2016-2017学年高中数学选修4-1（人教版）练习：第三讲3.3平面与圆锥面的截线 Word版含解析

第三讲圆锥曲线性质的探讨3.3平面与圆锥面的截线A级基础巩固一、选择题1．用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则截线为()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．两条相交直线答案：D2．平面π与圆锥的母线平行，那么它们交线的离心率是()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．无法确定解析：由题意，知交线为抛物线，故其离心率为1.答案：A3．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成30°的不过顶点的平面去截圆锥面时，则所截得的截线是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．两条相交直线答案：C4．一组平行平面与一圆锥的交线，具有()A．相同的焦距 B．相同的准线C．相同的焦点 D．相同的离心率解析：因为平行平面与圆锥轴线夹角相等，所以由e＝eq\f(cosβ,cosα)可知，它们有相同的离心率．答案：D5．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(6),2) D．2eq\r(3)解析：由题意知2c＝3·eq\f(2a2,c)，所以e＝eq\r(3).答案：B二、填空题6．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、________、和________．答案：圆、椭圆、抛物线、双曲线7．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为________．答案：eq\f(1,2)8．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于F1F2的弦．已知∠PF2Q＝90°，解析：如图所示，由对称性知△PF2Q是等腰直角三角形，点F1为PQ中点，所以F1F2＝PF1设双曲线的焦距为2c，实轴长为2则PF1＝2c，所以PF2＝2由双曲线结构特点，PF2－PF1＝2a即2eq\r(2)·c－2c＝2a，所以eq\f(c,a)＝eq\r(2)＋1.所以e＝eq\r(2)＋1.答案：eq\r(2)＋1三、解答题9．已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角为30°，在轴上取一点O，使SO＝3cm，球O与这个锥面相切，求球O解：如下图所示，OH＝eq\f(1,2)SO＝eq\f(3,2)cm，HC＝OHsin60°＝eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4)cm.所以球O的半径为eq\f(3,2)cm，切点圆的半径为eq\f(3\r(3),4)cm.10．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．解：由题可知，截出的圆锥曲线是椭圆．e＝eq\f(cos45°,cos30°)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),3).设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为点F1、F2，MF1＋MF2＝AB.设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2.因为SO1＝2R1，CO1＝eq\r(2)R1，所以SC＝(2＋eq\r(2))R1＝5，即R1＝eq\f(5（2－\r(2)）,2).因为SO2＝2R2，CO2＝eq\r(2)R2，所以SC＝(2－eq\r(2))R2＝5，即R2＝eq\f(5（2＋\r(2)）,2).因为O1O2＝CO1＋CO2＝eq\r(2)(R1＋R2)＝10eq\r(2)，所以AB＝O1O2cos30°＝O1O2·eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(6)，即MF1＋MF2＝5eq\r(6).B级能力提升1．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)解析：Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b＝2c所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(b2＋c2))＝eq\f(c,\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2).答案：B2．已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是_____．解析：圆锥轴截面为等腰直角三角形，则轴线与母线成45°角，又30°<45°，故截线为双曲线．答案：双曲线3．已知圆锥面S，母线与轴线所成的角为45°，在轴线上取一点C，使SC＝5，过点C作一平面与轴线的夹角等于30°，所截得的曲线是什么样的图形？求两个焦球的半径．解：所截得的曲线是双曲线．设焦球O的半径为R.因为SO＝eq\r(2)R，OC＝2R，所以SC＝(2＋eq\r(2))R＝5，即R＝eq\f(5,2＋\r(2))＝eq\f(5（2－\r(2)）,2).设另焦球O′的半径为R′，则OO′＝eq\f(R＋R′,c