山东省临沂市费城中学2022-2023学年高二数学文期末试卷含解析

山东省临沂市费城中学2022-2023学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列{an}的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为（）A．11 B．99 C．120 D．121参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】首先观察数列{an}的通项公式，数列通项公式分母可以有理化，把分母有理化后，把前n项和表示出来，进而解得n．【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an==﹣，∵前n项和为10，∴a1+a2+…+an=10，即（﹣1）+（﹣）+…+﹣=﹣1=10，解得n=120，故选C．2.圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（）A．外切 B．相交 C．内切 D．外离参考答案：A【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程分别化为标准方程，找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，可得出d=R﹣r，可得出两圆内切．【解答】解：将圆x2+y2﹣6x+4y+12=0化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+2）2=1，又，（x﹣7）2+（y﹣1）2=36，∴圆心坐标分别为（3，﹣2）和（7，1），半径分别为r=1和R=6，∵两圆心距d==5，∴d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：A．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，圆与圆的位置关系可以由圆心距d与R及r的关系来判定，当d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．3.椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据三角形的周长求出a的值，再根据勾股定理求出c的值，最后根据离心率公式计算即可．【解答】解：设椭圆方程为，∵△PF2Q的周长为36，∴PF2+QF2+PQ=36=4a，解得a=9，∵过F1的最短弦PQ的长为10∴PF2=QF2=（36﹣10）=13，在直角三角形QF1F2中，根据勾股定理得，=，∴c=6，∴故选：C．4.如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】因为是正方体，又是求空间角，所以易选用向量法，先建立如图所示坐标系，再求得相应点的坐标，相关向量的坐标，最后用向量的夹角公式求解．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标：设正方体的棱长为2则A1（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，0），F（0，2，1）∴∴故选B5.已知随机变量的值等于（

）A．0.5

B．0.2

C．0.3

D．0.4参考答案：D略6.2和8的等比中项是(

)．5

B．4

．

D．参考答案：D7.已知，则

（

）A、2

B、-2

C、0

D、参考答案：B8.已知过点和的直线与直线垂直，则的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.参数方程t为参数)所表示曲线的图象是参考答案：D本题主要考查参数方程，考查了参直互化、曲线的图像.因为，所以,当时，y=0，排除C；由,所以,当时，,;当时，,,故排除A、B，答案为D.10.若复数z1=3+i，z2=1﹣i，则复数z1?z2在平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把复数乘积展开，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，可以判断所在象限．【解答】解：∵复数z1=3+i，z2=1﹣i，则z1?z2=（3+i）（1﹣i）=4﹣2i∴复数z1?z2平面内对应的点位于第四象限．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是奇函数，则的值等于

.

参考答案：-112.在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则异面直线PC与AB所成角的大小是

▲

．参考答案：60°

13.不等式的解集是_____________________；参考答案：14.公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q=

．参考答案：3【考点】等比数列；等差数列．【分析】设出等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的通项公式分别表示出第2，3，6项，根据等比数列的性质列出关于a与d的等式，由d不为0得到d与a的关系式，用a表示出d，代入表示出的第2，3，6项，此三项可以用a表示，然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q的值．【解答】解：设等差数列的首项为a，公差为d（d不为0），则等差数列的第2，3，6项分别为a+d，a+2d，a+5d，则（a+2d）2=（a+d）（a+5d），即d2+2ad=0，∵d≠0，∴在等式两边同时除以d得：d=﹣2a，∴等差数列的第2，3，6项分别为：﹣a，﹣3a，﹣9a，∴公比q==3．故答案为：3．15.计算__________.参考答案：故答案为16.已知椭圆的焦距为，则a=

；当a＜0时，椭圆C上存在一点P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F2为椭圆焦点），则△F1PF2的面积为

．参考答案：9或﹣7，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】当焦点在x轴上时，解得a=9；当焦点在y轴上时，解得a=﹣7，由此能求出a的值；当a＜0时，椭圆方程为=1，求出|PF2|=2，∴|PF1|=4，|F1F2|=2c=4，由此能求出△F1PF2的面积．【解答】解：∵椭圆的焦距为，∴当焦点在x轴上时，8+a﹣9=（2）2，解得a=9；当焦点在y轴上时，9﹣（8+a）=（2）2，解得a=﹣7，综上，a的值为9或﹣7．当a＜0时，椭圆方程为=1，椭圆C上存在一点P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F2为椭圆焦点），由椭圆定义得：|PF1|+|PF2|=3|PF2|=6，解得|PF2|=2，∴|PF1|=4，∵|F1F2|=2c=4，∴p=（2+4+4）=3+2，∴△F1PF2的面积S==．故答案为：9或﹣7，．17.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为．参考答案：13π【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=2∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为∴圆的面积为13π故答案为：13π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(a>0)．(1)若a=1，求在x∈(0，+∞)时的最大值；(2)若直线是曲线的切线，求实数a的值。参考答案：(1)当a=1时≤，当x=1时取“=”；(2)设切点(x0，y0)，则，则，得

∴

……①又由切线，则

则：……②

由将①代入②得若则：得

解得a=2若则：得

解得a=

即a=2或a=19.已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为、且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于．（I）求抛物线的方程；（II）已知()是轴上一动点，为坐标原点，过点且倾斜角为的一条直线与抛物线相交于不同的两点，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）抛物线的准线为，于是，所以∴抛物线方程为.

….5分（Ⅱ）过点且倾斜角为的直线:，令点，则：联立，消元得所以，又，则.又所以则有在上单调递减，在上单调递增。所以即的取值范围为

………….12分略20.（本小题满分14分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,

小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P(A);（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球,记X为落入A袋中小球的个数,试求X=3的概率和X的数学期望EX.参考答案：解:（Ⅰ）解法一：记小球落入袋中的概率，则，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以

.

解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋.

……….4

（Ⅱ）由题意，所以有

，……………8

……………………..10

略21.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，焦距为，点(2,1)在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线两侧的动点．当点A，B运动时，满足，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）由题可得，所以，则椭圆的方程为（2）将代入椭圆方程可得，解得，则，由题可知直线与直线的斜率互为相反数，写出直线的方程与椭圆方程联立整理可得。【详解】（1）因为椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，所以设椭圆方程为因为焦距为，所以，焦点坐标，又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得所以，即解得所以则椭圆的方程为.（2）将代入椭圆方程可得，解得则当点运动时，满足，则直线与直线的斜率互为相反数，不妨设，则，所以直线的方程为，联立，解得因为是该方程的两根，所以，即，同理直线的方程为且所以所以，即直线斜率为定值。【点睛】直线与椭圆的位置关系是近几年的高考重要考点，求椭圆的标准方程时要注意焦点的位置，本题解题的关键是先求出椭圆的标准方程，且由可知直线与直线的斜率互为相反数，属于偏