高中数学第7章随机变量及其分布7.4.1二项分布7.4.2超几何分布训练提升新人教版选修3

7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布--7.4.2超几何分布课后·训练提升基础巩固1.(多选题)下列例子中随机变量X不服从二项分布的是()A.某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数XB.某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数XC.从装有5个红球,5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,摸到白球时的摸球次数XD.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,X表示n次抽取中出现次品的件数答案:BCD解析:对于A,某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X~B(10,0.6),故是二项分布;对于B,对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数X,每次试验不是独立的,与其他各次试验结果有关,不是二项分布;对于C,虽然是有放回地摸球,但随机变量X的定义是直到摸出白球为止,即前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义;对于D,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出现次品的概率不相等,故X表示n次抽取中出现次品的件数不服从二项分布.2.已知随机变量X,Y满足X+Y=8,且X服从二项分布,记作X~B(10,0.6),则E(Y)和D(Y)的值分别是()A.6和2.4 B.2和2.4C.2和5.6 D.6和5.6答案:B解析:由已知E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×0.4=2.4.因为X+Y=8,所以Y=8-X.所以E(Y)=-E(X)+8=2,D(Y)=(-1)2D(X)=2.4.3.已知X~Bn,12,Y~Bn,13,且E(X)=15,则E(A.5 B.10 C.15 D.20答案:B解析:因为E(X)=12n=15,所以n=30,所以Y~B30,13,所以E(Y)=30×4.在4重伯努利试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为6581,则事件A在1次试验中发生的概率为(A.13 B.25 C.56答案:A解析:设事件A在一次试验中发生的概率为p.由题意得1-C40p0(1-p)4=6581,解得5.设X的分布列为P(X=k)=C5k13k235-k(k=A.10 B.30 C.15 D.5答案:A解析:由P(X=k)=C5k13k235-k(k=0,1,2,3,4,5)可知随机变量X服从二项分布B5,13,因此D(X)=5×136.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=59,则D(3Y+1)=(A.2 B.3 C.6 D.7答案:C解析:因为随机变量X~B(2,p),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=59,解得所以D(Y)=3×13×23=23,所以D(3Y+1)=9D(Y)7.抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次,正面朝上的次数X服从二项分布Bn,12,若P(X=1)=332,则方差D(X)答案:3解析:因为3≤n≤8,随机变量X服从二项分布Bn,12,且P(X=1)所以Cn1·12n-1所以方差D(X)=np(1-p)=6×128.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其中次品数为X,已知P(X=1)=1645,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为.答案:20%解析:设10件产品中有x件次品,则P(X=1)=Cx1·C10-x因为次品率不超过40%,所以x=2,所以次品率为2÷10×100%=20%.9.已知随机变量X服从二项分布,X~B6,12,则E(2X+3)=,D(2X+3)答案:96解析:∵随机变量X服从二项分布B6,1∴E(X)=6×12=3,D(X)=6×1则E(2X+3)=2E(X)+3=9,D(2X+3)=22×D(X)=6.故答案为9,6.10.某游戏射击场规定:①每次游戏射击5发子弹;②5发全部命中奖励40元,命中4发不奖励,也不必付款,命中3发或3发以下,应付款2元.现有一游客,其命中率为12(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率;(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.解(1)设5发子弹命中X(X=0,1,2,3,4,5)发,由题意知X~B5,12,则由题意有P(X=5)(2)X的分布列为X012345P15101051设游客在一次游戏中获得资金为Y元,于是Y的分布列为Y-2040P1351故该游客在一次游戏中获得资金的均值为E(Y)=(-2)×1316+0×532+40×13211.在含有3件次品的8件产品中,任取3件,求:(1)取到的次品数的分布列;(2)至少取到1件次品的概率.解(1)设在含有3件次品的8件产品中,任取3件,取到的次品数为X,则X服从超几何分布,且N=8,M=3,n=3.X的分布列为P(X=k)=C3kC53-kC83,k=0,1,2,3,则P(X=0)P(X=2)=C32C51C83因此X的分布列为X0123P515151(2)根据随机变量X的分布列,可得至少取到1件次品的概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=232812.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个,且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值E(X)及方差D(X).解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量不低于100个,且另1天的日销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)由题意知X~B(3,0.6).X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=C30×(1-0.6)3=0P(X=1)=C31×0.6×(1-0.6)2=0P(X=2)=C32×0.62×(1-0.6)=0P(X=3)=C33×0.63=0.则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),所以均值E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.能力提升1.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=-1,第n次摸取红球,1,第n次摸取白球,如果Sn为数列{an}的前n项和,那么A.C75×C.C75×答案:D解析:由S7=3,知在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为23,摸取白球的概率为13,则S7=3的概率为C722.袋子中装有除颜色外其他均相同的8个小球,其中白球5个,分别编号1,2,3,4,5;红球3个,分别编号1,2,3,现从袋子中任取3个小球,它们的最大编号为随机变量X,则P(X=3)等于()A.528 B.17 C.1556答案:D解析:由题知,X=3可以分两种情况:第一种情况表示1个3,则P1=C21C42C83=314;第二种情况表示2个3,则P2=C22C413.一块高尔顿板示意图如图所示:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落入④号球槽的概率为()A.332 B.C.532 D.答案:D解析:设这个球落入④号球槽为事件A,落入④号球槽要经过两次向左,三次向右,所以P(A)=C5312314.一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为.

答案:60,96解析:设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数(成绩)为Y,则Y=4X.由题知X~B(25,0.6),所以E(X)=25×0.6=15,D(X)=25×0.6×0.4=6,E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,D(Y)=D(4X)=42D(X)=16×6=96,所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.5.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为X,则D(X)=.

答案:84解析:由题意,得随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X=6)=C8P(X=9)=C8P(X=12)=C8则E(X)=6×715+9×715+12×D(X)=715×6-3952+715×9-39526.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分(两人得分之和)为X,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,则他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?解(1)由已知,得小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,记“这两人的累计得分X≤3”为事件A,则事件A的对立事件为“这两人的累计得分X=5”.因为P(X=5)=23×25=415,所以P(A)=1所以这两人的累计得分X≤3的概率为1115(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2).由已知得X1~B2,23,X2~B所以E(X1)=2×23=43,E(X2)=所以E(2X1)=2E(X1)=83E(3X2)=3E(X2)=125因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的均值较大.7.某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困.救援队从入口进入后,有L1,L2两条巷道通往作业区(如图).L1巷道有A1,A2,A3三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是12;L2巷道有B1,B2两个易堵塞点,被堵塞的概率分别为3(1)求L1巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率;(2)若L2巷道堵塞点的个数为X,求X的分布列及均值E(X),并按照“平均堵塞点少的巷道是较好