高中函数知识点总结

PAGEPAGE107.函数的三要素是:定义域、对应法则、值域相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)8.求函数的定义域常见类型函数定义域求法： （1）分式中的分母不为零；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）指数式的底数大于零且不等于一；（4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。（5）正切函数（6）余切函数9.求复合函数的定义域义域是_____________。例若函数的定义域为，则的定义域为。函数值域的求法1、直接观察法(对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。)例求函数y=的值域2、配方法(配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。)例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=，，的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=（2≤x≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x+的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，例求函数y=+的值域。例求函数y=+的值域例求函数y=-的值域9、不等式法利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。10、倒数法例求函数y=的值域切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商(2004.全国理)函数的反函数是（） A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1) C．y=x2－2x(x<1) D．y=x2－2x(x≥1)反函数性质：反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；（04.上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.115.如何用定义证明函数的单调性？(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减//减增减//减减增减减利用导数判断函数的单调性值是（）A.0 B.1 C.2 D.3函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。判断函数奇偶性的方法定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.复合函数奇偶性f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶周期函数函数，T是一个周期。）图象变换了联想点（x,y）,(-x,y)联想点（x,y）,(x,-y)联想点（x,y）,(-x,-y)联想点（x,y）,(y,x)联想点（x,y）,(2a-x,y)联想点（x,y）,(2a-x,0)注意如下“翻折”变换：常用函数的图象和性质 (k为斜率，b为直线与y轴的交点)的双曲线。 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。 由图象记性质！（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）解抽象函数（赋值法、结构变换法）例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].判断f（x）的奇偶性；判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：f（0）；对任意值x，判断f（x）值的符号.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：f（1）；若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；当0＜x＜2a时，f（x试问：f（x）的奇偶性如何？说明理由；在（0，4a）上，f（x例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），求证：f（1）＝f（－1）＝0；求证：f（x）为偶函数；若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：当x＞0时，0＜f（x）＜1；f（x）在x∈R上是减函数.练习题：1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）（A）f（1）＝0（B）f（）＝f（x）（C）f（）＝f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（）（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1