静载常温下的强度破坏通常分为两类，即＿＿＿和＿＿＿。8.在低碳钢的拉伸试验中，材料的应力变化不大而变形显著增加的现象称为

。9.因截面形状尺寸突变而引起局部应力增大的现象，称为

。10、低碳钢拉伸图可以分为四个阶段，它们分别是

阶段，

阶段，

阶段和

阶段。11、进入屈服阶段后，材料发生＿＿＿变形。12、工程上通常把延伸率小于＿＿的材料称为脆性材料。2023/9/10材料力学413.材料的塑性指标有＿＿，低碳钢的极限应力是＿＿14、低碳钢试件扭转破坏原因是＿＿＿＿＿。15.在剪切实用计算中，假定切应力在剪切面上是

分布的。16、矩形截面杆最大的扭转剪应力发生在＿＿；最大的弯曲剪应力发生在＿＿＿。17、根据弯曲正应力强度条件，截面的合理程度由＿＿＿值决定。18.梁的弯矩方程对轴线坐标x的一阶导数等于

方程。19、描述梁变形通常用——和——两个位移量。20.静定梁有三种类型，即，

、

和2023/9/10材料力学521.研究超静定问题的一般方法是综合考虑几何方程、物理方程和静力平衡方程三方面因素。22、单元体内切应力等于零的平面称为

，该平面上的应力称为23.由构件内一点处切取的单元体中，正应力最大的面与切应力最大的面夹角为

度。24、构件某点应力状态纯剪切，则该点的主应力分别为＿＿＿。25.横力弯曲时，矩形截面梁横截面中性轴上各点处于

应力状态。2023/9/10材料力学626.圆轴弯扭组合变形时，除轴心外，各点处的三个主应力σ1，σ2，σ3中，等于零的主应力是

。27.某机轴材料为45号钢，工作时发生弯扭组合变形，对其进行强度计算时，宜采用＿＿＿强度理论。28.斜弯曲实质上是＿＿＿的组合变形。29、压杆失稳是指压杆在轴向压力作用下_不能维持直线平衡状态而突然变弯

30、一理想直杆受轴向压力P=Pcr时处于直线平衡状态，当受到一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置，发生微小弯曲，若去掉横向干扰力，压杆保持微弯状态。31.两根材料和柔度都相同的压杆临界应力一定相等，临界压力不一定相等。32、图示两根压杆，角钢的相同，则那样组合稳定性好2023/9/10材料力学72023/9/10材料力学833、压杆的柔度，综合反映了影响压杆稳定性的因素有＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿。34、杆件作等加速直线运动时的动荷系数35、半径为R的圆环绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴作匀角速ω旋转，欲有效减小圆环内的动应力，可以采取的最好措施是＿＿＿ 36、直杆绕其一个端点以匀角速ω在水平面上旋转，则此杆发生＿＿＿变形dK

12023/9/10材料力学937、用能量法来计算被冲击物中的最大动应力和最大动变形。为了简化计算，还需采用如下几个假设：①冲击物的变形很小，可视为刚体；②被冲击物的质量引起的应力可单独分析，对冲击影响小，分析冲击时忽略不计；③冲击物与被冲击物接触后，两者即附着在一起运动；④略去冲击过程中的能量损失（如热能的损失），只考虑动能与势能（重力势能和弹性应变能）的转化。2023/9/10材料力学1038、突加载荷下，构件的应力和变形皆为静载荷时的两倍39.

对称循环交变应力的应力循环特性r等于

。40.疲劳失效的特点有：

。41、描述交变应力的基本参数有

。42、交变应力作用下，影响构件疲劳极限的主要因素有：构件

的影响，构件

的影响及构件_的影响。2023/9/10材料力学1143、能量法只适用于线弹性体，小变形结构44.计算应变能不能用叠加原理，不能将各载荷单独分 析再进行叠加。如果作用在杆件上的某一载荷作用方 向上，其它载荷均不在该载荷方向上引起位移，则仍 可应用叠加原理计算应变能，即是说，可以单独计算 每一载荷作用下杆件的应变能，然后叠加计算杆件的 总应变能。组合变形时的应变能就属于这种情况。45、弹性应变能只决定于弹性体变形的最终状态，或

者说只决定于作用在弹性体上的载荷和位移的最终值，与加载的先后次序无关。2023/9/10材料力学121、轴向拉伸与压缩（1）、应力状态1A

FA

NF

N2023/9/10材料力学13（2）、横截面上的应力：（3）、横截面上的应力：

p

F

p

cos

cos2

p

sin

2

sin

2

（4）强度条件：最大工作应力小于等于许用应力等直杆：

maxA

Nmax

max2023/9/10材料力学14

N

变直杆：

max

A

max

≤

（5）轴向拉压的变形纵向线应变（反映变形程度）l

lEA

l

Nl胡克定律(Hooke’slaw),

适用于拉(压)杆。E

单轴应力状态下的胡克定律

-

2023/9/10材料力学152、圆轴的扭转（1）、应力状态602

nMe

Pk

1000

9549(N

m)kPn2

tT02

r

D（3）薄壁圆筒横截面上的切应力计算式t

（2）外力偶矩的计算2023/9/10材料力学16（4）圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力pI

T

maxtW

Tmax

πd

4实心圆截面：

Ip

32πd

3Wt

16

：2023/9/10材料力学17πD44p空心圆截面

I

1

32

34tπD

161

W

（5）扭转强度计算强度条件：强度条件应用：校核强度:maxtW

Tmax

≤

tW[

]Tmax≥设计截面尺寸:确定外荷载:Tmax≤

Wt

[

]

m

max

[

]

p

max

W

T

max

p2023/9/10材料力学18maxW

Tmax

等截面圆轴:变截面圆轴:(6)、扭转变形：（相对扭转角）

TlGI

p

TiliGI

pi——单位长度的扭转角扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴d

x

GIP2023/9/10材料力学19

d

T剪切虎克定律

G

GI

PTmax刚度条件：

max

max

max

T

1800GIP

()m

刚度条件应用：1)、校核刚度；

max

≤

T2023/9/10材料力学20I

p

max

G[

]

GIp

[

]3)、确定外荷载:2)、设计截面尺寸:Tmax

m(7)、扭转刚度：2023/9/103.

梁的弯曲（Ⅰ）、横截面上的应力Izσ

MyM为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.Ｗ为抗弯截面系数W

Mσmaxσ

tzyxcmax

Mzzyx

tcmax

Mzmaxmax21材料力学22圆截面矩形截面空心圆截面

d

4IZ

64

d

3WZ

32644

D4ZI

324(1

)

D3Z(1

)

W

12bh3IZ

6bh2WZ

对于中性轴不是对称轴的横截面zyyc

maxyt

max2023/9/10

材料力学MI

zσ

Myσc

maxtmaxσIMyσc

max

c

maxzMyI

zσt

max

t

maxQS

zIzb

矩型截面上y点的宽度.Izb整个横截面对中性轴的惯性矩.截面面积对中性轴的静矩.zS

距中性轴为y的横线以外部分横（２）、横截面上的切应力zτmaxmax

3Q2A

矩形截面.max

4

Q3

A

圆截面A

2023/9/10材料力学2324π

d(３)、强度条件max

[

]maxzQS

*I

b

max

z

max

[

](４)、弯曲变形w

/

载荷

LnEIW2023/9/10材料力学24σ

M

max2023/9/1054321

P

2F4

FPlMz1z25材料力学zWMx1

2x2

2

23

3(５)、应力状态2023/9/10x

x

yy

yx

xy4、平面应力状态分析：sin

2

2xy

x

y

cos2

yx

sin

22xy

cos2

yx2

１）斜截面上的应力：26材料力学02

xytan

2

x

y

2maxmin22

x

y

x

x

y

2(

)

2

max

1

3

r

2

1

(

2

3

)

[

]

r

3

1

3

4）强度条件：

r1

1

2）主平面方位：02023/9/1材料力学273）主应力：5）广义胡克定律：xxEy

z

1

yyE

1

x

zzzE

1

y

xxzzy

xzzyxyxyGGG,

1

1

1

,

2023/9/10材料力学281）相当长度

l

的物理意义压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度（即折算成两端铰支杆的长度）就是压杆的相当长度

l

.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.2）压杆总在EI最小的方向失稳

为长度因数

l

为相当长度Fcr

(

l

)22023/9/10材料力学29π2

EI5、压杆稳定（1）、压杆临界压力的欧拉公式（2）、压杆的分类及临界应力1）大柔度杆2）中柔度杆σcr

σs3）小柔度杆2

1

2π2

Eσcr

1

πpEσ12

σcr

a

bba

s

2

l

iA2023/9/10材料力学30Ii

（3）.稳定性条件计算步骤计算最大的柔度系数

max；根据

max

选择公式计算临界应力；继而计算出临界压力根据稳定性条件，判断压杆的稳定性、设计截面尺寸或确定许可载荷.stnF

Fcrst2023/9/10材料力学31

nFn

Fcrn为工作安全因素6、动载荷d

K

d

st1）、杆件作匀加速上升运动时的动荷系数gdK

1

aFd

Kd

Fst

d

Kd

st动荷因数Kd

=动响应2023/9/10材料力学32静响应（1）、

圆环轴线上点的线速度

d

v2强度条件

d

v

[

]2环内应力与横截面面积无关.要保证强度,应限制圆环的转速.Fdoyd

FNdDqd

(

2

d

)qdD

v2A

2

D2FNd

4

2

D22023/9/10材料力学33

d

42）、杆件作等角速度转动时的应力计算std

1

2hK

1

3）、物体自由下落时的动荷系数st2023/9/10材料力学34

st

为冲击物以静载方式作用在冲击点时,冲击点的静位移.4）、水平冲击，设冲击速度为vv2Kd

g

在扭转交变应力下2023/9/10一个应力循环（2）、交变应力的基本参数应力每重复变化一次,称为一个应力循环O

t在拉,压或弯曲交变应力下

maxr

min

maxr

min

max

min35材料力学1）.应力循环2）.循环特征2023/9/103）.应力幅O一个应力循环

t

max

min

a

a2minmaxa

4）.平均应力236材料力学

max

minm

（3）、对称循环的疲劳许用应力n

n

K

1

1

1

0[

]

1

1

0[

1

]

1

1n

n

K

（4）、疲劳强度条件1）、对称循环的疲劳强度条件

max

[

1

]

n0

1

1

nK

n

同理n

1

nK

max

maxmax2023/9/10材料力学37

0

1n

nn

n扭转强度条件为

nn

ma

1K

强度条件为

m2023/9/10材料力学38a

1

K

n

2）、对称循环的疲劳强度条件NNnMnMM

(x)M

(x)LN

2

(x)

d

x2023/9/10材料力学39T

2

(x)

d

xM

2

(x)

d

x2EA

2GI2EIV

L

L

Lp注意：应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中不能使用；弹性应变能与加载的次序无关。7、应变能（1）.应变能的普遍表达式(克拉贝依隆原理)P1P2in

1

2P

Pi

n线弹性材料2023/9/10材料力学402ni

i

i

1V

1

F

iF

——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。

i

——在所有力共同作用下与广义力Fi

相对应的沿着力的方向的广义位移。设在某弹性体上作用有外力F,F,

,F1

2

n，在支承约束下在相应的力

F

方向产生的位移为

ii，(i=1,2,…,n)。ii

V

F（2）.

卡氏定理P1P2in

1

2P

Pi

n2023/9/10材料力学41卡氏定理的特殊形式1)轴向拉伸或压缩杆2)

扭转圆杆2N

(x)

d

xN

(x)

N

(x)d

x2EAil

liiEA

F

V

F

Fi

2T

(x)

d

xT

(x)T

(x)

d

x2GIillipPiGI

F

V

F

F

i

3)

平面弯曲梁2M

(x)

d

xM

(x)

M

(x)d

x2EIil

liiEI

F

V

F

Fi

4)

组合变形杆件M

(x)

M

(x)

d

x2023/9/10材料力学42N

(x)

N

(x)

d

x

T

(x)

T

(x)

d

x

i

l

l

liiGIP

FiiEA

FEI

F

V

F

M

(x)M

(x)

d

xEINi

N

ilii

1n

EAi

T

(x)T

(x)

d

xGIP以上诸式只适用于线弹性体（3）.莫尔积分5)

简单桁架结构n

i

12023/9/10材料力学43Nili

NiiiEi

Ai

Fi

V

F

2023/9/10材料力学442023/9/10AB1m3mP=20kNE2mCD

q=10kN/m

200mm30例１铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为[

]

40

MPa，许用压应力为[

]

100

MPa，[

]

35

MPa

。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？200mmyczz

ycF

AyF

By约束反力：45材料力学FAy

30

kN,FBy

10

kN,2023/9/10200mm30200mmyczz

yc解：（1）确定中性轴的位置Sz

A

yC20

3

2

Sz

3

20

21.5

3

20

10A

15.75

cmC

y2312

3

20

3

20

(15.75

10)1zI

1

20

33

20

3

[(20

15.75)

1.5]246材料力学12

6013

cm

4最大静矩：Sz,max

3

15.75

7.88

372

cm

32023/9/10AB2m3mP=20kND1mCq=10kN/m（2）绘剪力图、弯矩图F

AyF

By约束反力：(+)(-)(-)10kNM

图(+)(-)10kN10kN·m20kNmFs,max

FsA左

20kN,MA

20kN

m,MD

10kN

m47材料力学20kNFs

图FAy

30

kN,FBy

10

kN,由Fs

图、M

图知：2023/9/10材料力学48（3）正应力强度校核对于A截面：max

A(

)max

A(

z)

52.4

MPa

8

26.013

10AM

(4.25

3)

10(

)

max

A

24.1MPa

24.1MPa

8

26.013

10AM

15.75

10(

)

max

A

52.4MPa200mm200mmy30czz

yc对于D截面：

2MD

15.75

106.013

10

8(

)

max

D

26.2MPa6.013

10

8DM

7.25

10

2(

)

max

D

12MPamax

D(

)

12

MPamax

D(

)

26.2

MPaz200mm200mm2023/9/10

y30czz

ycmax

)

A(

max

A(

z)

52.4

MPa49材料力学

24.1MPa2023/9/10maxmax

D

(

)

26.2MPa

[

]

40MPa

max

(

)

52.4MPa

[

]

100MPamax

D

∴正应力强度足够。（4）剪应力强度校核在A截面：因此maxz

I

Fs,max

Sz,max

0.03

6.013

10

550材料力学

20

103

372

10

6

4.12MPa

[

]∴剪应力强度足够。（5）若将梁的截面倒置，则max

(

)

52.4

MPa

[

]max

A

此时强度不足会导致破坏。yzz

yccmax

A(

)z)

24.1MPa2023/9/10材料力学51max

A(

52.4

MPa例2.跨长L=10m的临时桥的主梁，由两根矩形截面钢梁相叠铆接而成，如图所示，b=500mm,h=30mm,梁受均布载荷q作用，能在许用正应力［σ］=160MPa下工作。已知铆钉的直径d=20mm,许用切应力［τ］=100MPa，试按切应力强度条件计算铆钉间的最大间距ｓb２ｈＬq2023/9/10材料力学522

M

qlMax

6

W

8

b(2h)2ql

2

8bh

2

23l2h

3

ql

2

2

2bh

Maxl

42023/9/10材料力学53

d

2

164mm4

Max

d

2Max

bs

s

b

解：例3、一单梁吊车如图所示，跨度l=10.5m，由45a工字钢制成，[σ]=140MPa，[τ]=75MPa。试计算是否能起吊

W1=70kN的物体？若不能则在上下翼缘各加一块

100mm*10mm的钢板，试校核其强度并确定钢板的最小长度。已知电动机重W=15kN（梁的自重不计，工字钢的IZ=3.224*104cm4，WZ=1430cm3，IZ/Sz*=38.6cm，腹板宽度b=1.15cm）。2023/9/10材料力学54

4

200

1033

14M

max

l

15

10

10.5

61.2KN

70KN不能直接起吊

的物件，梁需加固P

P

解：梁的最大弯矩为

P

P1

lmax(1)4M由弯曲正应力强度条件由式（

）（

）得max2023/9/10材料力学55W

M

(2)42

412

10

13Iz

32240

2

23

10

1

4.28

10

cm

当P1

70KN时

75

15

103

122.4MPa

10.5

223

103

Nmmax233

103

M

maxmax4M

W

1822

10

6加焊钢板后，截面惯性矩为

6

3梁安全2023/9/10材料力学56ymaxI

4.28

104

1822

10

m22.5

1W

z

max

19.15MPaz

Q

S

85

103max

z

maxbI

1.15

38.6

10

4

当小车走到支座附近时，梁内弯矩减小而剪力增大Qmax

70

15

85KN（３）确定钢板最小长度

得M2023/9/10材料力学57maxmax

200KNmW

M

max由

max2023/9/10材料力学58M

P1

P

l

x

x

200

103x2l

10.5x

24.7

0x

3.56

(负根舍去）钢板最小长度l1

10.5

2

3.56

3.38m设钢板加至离支座ｘ处2023/9/10例4、圆周直径d=20mm，受力如图所示。在轴的上边缘A点处，测得纵向线应变

a=4

10-4；在水平直径平面的外侧B点处，测得

-45=4

10-4。材料的弹性模量E=200GPa，泊松比

=0.25。求作用在轴上的荷载F、力偶m的大小。=

(

)图(

)59材料力学2023/9/10解：1、确定A、B两点的应力大小由应力状态分析知，A点处为二向应力状态，见图a。利用胡克定律可得A点应力

A

E

a

200

10

4

10

80MPa9

4而点B处于纯剪切应力状态，见图b。由此有

0

B45

B

450利用广义胡克定律B

1

EE

1

450

450

45048Mpa60材料力学

E

B

3

101

0.25

200

1091

4

450

W

d

3

M

64FA

F

A

64

d

364

203

10

96

80

10

31.4N2、计算荷载F、外扭矩m所以

T

16TpW

d

3B

10

48

10

75.4N

m2023/9/10材料力学616

93

d

3

m

T

16

B

16

20B点的切应力所以A点的正应力e

A B

h

A

B

6

AB

e

FF

b

h2023/9/10材料力学62例5．图示矩形截面拉杆受偏心拉力F作用，用电测法测得该杆表面A、B两点的轴向线应变分别为

A和

B，试证明偏心距2023/9/10

1

6A

F

Febh

bh2bh

bh2(2)B

F

Fe

6e1

h1

6eh

A

B

663材料力学e

A

B

h6又由虎克定律

E

(3)

A

B解：证明：拉杆在F作用下发生拉伸与弯曲组合变形A点的正应力

B点的正应力由①、②、③式得：2023/9/10例题6

图a，b，c所示两端球形铰支的组合截面中心压杆，由两根110

mm×70

mm×7

mm的角钢用缀条和缀板联成整体，材料为Q235钢，试求该压杆的临界压力。64材料力学2023/9/10解：1.

确定组合截面形心和形心主惯性轴图c所示组合截面的形心离角钢短肢的距离显然就是y0＝35.7

mm，并落在对称轴y轴上。根据y轴为对称轴可知，图c中所示通过组合截面形心的y轴和z轴就是该组合截面的形心主惯性轴。2.

计算组合截面的形心主惯性矩z65材料力学I

2

153

104

mm4

306

104

mm4

235

104

mm4yI

2

49.01

104

mm4

1230

mm2

16.1

mm

7.5

mm

2

可见，在组合截面对于所有形心轴的惯性矩中，Imax=Iz

，Imin=Iy

,按通常的说法就是z

轴为强轴，而y轴为弱轴。3.

计算压杆的柔度此压杆两端为球形铰支座，在各个纵向平面内对杆端的约束相同，故失稳时横截面将绕弱轴y

轴转动。压杆的柔度应据此计算。235

104

mm42023/9/10材料力学66I

yiy

A

2

1230

mm2

30.9

mm

l

1

3

m

97i

30.9

10

3

m4.

计算压杆的临界压力Pcr

σcr

A

a

b

A2023/9/10材料力学67

304

1.12

97

106

12.301

10

4

240.3(KN

)例

7

已知梁为16号工字钢，吊索横截面面积

A＝108

mm2,等加速度a

=10

m/s2

，不计钢索质量。求：1,吊索的动应力

d

;2,梁的最大动应力

d,

max

。吊索的静轴力为2

2N

stF

1q

l

1

201.1

12

1206.6N解：

.求吊索的

d

号工字钢单位长度的重量为qst

20.5×9.81=201.1

N/m2023/9/10材料力学68C截面上的弯矩为2023/9/1M0

max

6qst

6

201.1

1

206.6

N

m

1

206.6

11.2

MPaA

108

FNst吊索的静应力

dg

9.81K

1

a

1

10

2.02动荷因数为吊索的动应力为

d

Kd

st

2.02

11.2

22.6

MPa

.求梁的

d

,max69材料力学2023/9/10材料力学70查表16号工字钢的弯曲截面系数为Wz

21.2

10

mm3

3梁的最大静应力为3

max

56.9

MPast,maxz

W

21.2

103

M

1206.6

10

梁的最大动应力为

d,max

Kd

st,max

2.02

56.9

114.9

MPa例8、图示长度l=1m，直径d=16mm的细长杆AB，两端铰支，在15°时安装，安装后A端与刚性槽之间

的空隙δ=0.25mm。杆的材料为Q235钢，λ1=100，E=200GPa，σP=200MPa，线膨胀系数α=11.2*10-6/°C，安全系数nst=2.5。试求此杆所能承受的最高工作温度。2023/9/10材料力学71解：当杆由于温度的升高而产生的变形大于空隙δ时，