平行板电容器电容的计算

平行板电容器电容的计算

在电磁学中，电动汽车容量是一个非常重要的变量。平面电阻计算方法相对简单，但上下极板的面积不同，并且平面上的极板是球形、圆形和柱面的电阻电阻计比较复杂。在计算平行板的电压分离的基础上，本文介绍了解决这些问题的方法。1基础学习1.1电容器电容器的结构由电磁学理论知,在电位不变的情况下,一个导体的容电能力会因另一导体的移近而大大提高.利用这一原理,可以使两个导体组成一个容电能力较大而结构尺寸不大的系统,用来储存电量(也就是储存电能),这个系统称为电容器.即电容器主要是由两个彼此隔离而又互相屏蔽的导体组成,带正电的导体称为正极板,带负电的导体称为负极板.实验表明,电容器电量与两极电压的比值只与电容器本身结构有关,它是描述电容器本身性质的物理量,叫做电容器的电容,记作C,即C=qU(1)常见电容器有平行板电容器、圆柱电容器及球形电容器.1.2电容器容计算公式为简便起见,我们假设电容器极板间为真空,即介电常数为ε0,那么常见的3种电容器的电容计算公式为平行板电容器C=ε0Sd(2)圆柱电容器C=2πε0LlnR2R1(3)球形电容器C=4πε0R1R2R2-R1(4)公式(2)给出了等面积平行极板电容器电容的计算方法,实际应用中有许多上、下极板面积不等且不为平面的情况,现在我们对此问题进行讨论.2平板式电动汽车的容量计算2.1球冠面极板电容器串联电容以下几种类型的电容器,假定其极板间距远小于极板自身的线度,我们就可按平行板类电器来计算它们的电容.如图1所示为一球冠面极板电容器,电容器的上、下极板分别为半径R1、R2的球面.在两极板之间任选半径为r及r+dr的球面组成一微电容器,当dr极小时,可将此微电容器视为面积为Ωr2、间距为dr的平行板电容器,电容计算公式可以写为:dC=ε0Ωr2dr,式中Ω为立体角.这时,整个球冠面极板电容器就可看作由这些微电容器串联而成,根据电容器串联电容的计算规律,图1所示球冠面极板电容器的电容为C=1∫R2R11dC=1∫R2R11ε0Ωr2dr=1∫R2R1drε0Ωr2=11ε0Ω∫R2R1drr2=11ε0Ω(1R1-1R2)=ε0ΩR1R2R2-R1即C=ε0ΩR1R2R2-R1(5)当Ω=4π时,球冠面极板电容器就转换成了球形电容器,公式(5)也变成了式(4)的形式.2.2极板电容器串联而成如图2所示为一圆面极板电容器,上、下极板分别为半径为R1、R2的圆形平面,极板间距离为h.在两极板间任一位置取一半径为r的圆,它与半径为(r+dr)的圆面间的电容在dr很小的情况下可认为是一平行板电容器,故其电容为dC=ε0πr2dh,由相似三角形对应边成比例的规律知,drR1=dhh+x,且xx+h=R2R1,所以x=R2hR1-R2,代入上式得dh=(h+x)R1dr=(h+R2hR1-R2)R1dr=h(R1-R2)+R2hR1(R1-R2)dr=hR1-R2dr因此这一微电容器的电容可写为dC=ε0πr2dh=ε0πr2h(R1-R2)dr=ε0π(R1-R2)hr2dr因图2所示的电容器可认为由上述微电容器的串联而成,所以总电容为C=1∫R1R21dC=1∫R1R21ε0π(R1-R2)r2hdr=1∫R1R2hdrε0π(R1-R2)r2=1hε0π(R1-R2)∫R1R2drr2=1hε0π(R1-R2)(1R2-1R1)=ε0π(R1-R2)R1R2h(R1-R2)=ε0πR1R2h所以,圆面极板电容器的电容为C=ε0πR1R2h(6)2.3极板电容器串联成分配微电容器如图3所示为正方形极板电容器,其中上、下极板分别是边长为a与b的正方形,两极板间的距离为h.在两极板间任意位置取边长为2x的正方形,它与相距dh处的正方形组成一微电容,当dh极小时,此微电容可当作平行板电容器处理,其电容为dC=ε04x2dh,由相似三角形对应边成比例的规律知,dxb/2=dhh+y,且yy+h=a/2b/2=ab,所以y=ahb-a,代入上式得dh=2(h+y)bdx=2(h+ahb-a)bdx=2h(b-a)+2ahb(b-a)dx=2h(b-a)dx∴因图3所示的电容器可认为由上述微电容器串联而成,所以总电容为C=1∫a/2b/21dC=1∫a/2b/212ε0(b-a)x2hdx=1∫a/2b/2hdx2ε0(b-a)x2=1h2ε0(b-a)∫a/2b/2dxx2=1h2ε0(b-a)(1a/2-1b/2)=ε0(b-a)abh(b-a)=ε0abh所以,正方形平行极板电容器的电容为C=ε0abh(7)2.4柱形极板电容器如图4所示为柱形极板电容器,内外极板的半径分别为R1、R2;圆心角为θ;高度为L.在两极板间任一位置取半径为r、圆心角为θ,高度为L的柱面,它与其同心(圆心角及高度均相同但半径为r+dr)柱面间形成一微电容器,在dr极小时这一电容器也可视为平行板电容器,电容dC=ε0θLrdr.因图4所示的电容器可认为由上述微电容器串联而成,所以总电容为C=1∫R1R21dC=1∫R1R21ε0θLrdr=1∫R1R2drε0θLr=11ε0θL∫R1R2drr=ε0θLlnR2R1因此柱形极板电容器的电容计算公式为C=ε0θLlnR2R1(8)显然,当θ=2π时,为圆柱电容器的电容,即公式(3)的形式.3面积等同情况下电容器电容的计算平行板