高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时直线与椭圆的位置关系课件新人教版选修1

3.1.2

椭圆的简单几何性质第2课时

直线与椭圆的位置关系课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练素养•目标定位目标素养1.会判断直线与椭圆的位置关系.2.会解决直线与椭圆相交时的弦长、中点弦问题,体会数形结合的思想.3.提升直观想象和数学运算等核心素养.知识概览课前·基础认知1.点与椭圆的位置关系

2.直线与椭圆的位置关系消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及一元二次方程根的判别式Δ的取值的关系如下表所示.课堂·重难突破一

直线与椭圆的位置关系典例剖析1.对不同的实数m,讨论直线y=x+m与椭圆

的位置关系.规律总结判断直线与椭圆位置关系的方法

联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,设此一元二次方程根的判别式为Δ,则

Δ>0⇔直线与椭圆相交;

Δ=0⇔直线与椭圆相切;

Δ<0⇔直线与椭圆相离.学以致用

二

直线被椭圆截得的弦长问题典例剖析

互动探究(变问法)本例中,去掉条件“且”,求|AB|最大时直线l的方程.规律总结1.求直线被椭圆截得的弦长的方法

方法一:求出两交点坐标,用两点间距离公式;方法二:用弦长公式

,其中k(k≠0)为直线AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2).

2.有关直线与椭圆相交所得弦长最值问题,要特别注意判别式的限制.学以致用2.若斜率为2的直线l经过椭圆

的右焦点,与椭圆相交于A,B两点,则|AB|=

.

三

与椭圆有关的中点弦问题典例剖析3.过椭圆

内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A,B两点,使线段AB被点P平分,求此直线的方程.解法一:由题意可知,直线AB的斜率存在且不为零.如图,设所求直线的方程为y-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(*)又设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根,∴所求直线的方程为x+2y-4=0.互动探究(变问法)本例条件不变,求|AB|.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由典例剖析3解可知直线AB的方程为x+2y-4=0.规律总结解决椭圆中点弦问题的两种方法

(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

(2)点差法:利用点在椭圆上,点的坐标满足椭圆方程,将点的坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.学以致用3.已知椭圆E:

(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为(

)答案:D四

与椭圆有关的最值问题典例剖析4.在椭圆

上求一点P,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出最短距离.则由Δ=9m2-16(m2-7)=0,解得m=±4.学以致用

随堂训练1.直线l:x+y-3=0与椭圆

+y2=1的位置关系是(

)A.相离 B.相切C.相交 D.相交或相切答案:A∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,∴直线l与椭圆相离.2.直线y=x+1被椭圆x2+4y2=8截得的弦长是(

)答案:A解析:将y=x+1代入x2+4y2=8,可得x2+4(x+1)2=8,即5x2+8x-4=0,3.已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A,B两点,弦AB的中点为M(1,1),则直线AB的方程为(

)A.4x+9y-13=0 B.4x+9y+13=0C.9x+4y-13=0 D.9x+4y+13=0答案:A解析:易知所求直线的斜率存在.设所求直线的方程为y=k(x-1)+1,即y=kx+1-k.5.若点O和点F分