浙教版数学八年级上册第2章特殊三角形微专题-折叠问题训练1（含解析）

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第2章特殊三角形微专题——折叠问题训练1

一、单选题

1．如图，在中，，M是边上一点，将沿折叠，点B恰好能与的中点D重合，若，则M点到的距离是（）

A．3B．4C．5D．6

2．如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（）

A．B．4C．D．

3．如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

4．如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

5．如图，射线与射线平行，点F为射线上的一定点，作直线，点P是射线上的一个动点（不包括端点C），将沿折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，的度数为（）

A．B．C．D．

6．如图，在中，点D，E分别在边，上，将沿折叠至的位置，点A的对应点为F．若，，则的度数为()

A．B．C．D．

7．如图，在中，，，为上一点，将沿折叠，使落在斜边上，点与点重合，则的长为（）

A．B．C．D．

8．如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则的值为（）

A．B．C．D．

二、填空题

9．在中，点、分别在、边上，将沿直线折叠，点落在边上的处，且，如果，则的度数为．

10．如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则度．

11．如图，三角形纸片中，．沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，折痕为，则的周长是．

12．如图，在平行四边形中，，，，连结，将沿折叠得到，交于点，则的长度是．

13．如图，将等边三角形沿着折叠，点落到点处，连接．若，则．

14．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿直线折叠，点B恰好落在边上的点P处，连接，过E作交于G，交于点H，若，，则．

三、解答题

15．如图，是的中线，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的长．

16．如图，长方形纸片中有，，现将纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，连接．

(1)求证：是等腰三角形；

(2)求的长．

17．如图，在中，．

(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；

(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．

18．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．

(1)求的长；

(2)求的长；

(3)求阴影部分的面积．

19．如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的处，折痕为，已知，于．

(1)求证：．

(2)若，，求的长．

20．如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线与相交于点G．

(1)如图（1），，求的度数；

(2)如图（2），延长、交于点M，若，求的度数．

参考答案：

1．B

【分析】过点M作于E，过点M作于F，由折叠的性质可得：，，进而得到，再根据三角形面积之间的关系即可求解．

【详解】解：如图，过点M作于E，过点M作于F，

由折叠的性质可得：，，

，

∵D是的中点，

，

，

即，

，

解得：，

∴点M到的距离是4．

故选：B．

【点睛】本题考查了折叠的性质，掌握三角形等面积法及合理作出辅助线是解题的关键．

2．A

【分析】设于G,交于H，由等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，设,根据等边三角形的性质列方程求解即可．

【详解】解：设于G,交于H，

∵是等边三角形，

∴，

∵将沿折叠，点与点对应，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴，

设,

∴，

∴

∴，

∴．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

3．A

【分析】根据，求出即可解答．

【详解】解：，，

，

由翻折的性质可知：，

，

故选：A．

【点睛】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．

4．A

【分析】根据平行线的性质，得；再根据折叠的性质，得，即可求出的角度．

【详解】解：∵四边形是长方形，

∴，

∴，，

由折叠的性质，得，

∵，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．

5．B

【分析】由平行线的性质得，由，当点E在上时，点E到点A的距离最大，然后可求出的度数．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴当点E在上时，点E到点A的距离最大，如图，

由折叠可知，，

∴，

故选B．

【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定E点的位置．

6．C

【分析】首先由图形折叠性质得，再利用三角形外角的性质求出．

【详解】∵

∴

由折叠的性质可得，

∵

∴

故选：C．

【点睛】本题考查图形折叠的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）是解题的关键．

7．C

【分析】根据勾股定理易求．根据折叠的性质有，从而得到的长度,再根据等腰三角形的性质即可得出结论．

【详解】解：根据题意作图，设点落在上的点为，

根据题意，，

由勾股定理得．

根据折叠的性质可知：，

∴．

∵，

∴

在△中，，

则，

故选：C．

【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．

8．B

【分析】根据折叠的性质及平移的性质可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可知即可解答．

【详解】解：∵现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，

∴由折叠的性质可得：，

∵将线段向左平移刚好可以与线段重合，

∴由平移的性质可得：，，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选．

【点睛】本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，线段和差倍关系，掌握折叠的性质及平移的性质是解题的关键．

9．/70度

【分析】由折叠的性质可知，，再利用平行线的性质，得出，然后根据三角形内角和定理，即可求出的度数．

【详解】解：由折叠的性质可知，，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．

10．132

【分析】根据矩形性质和平行线性质得到，再根据折叠性质得到，然后利用平行线的性质求解即可．

【详解】解：∵四边形是矩形，

∴，又，

∴，，

根据折叠性质得，

则，

∴，

故答案为：132．

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠性质、平行线的性质，熟练掌握矩形的性质和折叠性质是解答的关键．

11．19

【分析】由翻折得，，则的周长为，代入即可．

【详解】解：∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在边上的点E处，

∴，，

∵，

∴，

∴的周长为，

故答案为：19．

【点睛】本题主要考查了翻折的性质，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．

12．/2.8

【分析】见详解的作图，欲求的长，猜想构造直角，依据勾股定理求解．因是含角的直角三角形，故可求得的长，进一步求得的长，由全等三角形及折叠性可证得，则，于是将直角三角形中的已知与待求的通过勾股定理联系起来了，即可求得的长．

【详解】过点A作延长线的垂线，垂足为H，见下图．

∵四边形为平行四边形，

∴，

∴由得，，

∵，

∴．

∴．

则．

∵平行四边形，

∴，又，

∴，

∴

∴（等角对等边）．

设，则，

在直角△AEH中，

即：，

解得：

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形、折叠图形、勾股定理、等角对等边等性质，解题的关键是求证，并运用勾股定理求解．

13．

【分析】根据等边三角形的性质及折叠的性质，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．

【详解】解：∵是等边三角形，

∴，，

∴由折叠的性质：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的性质及折叠的性质是解题的关键．

14．

【分析】由折叠的性质可证，，从而可证，，设，可求，在中用勾股定理即可求解．

【详解】解：四边形为矩形，

，

由折叠得：，，，

，

，，

，，

，，

设，则，

，

，

，

，

，

在中

，

在中

，

，

解得：，(舍去)，

．

故答案：．

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质，用勾股定理求解是解题的关键．

15．．

【分析】根据折叠的性质可得，，根据点D是的中点，得出是等边三角形，据此即可解得的长．

【详解】解：∵是的中线，，

∴，

∵沿折叠，使点A落在点E处，

∴，，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴．

【点睛】本题考查的是折叠变换，解题的关键是利用折叠的性质，得出是等边三角形．

16．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的性质得出，根据等角对等边，即可得证；

（2）令，则，，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．

【详解】（1）证明：如图所示，

将纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，

为等腰三角形

（2）解：令，

∵是等腰三角形，

∴，

在中，

即

解得：

．

【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．

17．(1)

(2)

【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可；

（2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．

【详解】（1）解：∵直线是对称轴，

∴，

∵，设，则

在中，，

∴，

∴，

解得，

∴

（2）解：∵直线是对称轴，

∴，，

∵，设，则，

∴在中，，，

∴，

在中，，

∴，

∴，

解得，

∴．

【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．

18．(1)

(2)

(3)阴影部分的面积为

【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可；

（2）过点作于，在中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案；

（3）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可．

【详解】（1）解：由折叠可知．

设，则

在中，，

，

解得：，

；

（2）过点作于，则，

在中，

，由勾股定理：，即

．

，

，

，

（3）过点作于，

，

，，

，

，

．

【点睛】本题主要考查了折的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．

19．(1)见详解

(2)

【分析】（1）由易得，再根据等腰三角形的性质以及折叠的性质可得，即可证明；

（2）设，则，由折叠的性质可得，，结合（1），在中，利用勾股定理求解即可获得答案．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

根据折叠的性质可得，，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵，，

∴，

设，则，

由折叠的性质可得，，

∵，

∴在中，可有，

∴，解得，

∴的长为．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）利用折叠的性质得