分类加法计数原理与分步乘法计数原理2

第十单元排列组合与概率分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．4封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是()A．34 B．43 C．Aeq\o\al(3,4) D．Ceq\o\al(3,4)解析：第n封信有3种投法(n＝1,2,3,4)，根据分步计数原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有3×3×3×3＝34种投法．答案：A2．4人去借三本不同的书(全部借完)，所有借法的种数是()A．34 B．43 C．Aeq\o\al(3,4) D．Ceq\o\al(3,4)解析：第n本书有4种借法(n＝1,2,3)，根据分步计数原理4人去借三本不同的书(全部借完)共有4×4×4＝43种借法．答案：B3．5名运动员争夺三个项目的冠军(不能并列)，所有可能的结果共有()A．35种 B．53种 C．Aeq\o\al(3,4)种 D．Ceq\o\al(3,4)种解析：第n个项目的冠军可由5名运动员中的一人取得，共5种方法(n＝1,2,3)，根据分步计数原理，所有可能的结果共有5×5×5＝53(种)．答案：B4．5名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是()A．35 B．53 C．Aeq\o\al(3,5) D．Ceq\o\al(3,5)解析：第n名应届毕业生报考的方法有3种(n＝1,2,3,4,5)，根据分步计数原理不同的报名方法共有3×3×3×3×3＝35(种)．答案：A二、填空题5．(2022·金华一中高三月考)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)解析：由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案：2406．有8本书，其中有2本相同的数学书，3本相同的语文书，其余3本为不同的书籍，一人去借，且至少借一本的借法有________种．解析：数学书的本数可以是0,1,2三种；语文书的本数可以是0,1,2,3四种，其余3本书每本都有两种取法，由分步计数原理共有3×4×2×2×2－1＝95种借法．答案：957．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．解析：小组赛共有2Ceq\o\al(2,4)场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类计数原理共有2Ceq\o\al(2,4)＋4＝16场比赛．答案：16三、解答题8．海岛上信号站的值班员总用红、黄、白三色各三面旗向附近海域出示旗语，在旗标上纵排挂，可以是一面、两面、三面，那么这样的旗语有多少种？解答：悬挂一面旗共有3种旗语；悬挂两面旗共有3×3＝9种旗语；悬挂三面旗共有3×3×3＝27种旗语．由分类计数原理，共有3＋9＋27＝39种旗语．9．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解答：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝12种方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝6种方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＝12种方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．10．如下图所示，三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解答：(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成Ceq\o\al(2,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(2,k)＋Ceq\o\al(2,k)Ceq\o\al(2,m)个平行四边形．1．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花()A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元解析：从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连接的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步计数原理共有8×9×10×6＝4320(注)，至少需花4320×2＝8640(元)．答案：D2．由n×n个边长为1的小正方形拼成的正方形棋盘中，求由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目．解答：如下