弹性力学读书报告

作业1：《弹性力学》读书报告一、弹性力学的作用弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学在常用坐标系下的基本方程2.1平衡微分方程物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。如图1所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx，dy，dz。在微六面体x=0面上，应力是σxτxyτxz；在x=dx面上的应力，图1根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x=0的面展开，略去高阶项，可得同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy，z=dz面上的应力。最后，所有各面上的应力如图一示。当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有6个平衡方程考虑微单元体沿x方向的平衡，可得整理上式并除以微单元体的体积dxdydz，得（1）同理，建立y、z方向的平衡条件，可得（2）这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X，Y，Z是单位体积里的体积力沿x，y，z方向上的分量。考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点C平衡于x方向的轴取力矩平衡得于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项由此可得同理可得这既是剪应力互等定理。它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。根据剪应力互等定理，式（1）和（2）中包含的九个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力描述了物体内部的任意一点的应力状态。2.2几何方程2.3物理方程物理方程的矩阵形式其中矩阵[D]称为三维应力状态下的弹性矩阵三、弹性力学解题的主要方法3.1位移解法位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。把平衡方程、本构方程和几何方程简化为三个用位移分量表示的平衡方程，从中解出位移分量。然后再代回几何方程和本构方程，进而求出应变分量和应力分量。3.2应力解法应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。由协调方程、本构方程和平衡方程简化出六个用应力分量表示的协调方程，再加上平衡方程和力边界条件解出六个应力分量。然后由本构方程求出应变分量，再对几何方程积分即可得到位移分量。由于应力与应变间的胡克定律是代数方程，应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便很多，所以很少采用应变解法。3.3应力函数解法在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的位移方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。与此类似，在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数，称之为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求出应力分量），又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知数降为三个），所以是弹性力学理论中最常用的解法之一。四、列举2-3个例题例一：悬臂梁确定应力函数的边界条件图2以A（0，h/2）为起始点，调整中的任意常数使（a）选左手坐标系且M以逆时针为正，应力函数在边界条件上满足逆时针向：（b）顺时针向：（c）其中，г为流动边界点。Rx，Ry和Mг分别是从A点起算的边界载荷对г点简化的主矢量和逆时钟向主距。在下边界AB上，载荷处处为零。由（b）式得：（d）左边界AC是放松边界，不必逐点给定φ及其偏导数值。在边界CD上，按顺时钟向公式（c）得（e）（2）选择域内应力函数由应力函数沿主要边界的分布规律可看出，φ沿x方向按二次多项式规律变化，沿y方向的规律未知，由此可选（f）带入边界条件（d（e）可以定出待定函数的边界条件当y=h/2时，f0=f1=f2=0（g）当y=－2时，f0=－M；f1=－P；f2=－q（h）（3）求待定函数由边界条件（g）可得出各待定常数：（i）进而可得：（j）最后带回到公式（f）中得：（k）（4）求应力把（k）式代入应力公式可以得到：（l）例2：矩形薄板矩形薄板的位移，受力如图所示图3取坐标轴如图所示，把位移函数设为所以不论各系数如何取值，上式都满足固定边的位移边界条件：按瑞利-里兹法求解。板的应力边界条件为板上边界：板下边界：板右边界：将位移试函数代入式得：将位移试函数代入应变势能表达式，通过积分运算，将结果代入上面六个方程可确定6个待定系数。其结果是：所得的位移分量为：例3：半无限平面图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为）图4解：很小，，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数代入，可求得应力分量：；；边界条件：（1）；代入应力分量式，有或（1）（2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：，