高中数学第6章计数原理数学探究杨辉三角的性质与应用课件新人教版选修3

数学探究杨辉三角的性质与应用课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.探索杨辉三角性质的发现和证明.2.体会杨辉三角的应用.3.通过学习,提升直观想象、数据分析、逻辑推理及数学运算的核心素养和人文素养.知识概览课前·基础认知1.杨辉三角我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中,把二项式系数图形化,使组合数内在的一些代数性质直观地体现出来.(a+b)n的展开式中的二项式系数,当n依次取1,2,3,…时,如图所示:上图称为杨辉三角(或帕斯卡三角).2.杨辉三角的特点观察杨辉三角的相邻两行,可以发现,三角形的两个腰都是由数字1组成的,其余的数都等于它肩上的两个数相加,即微思考

根据杨辉三角的特点,在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质?微训练

与杨辉三角有类似性质的三角形数垒如图所示,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于(

)A.20 B.21 C.22 D.23答案:C解析:根据观察可知,每一行的第一个数和最后一个数都相等,其余的数都等于它肩上的两个数相加.故b=6+16=22.课堂·重难突破一

杨辉三角的简单应用典例剖析1.如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被5整除,则具有类似性质(第n行能被n整除)的行是(

)A.第6行 B.第7行C.第8行 D.第9行答案:B解析:由题意,第6行为1,6,15,20,15,6,1,第7行为1,7,21,35,35,21,7,1,第8行为1,8,28,56,70,56,28,8,1,第9行为1,9,36,84,126,126,84,36,9,1,故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除.规律总结杨辉三角相关问题的一般思路

学以致用1.如图所示,由二项式系数构成的杨辉三角中,第

行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.

答案:34二

杨辉三角在数列中的应用典例剖析2.设数列{an}是集合{2s|s∈N}中的所有数从小到大排列成的数列,将数列{an}的各项按照上小下大,左小右大的原则排成类似“杨辉三角”的图形.(1)按图中箭头方向数字1,2,8,64,…组成一个数列{bn},求数列{bn}的通项公式;(2)22005是第几行的第几个数?解:(1)观察每一行的第一个数,不难发现:又22

005=21

953+(53-1),故22

005是第63行的第53个数.规律总结将等差(等比)数列重新排列成类似“杨辉三角”的图形,考查相关数列问题是杨辉三角数列创新题的常见形式之一,这类问题主要考查重排后指定某数位置的确定或者特定行的通项公式的求法.求解关键是找到数列的排列规律.学以致用2.如图,构造一个类似杨辉三角的图形,则这个图形的第20行的第19个数是多少?解:根据图形的对称性,第20行的第19个数等于第20行的第2个数,把从第2行开始的每一行的第2个数构成的数列记为{an},n≥2,a2=3,则a3-a2=2×2-1,a4-a3=2×3-1,…an+1-an=2n-1,把以上式子相加得an+1-a2=3+5+7+…+2n-1,所以an+1=3+3+5+7+…+2n-1=2+1+3+5+7+…+2n-1=2+n2.所以这个图形的第20行的第19个数是a20=2+192=363.随堂训练1.一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵如图所示,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.若用ai-j表示三角形数阵的第i行第j个数,则a100-3=(

)A.5050 B.4851 C.4950 D.5000答案:B2.如图,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于(

)A.144 B.146

C.164

D.461答案:C3.(多选题)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(

)ABC解析:由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A,B,C正确,115=161

051,选项D错误.故选ABC.4.如图,在杨辉三角中,从上往下数共有n行(n∈N*),在这些数中,非1的数之和为

.

答案:2n-2n5.如图所示,满足如下条件:①第n行首尾两数均为n;②图形中的递推关系类似“杨辉三角”.则第10行的第2个数是

,第n行的第2个数是

.解析:由题图可知第10行的第2个数为(1+2+3+…+9)+1=46,6.在杨辉三角中,除每行的两端数值外,每一数值都是它肩上的两个数相加,杨辉三角开头几行如图所示.(1)利用杨辉三角展开(1-x)6;(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数,它们的比是3∶4∶5?解:(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1,其余每个数都等于它肩上的两个数相加”,可写出第6行的二项式系数为1,6,15,20,15,6,1,因此(a+b)