求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

求数列通项公式的十种方法，例题答案详解求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学XX、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其XX形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。求数列通项公式的十种方法，例题答案详解求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法适用于： 这是xx的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。若，则两边分别相加得例1已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则a=(a—a)+(a—a)++(a—a)+(a—a)+annn—1 n—1n—2 32 21 1=[2(n—1)+1]+[2(n—2)+1]++(2x2+1)+(2x1+1)+1=2[(n—1)+(n—2)++2+1]+(n—1)+1(n—1)n=2 +(n-1)+1=(n—1)(n+1)+1=n2所以数列的通项公式为。例2已知数列满足，求数列的通项公式。求数列通项公式的十种方法，例题答案详解解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故TOC\o"1-5"\h\za,aaaaaa a a a—n—(—n——n-1)+(—n-1——n-2)+(—n~2——n-3)+ +(—2—―)+—13n3naa3n-2 3n-2 3〃-3 32 31 3n—1 n—1z2 12 1 2 1、 ，2•••1、3—(+)+(+)+(+)++(+)+3 3n3 3n-1 3 3n-2 332 32(n—1),11 1 1 1、1=+(——+——+——+——++——)+13 3n3n3n-13n-2 32•••因此，则评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例3.已知数列中，且,求数列的通项公式.解：由已知得,求数列通项公式的十种方法，例题答案详解化简有，由类型(1)有，又得,所以,又,，则此题也可以用数学xx来求解.二、累乘法1.0。 适用于： 这是xx的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。若，贝IJ两边分别相乘得，例4已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且(二1，2，3,…)，则它的通项公式是=.解：已知等式可化为：()(n+1),艮P时，—.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.已知,求数列｛an｝的通项公式.答案：-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为xx,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。形如，其中）型（1） 若c=1时，数列"为等差数列；（2） 若d=0时，数列"为等比数列；（3） 若时，数列"为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设，得，与题设比较系数得求数列通项公式的十种方法，例题答案详解,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以即：.规律：将递推关系化为构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系中把n换成n-1有，两式相减有从而化为公比为c的等比数列，进而求得通项公式.，再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列中，，求数列的通项公式。解法一：a+1=2(a1+1)又是首项为2,公比为2的等比数列，即解法二：..a=2a+1

n+1n两式相减得，故数列是首项为2,公比为2的等比数列，再用累加法的……练习.已知数列中，求通项。答案:求数列通项公式的十种方法，例题答案详解形如：（其中q是常数，且n0,1）若p=1时，^",累加即可.若时，^",求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列艮" ，令，则，然后类型1,累加求通项.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即：,令，则可化为.然后转化为类型5来解，待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq,否则待定系数法会失效。例7已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略求数列通项公式的十种方法，例题答案详解解法三（两边同除以）：两边同时除以得：，下面解法略形如（其中k,b是常数，且）方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为；解题基本步骤：1、 确定=kn+b2、 设等比数列，公比为p3、 列出关系式，即4、 比较系数求x,y5、 解得数列的通项公式6、 解得数列的通项公式例8在数列中，求通项.（逐项相减法）解：，①时，，两式相减得.令，则求数列通项公式的十种方法，例题答案详解利用类型5的方法知即②再由累加法可得. 亦可联立①②解出.例9.在数列中，，求通项.（待定系数法）解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项，公比为.即：故.形如（其中a,b,c是常数，且）基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得，所以由，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例11已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，(取-3结果形式可能不同，但本质相同)贝IJ,则是首项为4,公比为3的等比数列,所以练习.数列中，若,且满足，求.答案：.四、迭代法(其中p,r为常数)型例12己知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以d—(23n-2n~l=[。3(”一1)・2〃-2 =Q32(〃—1)刀・2("-2)+("-1)nn-1 n-2 n-2=2)53]32(〃-l).〃.2(n-2)+(Tn-3=(/i-2)(n-l)n-2(«-3)+(»-2)+(»-i)n-3—Q3〃T・2・3 (〃—2)・(〃—1)・〃・21+2+ +(n-3)+(n-2)+(n-1).T......n^n-1)=21又，所以数列的通项公式为。求数列通项公式的十种方法，例题答案详解注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、对数变换法适用于（其中p,r为常数）型p>0,例14.设正项数列满足，（nN2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，••练习数列中，，（nN2），求数列的通项公式.答案：例15已知数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得设（同类型四）比较系数得，由，得，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此求数列通项公式的十种方法，例题答案详解则。分子只有一项六、 倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，七、 换元法适用于含根式的递推关系例17已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，贝代入得1 1 1, ,"T)=耐［"4慕贝T)即因为，贝IJ，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得求数列通项公式的十种方法，例题答案详解八、数学xx通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学xx加以证明。例18已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得_ 8(1+1) _88x2_24%-"1(2x1+1)2(2x1+3)2—99x25一25_ 8(2+1) _24 8x3_48a3-"2(2x2+1)2(2x2+3)2-2525x49-498(3+1) 48 8x4 80a=a+ =——+ =——4 3(2x3+1)2(2x3+3)24949x8181由此可猜测，下面用数学xx证明这个结论。（1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，〃― 8(k+1)"k+1—"k(2k+1)2(2k+3)2_[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)(2k+1)2(2k+3)2_(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2(2k+1)2(2k+3)2_(2k+3)2-1-(2k+3)2_[2(k+1)+1]2-1—[2(k+1)+1]2由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。九、阶差法（逐项相减法）求数列通项公式的十种方法，例题答案详解1、递推公式中既有，又有分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例19已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：..•对任意有⑴.••当n=1时，，解得或当nN2时，⑵⑴-⑵整理得：..•各项均为正数，...当时，，此时成立当时，，此时不成立，故舍去所以练习。已知数列中，且,求数列的通项公式.答案：2、对无穷递推数列例20已知数列满足，求的通项公式。求数列通项公式的十种方法，例题答案详解解：因为①所以②用②式一①式得则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。类型一：形如例21已知数列中，，求数列的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1• ••，类型二：形如分析：递归函数为（1） 若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，...（2） 若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例22.设数列满足,求数列的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令，解之得t=1,-2代入得,,相除得，即｛｝是首项为，公比为的等比数列，=,解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为累加法来求.例23已知数列满足，求数列的通项公式。求数列通项公式的十种方法，例题答案详解解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。十一。特征方程法形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例24已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，