特殊平行四边形中的折叠问题教学设计-杭十中邹丹

特殊平行四边形中的折叠问题教学设计杭十中邹丹一、内容和内容解析在初中数学中，折叠是我们常见的一种数学问题，在中考中常以选择、填空的形式出现。这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等。这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值。折叠问题中同时综合了轴对称、勾股定理、等腰三角形等知识，对于学生的能力是一个很好的提升。本节课是一堂复习课，旨在用动手折纸的方式去打开同学们对未知结论的探索。《课程标准》中要求：“课程内容要符合学生的认知规律，要贴近学生的实际。”而矩形纸的折叠作为学生从小玩到大的游戏，受到学生的广泛欢迎，这部分内容是非常贴近学生实际的；折叠中蕴含的轴对称、全等的数学知识，在学生学习《特殊平行四边形》和《勾股定理》之后研究，符合学生的认知规律。由于折叠的实质是轴对称变换，这为学生研究折叠中的角度、线段的长度、图形的面积和周长及特殊平行四边形的判定方法都提供了条件，因此本节课的产生水到渠成。折叠问题的研究用到了数学中非常重要的方程思想、转化思想及数形结合思想。本节课主要抓住折对称轴和折对称中心的线索进行展开，通过折纸活动来探索结论，达到复习特殊平行四边形相关知识的目的，这便是本节课的重点。另外，在本节课中设计的编题环节利于培养同学们的高阶思维能力，教师在平时课堂中可以有意识的安排铺设相应的环节。二、目标和目标解析1.知识与技能：（1）经历折纸的过程，掌握轴对称变换中的角度、线段长度、面积和周长的计算方法，以及特殊平行四边形的判定方法；（2）通过参与折纸活动，使学生积累综合运用数学知识，得到解决折叠问题的方法等数学活动经验。2.数学思考：（1）建立折叠的空间观念，初步形成几何直观，发展学生的形象思维与抽象思维；（2）让学生通过探究，寻找到解决折叠问题的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。3.问题解决：（1）通过折纸活动，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题；（2）让学生经历折叠——观察——验证——归纳的认知过程，培养学生解决问题的能力。4.情感态度：在学习过程中，增强学生学习数学的兴趣，提高学生学习的积极性和主动性，通过对问题的讨论和研究增强学生间的团结合作精神。锻炼克服困难的意志，建立自信心。三、教学问题诊断分析（1）认知基础：学生从很小就接触折纸，所以本内容有充足的生活经验；学生从开始学习数学，纸张便是研究几何图形最好的教具。学生已经学过全等三角形、轴对称以及特殊平行四边形，对它们的性质已经有一定的认识。同时在探究等腰三角形的性质的过程中已经有了折纸的经验，因此对本节课的研究学生应该具有了相应的知识和经验基础。（2）障碍预测：虽然学生已经具有了相应的知识基础和探究经验，同时具备了较高的抽象思维能力，但学生又缺乏透过现象看本质，寻找出折叠的规律，所以综合运用所学过的知识解决折叠中的问题成为了本节课的难点。课堂中要对学生进行知识、方法、能力方面的梳理，引导学生自己去发现问题、解决问题，进一步提高学生综合解决数学问题的能力。教师适时加以点拨、整理思路、总结规律。在思维大比拼环节，教师要鼓励学生勇于展示，通过一问一答的形式开拓学生的思维。一开始学生可能有点迷茫，不知道该如何设问，我们知道提问比解决问题更重要。教师在这个环节要做好引导工作，这样在更多大脑的思考下，会开拓出更多有价值的答案。四、教学支持条件分析根据本节课内容的特点，为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现，合作探究的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列学生的探究活动，创设问题情境，启发学生思考，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程。学生通过折纸活动，从中获得重要的数学知识。五、教学过程设计（一）动手热身请同学们拿张矩形纸片，按照下面的提示进行折叠，是你熟悉的图形吗？。如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使AB落在AD边上,然后打开,折痕为AE,顶点B的落点为F.你认为四边形ABEF是什么特殊四边形?请说出你的理由.追问：你还能得到什么特殊的图形？学生不难得出等腰直角三角形。在这次的折叠中还可以得到特殊角，为后续得到其他特殊角埋下伏笔。归纳：1、折痕所在直线成轴对称的图形是全等的。2、折痕AE就是的角平分线。设计意图：利用生活中常见的折纸活动激发学生的兴趣，导入课题，还可以达到复习判定正方形、等腰直角三角形的目的，同时加深学生对折痕意义的理解。折叠的实质就是轴对称变换。折对称轴请同学们继续根据下面的问题进行探究。问题1：你能折出矩形纸片的对称轴吗？你能用直尺在矩形上画出等腰三角形吗？在这个问题中不难得出两条对称轴。这时教师可以指向明确些，我们用对称轴EF，请你以AB为边去画等腰三角形，这时P点落在什么位置。教师要做好引导工作，让学生先动手操作再回答，同时步展示图教师可以用PPT动画一步一形的生成过程，最后证明操作的正确性，再次强化利用折痕的轴对称性解决问题。问题2：当顶点P在对称轴EF上运动时你还能得到什么特殊的三角形？部分同学会从前面折正方形的环节中得出等腰直角三角形。接着同学们还会猜测等边三角形能不能折出来，显然引出了下个问题。问题3：能折出等边三角形吗?说说折出的△ABP是等边三角形的理由。在自己动手折纸的过程中会存在困惑，的角怎么折？这时教师可以适时的引导，除了有一个角是的等腰三角形能判定是等边三角形外，还有没有其他方法，对了，还有三边都相等的三角形是等边三角形，也就是说在折叠过程中要使得AP=AB。让同学展示折叠过程，并对等边三角形进行说理验证。我们在这个过程中还可以得到和的特殊角。设计意图：本环节考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践。通过折对称轴的研究，不仅让学生获得特殊三角形的折法，还让学生经历观察、实验、猜测、推理、验证的过程。（三）思维大比拼把我们前面折正方形得到的等腰直角三角形和等边三角形，放在一起进行讨论分析，看看又有什么结论出现。教师把图画在黑板上，方便探究。本环节设计一个同学设问另一个同学解答的形式开展。已知：在刚才的折叠过程中，是等腰直角三角形，是等边三角形，连接.结论：？？？在这个环节教师可以引导学生思考一些相关的结论，例如：是什么三角形？的度数是多少？的度数是多少？的度数是多少？若，求的长？若，求的面积？若，求四边形的面积？若，求的面积？……归纳：右图中，矩形问题可以转化为特殊三角形问题。设计意图：把所学知识串联起来，培养学生如何分析问题和解决问题的能力。让前面的结论证明服务于计算，使课堂内容紧凑有条理。本环节想让同学们尝试提问，其实会提问比会解决问题更重要。（四）折对称中心在这个环节教师引导学生用矩形纸片，在下列环环相扣的问题中进行探索、猜测并证明。问题4：你能折出矩形纸片的对称中心吗？折两条对称轴、折两条对角线、或者折一条对称轴和一条对角线，交点就是对称中心。标记对称中心为点O。问题5：你能折出对角线AC的垂直平分线吗？学生演示折法，教师用直尺在黑板上画出对角线AC的垂直平分线EF，为下个问题做准备。问题6：请你添加两条线段，能得到什么特殊的平行四边形？请把证明过程写在纸上。让同学来黑板上演示连线，并要求给大家说出是什么特殊的平行四边形。教师引导学生写出已知和求证，理好思路，并叫同学黑板上写出推理过程。大部分同学会想到用三角形全等来证明，也有同学会想到平行+角平分线等腰的模型，教师都要表扬给予肯定。问题7：如果把对角线AC改变为经过对称中心的任意线段，折出这条线段的垂直平分线，在问题6中的结果还成立吗？仍然是菱形。可能有同学会受图形影响认为是正方形，那么就带领同学们思考，寻找添什么条件能成为正方形。设计意图：通过折对称中心复习了菱形的判定。从探索问题的方式去深入学习，会激发学生的学习兴趣，将问题逐步解剖，层层递进，达到一题多用的目的。本环节让学生运用学会的方法和思路来解决问题，形成触类旁通的数学能力。编题环节小组合作：在问题6的图中，若AB=4，BC=8，给大家编一些关于计算的问题。我们知道在问题6中已经证明四边形AECF为菱形，可以利用菱形的结论进行思考。学生容易想到假设未知数，用勾股定理列方程，求线段BF、AF的长度。教师可以追问：是不是所有的线段都能求了？在这样的情况下，学生会思考线段EF怎么求？在想到可以用等面积法求EF时，即带出了菱形和三角形面积问题的思考。在这个过程的形成中，教师要不断鼓励和肯定学生的想法，这样才能碰撞出思维的火花。教师要扮演好学习的组织者、引导者和合作者的地位，让学生真正成为学习的主体。归纳：（1）菱问题转化为等腰三角形、直角三角形问题；菱形的面积计算：设计意图：这类图形折叠是平时常见题型，通过计算去加深学生的理解。在复习中应熟练掌握一些基本图形的性质和判定定理以及图形折叠的性质.编题需要学生利用所学知识，通过观察、分析，创造性的提出合理的问题，本环节指向高阶思维。课堂小结1、通过本节课的学习，我掌握了哪些方法？2、本节课我有什么体会？3、我还学到了哪些知识？设计意图：教师引导学生从方法、体验、知识三个方面说明自己的收获和经验。通过回顾和反思，成为提高教师自身与学生素质的互动过程。（七）大显身手在图形折叠中主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理以及后续要学的相似三角形，这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.在经过前面的学习后，教师给出折叠中求线段取值范围的题目，让学有余力的同学能有更多思考问题的机会。如果课堂时间不够可以留给学生作为课后思考题。如图，将矩形纸片ABCD（AD>AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC、AD相交于点E、F。（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论。（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围。设计意图：通过拓展作业，引导学生拓展延伸，从而掌握解决图形中的折叠问题的规律和方法。本题第一问是想检测学生本节课的学习效果，第二问是想考察学生的灵活应变能力，让学生的思维达到质的飞跃。（八）板书设计六、目标检测设计