专题23一元一次方程中的新定义问题（含解析）

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专题23一元一次方程中的新定义问题

1．对于两个非零实数、，规定，若，则的值为（）

A．B．C．D．

2．规定：能使等式成立的一对数（m，n）为“友好数对”．例如当m=2，n=-8时能使等式成立，则（2，-8）是“友好数对”．若（a，5）是“友好数对”，则a的值为（）

A．B．-C．D．-

3．设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程无解，则的值是（）

A．4B．－3C．4或－3D．4或3

4．新定义一种运算“☆”，规定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，则x的值为．

5．“”表示一种运算符号，其定义是．例如．如果，那么．

6．已知a和b两个有理数，规定一种新运算“*”为：a*b＝（其中a+b≠0），若m*＝﹣，则m＝．

7．用“※”定义一种新运算：规定，如：．

（1）求的值；

（2）若，求x的值．

8．若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝3*﹣2×3×（﹣2）＝21．

（1）求5*（﹣3）的值；

（2）若（﹣4）*x＝﹣6﹣2x，求x的值．

9．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

10．规定一种运算“※”，其运算规则是：a※b＝ab＋（a－b）

(1)计算3※2的值；

(2)若3※x＝13，求x的值．

11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16

(1)（﹣2）☆3＝；

(2)若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；

(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．

12．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．

(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；

(2)若关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；

(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．

13．若关于的方程（a≠0）的解与关于y的方程（c≠0）的解满足，则称方程（a≠0）与方程（c≠0）是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”．

(1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由；

(2)若关于的方程与关于y的方程是“美好方程”，请求出k的值；

(3)若无论取任何有理数，关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“美好方程”，求的值．

14．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”

（1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________．

（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．

（3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值．

15．定义：若整数的值使关于的方程的解为整数，则称为此方程的“友好系数”．

(1)判断，是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；

(2)方程“友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有“友好系数“；如果是无穷多，说明理由．

16．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：

(1)判断方程______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；

(2)若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．

(3)若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．

17．我们规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为满足，所以方程是“差解方程”．

请根据上边规定解答下列问题：

(1)判断是否是“差解方程”，说明理由；

(2)若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值．

参考答案：

1．D

【分析】根据题中的新定义化简已知方程，求出解即可．

【详解】解：根据题中的新定义化简得：，

去分母得：2-2x-1＝4x+2，

解得：x＝，

经检验x＝是分式方程的解，

则x的值为，

故选：D．

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．解题的关键是根据新定义的运算法则列出方程．

2．B

【分析】把代入可得，再解出方程，即可求解．

【详解】解：根据题意得：

，即，

去分母得：，

移项合并同类项得：，

解得：．

故选：B

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意得到是解题的关键．

3．D

【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．

【详解】解：∵，

∴，，

∴原方程为：，

去分母得：

ax=12+3x-9，

移项，合并同类项得：

（a-3）x=3，

解得：，

∵关于x的方程无解，

∴原方程有增根3或a-3=0，

∴或a-3=0，

解得：解得：a=4或a=3，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键．

4．2

【分析】根据题意，可得：2x+2﹣x＝2x+x﹣2，据此求出x的值为多少即可．

【详解】解：∵a☆b＝ab+a﹣b，2☆x＝x☆2，

∴2x+2﹣x＝2x+x﹣2，

整理，可得：2x＝4，

解得x＝2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了新定义下的运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．

5．

【分析】根据题意定义的运算，代入解方程即可．

【详解】解：∵，

∴，

即：，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，读懂题意，列出一元一次方程是解本题的关键．

6．

【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．

【详解】解：已知等式利用题中的新定义化简得：，即

整理得：3（2m+3）＝﹣5（2m﹣3），

去括号得：6m+9＝﹣10m+15，

移项合并得：16m＝6，

解得：，

检验当时，，

∴是分式方程的解，

则．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键，还要注意要验根．

7．（1）-52；（2）．

【分析】（1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．

（2）首先根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，由，列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出的值是多少即可．

【详解】解：（1）

；

（2）∵

∴

解得：．

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

8．（1）；（2）

【分析】（1）根据新定义运算直接求解即可；

（2）根据新定义运算，列方程求解即可．

【详解】解：（1）根据新定义运算可得，；

（2）由新定义运算可得，，

由题意可得，，解得，

【点睛】此题考查了一元一次方程的求解以及有理数的乘方以及四则运算，解题的关键是理解题意，掌握新定义运算规则，正确求解．

9．（1）-6；（2）

【分析】（1）根据题目中定义的新运算法则进行计算；

（2）先算出，再列出方程进行求解．

【详解】解：（1）

；

（2）

，

∵，

∴

．

【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．

10．(1)7

(2)x=5

【分析】（1）根据题意所给的新定义下的运算规则进行解答即可得；

（2）根据新定义下的运算规则得到关于x的方程，然后求解．

【详解】（1）解：3※2=3×2+（3－2）=7；

（2）解：∵3※x=3x+（3－x）=2x+3，

∴2x+3=13，

解得x=5；

【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程，解题的关键是掌握这些知识点．

11．(1)-32

(2)1

(3)m＞n

【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；

（2）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；

（3）利用规定的运算方法得出m、n，再进一步作差即可比较大小．

【详解】（1）解：原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）

＝﹣18﹣12﹣2

＝﹣32；

故答案为：﹣32．

（2）根据题意得：（a+1）+3（a+1）+

＝

＝8a+8

∴（8a+8）×（﹣2）2+2×（8a+8）×（﹣2）+（8a+8）＝16

整理得，8a+8＝16

解得：a＝1；

（3）已知等式整理得：m＝2x2+4x+2，n＝x++x＝4x，

∴m﹣n＝2x2+2＞0，

∴m＞n．

【点睛】此题考查了新定义下的运算问题，解题的关键是利用规定的运算方法进行计算．

12．(1)是，理由见详解

(2)或；

(3)

【分析】（1）分别解出两个方程，再根据新定义，即可求解；

（2）分别解出两个方程，再根据新定义，得到，再根据m为正数，即可求解；

（3）分别解出两个方程，再根据新定义，得到，即可求解．

【详解】（1）解：是，理由如下：

2x＝5x﹣12，

解得：，

3（y﹣1）﹣y＝1，

去括号得：，

解得：，

∴，

∴关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”；

（2）解：x﹣＝n﹣1，

去分母得：，

解得：，

2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m

去括号得：，

解得：，

∵关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，

∴，

即，

∴或，

即或

∵m为正数，

∴或；

（3）解：sx+t＝h，解得：，

s（y﹣k+1）＝h﹣t，解得：，

∵关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，

∴，

解得：，

即．

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程及其应用，解含绝对值的方程，明确题意，理解新定义是解题的关键．

13．(1)不是，理由见解析

(2)或

(3)或

【分析】（1）分别求出方程的解，再判断，即可求解；

（2）分别解出方程，再代入，求出k即可；

（3）先解出方程，再代入，求出x的值，最后代入即可求出的值．

【详解】（1）的解为，的解为，

，

方程与方程不是“美好方程”；

（2）∵的解为，

解为

（3）的解为

∵关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“美好方程”，

∴

∴或

的解为或

即关于x的方程，无论为何值，方程的解都是或

代入得，，整理得

代入得，，整理得

或

或

【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．

14．（1）②；（2）95或97；（3）16

【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“友好方程”的定义去判断；

（2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值；

（3）一元一次方程解得，由得，把它代入关于y的方程即可求出结果．

【详解】解：（1）一元一次方程的解是，

方程的解是，，故不是“友好方程”，

方程的解是或，当时，，故是“友好方程”，

故答案是：②；

（2）方程的解是或，

一元一次方程的解是，

若，，则，解得，

若，，则，解得，

综上，a的值是95或97；

（3），解得，

∵，

∴，

∵，

∴

，

∵分母m不能为0，

∴，即，

∴，

∴．

【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程的方法求解．

15．(1)是，理由见解析

(2)无穷多，理由见解析

【分析】（1）分别将和代入方程，求出方程的解，再判断即可；

（2）解方程得，当是整数时，也是整数，由此可得方程的“友好系数”有无穷多．

【详解】（1）解：当时，，

解得，

为此方程的“友好系数”；

当时，，

解得，

为此方程的“友好系数”；

（2）解：，

解得，

当是整数时，也是整数，

方程的“友好系数”有无穷多．

【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法．

16．(1)不是

(2)有，b=

(3)

【分析】（1）解方程，并计算对应b-a的值与方程的解不相等，所以不是奇异方程；

（2）根据奇异方程的定义即可得出关于b的方程，解方程即可；

（3）根据奇异方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解．

【详解】（1）∵5x=-8，

∴x=-，

∵-8-5=-13，

-≠13，

∴5x=-8不是奇异方程；

故答案为：不是；

（2）∵a=3，

∴x=b-3，

∴b3＝，

∴b＝，

即b=时有符合要求