二元一次方程组应用题的常见类型分析答案

二元一次方程组应用探索二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数.分析：设这个两位数十位上的数为 x，个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数Xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数yX10y+x10y+x=10x+y+27解方程组10X y9，得X",因此，所求的两位数是14.JOy+x=10x十y+27 』=4点评：由于受一元一次方程先入为主的影响， 不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为X,或只设十位上的数为X,那将很难或根本就想象不出关于X的方程.-般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为 元”，然后列多元方程组解之.二、禾U润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为 X元，进价为y元，则打九折时的卖出价为 0.9X元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y;打八折时的卖出价为0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.解方程组0.9x»20%y x=200解方程组0.8x-y=10 y=150因此，此商品定价为200元.

点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的， 不要误为是相对于定价或卖出价. 利润的计算一般有两种方法，一是：利润 =卖出价-进价；二是：利润=进价＞利川润率(盈利百分数).特别注意利润”和利润率”是不同的两个概念.三、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数X2=每天生产的螺母数X1•因此，设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓 25x个，螺母20y个，依题意，得xy=12050xxy=12050x2=20y1，解之，得x=20y=100故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一， 如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a于乙产品数的a倍，即甲产品数乙产品数a b三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是:甲产品数 乙产品数 丙产品数产品数应满足的相等关系式是:甲产品数 乙产品数 丙产品数a b c四、行程问题例4在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住， 而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上. 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x、y千米/时，则3x-y=120 x-y=40 x=802'丿，整理，得彳 ，解得g ，xy=120 xy=120 y=40因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时.点评：相向而遇”和同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、 原来的距离以及行走的时间， 具体表现在：相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.五、货运问题典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：充分利用这艘船的载重和容积”的意思是货物的总重量等于船的载重量 ”且货xy二300，整理，得xxy二300，整理，得x"300,解得x=150,? -?IM1 /IJ-TIM ?6x2y=1200 3xy=600 y=150因此，甲、乙两重货物应各装 150吨.点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简， 因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度•化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.六、工程问题例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内4只能完成订货的 ；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程， 每天可生产这种工作服2005套，这样不仅比规定时间少用 1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得150y=，解得x150y=，解得x二3375200y-1=x25y=18点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即工作量=工作时间X工作效率”以及它们的变式工作时间=工作量M作效率，工作效率=工作量V工作时间”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用 “1”示总工作量.《二元一次方程组实际问题》赏析【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为 审、找、列、解、答”五步，即:(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；找：找出能够表示题意两个相等关系；列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；解：解这个方程组，求出两个未知数的值；答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案【典题精析】例1(20XX年南京市)某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费 230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆•由题意，得；x+y=50,6x+4y=230.解得,x=15,解得,x=15,=35.故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2(20XX年四川省眉山市)某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利(兀)100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6吨或粗加工蔬菜16吨(两种加工不能同时进行).(1)如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式全部直接全部粗加工后尽量精加工，剩余部分直接销售销售销售

获利(元)(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：(1)全部直接销售获利为： 100X140=14000(元)；全部粗加工后销售获利为： 250X140=35000(元);尽量精加工，剩余部分直接销售获利为： 450X(6X18)+100X(140-6X18)=51800(元).(2)设应安排x天进行精加工， y天进行粗加工.由题意，得"x十y=15,©X+16y=140.由题意，得解得,x=10,解得,x=10,y=5.故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求， 某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80元，建新校舍每平方米需 700元•计划在年内拆除旧校舍与