2021年中考数学 一轮专题汇编：等腰三角形(含答案)

2021中考数学一轮专题汇编：等腰三角形一、选择题1.若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为 ()A.40° B.50° C.60° D.65°2.已知:如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，BC=，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为 ()A.2 B.2 C. D.3.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N.若△AMN的周长为18，BC=6，则△ABC的周长为 ()A.21 B.22 C.24 D.264.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是()A.120°B.125°C.135°D.150°5.（2020·河南）如图，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为()A.B.9C.6D.6.（2020·宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形7.(2020自贡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50° B．40° C．30° D．20°8.(2019•广西)如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为A． B． C． D．二、填空题9.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为.

10.若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为________cm.11.（2020·襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝__________°．12.【题目】（2020·滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．13.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'，D，B在同一直线上，则∠ABD的度数是.

14.（2020·营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为．15.（2020·绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．16.(2019•黄冈)如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是__________．三、解答题17.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.

18.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.

19.已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝eq\r(7)AF，求证CF⊥AB.

20.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数.

21.如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，BE交AC于点F.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)判断△BCF的形状并说明理由；(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的长度(结果保留π).2021中考数学一轮专题汇编：等腰三角形-答案一、选择题1.【答案】D2.【答案】C[解析]在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，所以∠ABC=72°，∠A=36°，因为BC=BD，所以∠BDC=72°，所以∠ABD=36°，所以AD=BD=BC=，故选C.3.【答案】C[解析]∵MN∥BC，∴∠MEB=∠EBC.∵BE平分∠ABC，∴∠MBE=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE，∴△MBE是等腰三角形，∴ME=MB.同理，EN=CN，∵AM+AN+MN=18，MN=ME+EN=BM+CN，∴AM+AN+BM+CN=18，∴AB+AC=18，∴AB+AC+BC=24.即△ABC的周长为24.4.【答案】C【解析】由CD为腰上的高，I为△ACD的内心，则∠IAC＋∠ICA＝eq\f(1,2)(∠DAC＋∠DCA)＝eq\f(1,2)(180°－∠ADC)＝eq\f(1,2)(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.5.【答案】D【解析】∵分别以点A、C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°.∵AB=BC，AD=CD，连接BD交AC于点E，∴BD垂直平分AC，∴∠AEB=90°.∵∠BAC=30°，AB=，∴BE=，AE=，∴AC=3．在Rt△ADE中，∵∠DAC=60°，∠AED=90°，AE=，∴DE=，∴BD=，∴四边形ABCD的面积为：．6.【答案】C【解析】由△ABC和△ECD都是等边三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝BE，AN＝AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形．7.【答案】D．【解析】本题考查了直角三角形，圆，等腰三角形等知识，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，因此本题选D．8.【答案】C【解析】由作法得，∵，∴平分，，∵，∴．故选C．二、填空题9.【答案】50°或80°[解析]当等腰三角形顶角的外角为130°时，顶角为180°-130°=50°;当等腰三角形底角的外角为130°时，顶角为180°-2×(180°-130°)=80°.故答案为50°或80°.10.【答案】2eq\r(3)【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴底边长为：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2eq\r(3)(cm)．11.【答案】40．【解析】∵AB＝AD＝DC，∴∠ABD＝∠ADB，∠DAC＝∠C．∵∠BAD＝20°，∴∠ADB＝＝80°．又∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∴∠C＝∠ADB＝40°．故答案为40．12.【答案】80°【解析】本题考查了等腰三角形的性质，∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°，因此本题填80°．13.【答案】22.5°[解析]根据题意可知△ABD≌△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD'=AD，∴∠ADD'=∠AD'D==67.5°.∵D'，D，B三点在同一直线上，∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.14.【答案】【解析】如图1，根据两点之间线段最短，可得CE+EF≥CF，又根据垂线段最短可得，当CF⊥AB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E（如图2），在Rt△AFC中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin60°=6×=．15.【答案】3－2【解析】延长AD、BC交于点P，作MH⊥PB于H.∵AB∥CD，∴＝，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝PC，∴△PDC为等边三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°.由∠AMD＝90°，可知点M在以AD为直径的⊙E上，且在四边形ABCD内的一个动点，根据垂线段最短可知E、M、H三点共线时MH最小.在Rt△PEH中，EP＝6，∠P＝60°，∴EH＝EP·sin60°＝3，∴MH的最小值＝EH－EM＝3－2.16.【答案】14【解析】如图，作点关于的对称点，点关于DM的对称点．∵，∴，∴，∴，∵，∴为等边三角形，∵，∴的最大值为，故答案为：．三、解答题17.【答案】证明:(1)如图，连接DE.∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.∵AE=CE，∴DE=AC=CE=AE.∵BD=CE，∴DE=BD.∴点D在线段BE的垂直平分线上.(2)∵BD=DE，∴∠ADE=2∠ABE.∵DE=AE，∴∠A=∠ADE=2∠ABE.∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE.18.【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分)∵BE⊥AC,∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠BAD.(5分)19.【答案】(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF＝a，则AD＝eq\r(7)a，解图如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝eq\r(（\r(7)a）2－1)＝eq\r(7a2－1)，在Rt△DCE中，tan30°＝eq\f(CE,DC)＝eq\f(1－a,\r(7a2－1))＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝－2(舍去)或a＝eq\f(1,2)，(5分)∴AF＝eq\f(1,2)，在△CAF和△BAC中，eq\f(CA,AF)＝eq\f(BA,AC)＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA＝∠ACB＝90°，即CF⊥AB.(6分)20.【答案】解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE.又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵∴△ACD≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°.又AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE==67.5°.21.【答案】(1)证明：∵BC2＝CD·CA，∴eq\f(BC,CA)＝eq\f(CD,BC)，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，又∵AB为⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线；(2)解：△BCF为等腰三角形．证明如下：∵eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BD