关于年龄别死亡的两个环节的指数分布方法

关于年龄别死亡的两个环节的指数分布方法

1人口学中的参数nx在编制生命表时，需要特别注意和处理两个重要的环节。第一个环节就是如何准确估算年龄别死亡率nqx,第二个环节就是如何正确计算年龄别尚存人年数nLx。这两个环节构成相互独立又相互关联的统一体。也就是说,第一个环节在一种假定下进行了处理,第二个环节就不需要其它假定,进而可以使问题得到相应解决。和这两个环节密切相关的是如下两个公式,公式中nmx是年龄组(x,x+n)间的年龄别死亡率,它可以从给定的时期年龄别死亡人数和该年龄组的时期平均人口数求出。尚存人数lx可由设定假想队列初期人数lo(例如为1单位)和nqx推导得出。很显然,上述两个公式的核心问题是对参数nαx的确定。确定了nαx的算法,我们很容易根据已知条件求出nqx和nLx。参数nαx定义是,在年龄组(x,x+n)间死亡的人在死亡之前平均存活的年数。人口学主要有三种解决nαx的方法。第一种方法是假定死亡人数在年龄组间服从均匀分布,这一假定得出nαx=n/2。第二种方法是假定死亡人数服从指数分布,这也就是人口学界常说的恒定递减率假定。在这种方法中nαx可由公式(1)和公式(3)求出,公式(4)是其表达式。显然,指数分布假定下的nαx,只与年龄组间隔n和死亡率nmx有关。在均匀分布和指数分布假定下,存活人年数nLx都可由确定的nαx和公式(2)求出。第三种办法是,参数nαx由发达国家过去死亡数据估算而得来的经验数值来确定。1960年,首先出现了第一套经验值,它是由伯克利加州大学的美籍华人蒋庆琅先生提出的(曾毅,1993)。现在广泛应用的是另一套科尔—德曼经验公式(Cole—Demeny,1983)。此外,还有一套是经常被提及的凯菲茨经验公式(Keyfitz,1970)。第一种均匀分布方法操作简单,运用广泛,但这种假定不符合常规人口死亡选择定律(人口越多,相对死亡人数越多)。(1)该方法误差大,高龄组误差尤其大。可以证明均匀死亡分布下,人口数越多,相对死亡人数越少;人口数越少,相对死亡人数越多。第二种指数分布方法,高龄组误差较大,但由于分布符合常规人口死亡的选择定律,非高龄组误差较小。过去指数分布方法曾有令人头疼的复杂计算,但在计算机时代这已不是问题。随着计算机编制生命表的日益普及,指数分布方法将逐渐代替均匀分布方法。第三种经验假定方法,计算简单,但所调查人口不一定很好吻合发达国家过去的死亡模式。通过教学和研究,笔者发现在给定死亡数据是按死亡年龄(或死亡时间)和死亡者出生时间,双信息汇总的情况下,存在第四种按列克西斯图确定生命表的新方法。和以前的三种方法比较,这种新方法假设弱,误差即使在高龄组也不太大。更重要的是,由于它符合该地区的死亡模式,方法的可靠性很强。2死亡率nmx的计算图1在列克西斯图上给出了按出生时间和死亡时间确定的死亡数的d1和d2。这些死亡者都在同一年龄组(x,x+n),不过其中d2死亡者先于d1死亡者n年出生。在人口普查和死亡登记中d1和d2都是很容易确定的。P1是年龄组(x,x+n)在时间t+n时的人口数。P2是年龄组在时的人口数如果每个年龄组的12和1都给出的话2可由此按如下关系式得出:P2(x,x+n)=P1(x+n,x+2n)-d2(x,x+n)-d1(x+n,x+2n),括号内是表示对应的年龄组。根据假想队列法,图1对应的队列死亡概率为如下(5)式:其中lx=P1+d1是准确年龄x岁的存活人数,d′2=d2P1/P2是按假想队列调整后的第二期死亡人数,这是因为时期时P2人中有死亡人数d2,那么对应假想队列时P1人中应该有死亡人数d2P1/P2。图2给出了构成假想队列的列克西斯图。根据公式(1),我们知道如果能进一步算出年龄别死亡率nmx,那么可从公式(5)和公式(1)中推导出xαn。怎样利用图1的数据计算nmx呢?我们不妨列出nmx定义死亡率nmx是该年龄组每年的死亡人数除以该年龄组的平均人口数。从列克西斯图上可知该假想队列平均每年的死亡人数为(d1+d2P1/P2)/n,问题的关键是如何求出年龄组的平均人口数。也许人们会简单认为,这里年龄组的平均人口数为年初人口数(P1+d1)和年末人口数(P1-d2P1/P2)之和的一半。实际上,在给定d1和d′2的情况下,这种由均匀分布假定而导出的简单算术平均数是欠考虑的。因为死亡数d1和d′2已经确定了死亡分布。显然如果d1≠d′2,给定双死亡数确定的死亡分布就不是均匀分布。同理我们也不可能应用指数分布和相应人口平均数公式去确定平均人口数。均匀分布和指数分布在这里都是一个参数的分布。由于这里有两个数据点,我们可考虑两个参数的分布。从准确性的角度来说,双参数模型显然要优于单参数模型。这就是为什么我们这种方法要优于均匀分布和指数分布方法。最简单的双参数模型是假定死亡人数线性分布。不考虑时间对死亡率的影响,我们有时间t年龄x时的死亡密度ft,x)=a+bx,其中参数a和b待定(2)。为了便于简化问题,我们把直角坐标的原点(0,0)选在列克西斯图的时间t和年龄x时,(t,x)点。可以验证,这种坐标变换不会改变研究的结果。根据列克西斯图的已知死亡人数的条件,我们有其中△1和△2分别对应d1和d′2构成的三角形区域。对上面的二元一次方程组求解,得出所求参数如下:由于参数α和b已知,我们可求出年龄x时(0<x<n)的人口数那么在(0,n)年龄组的平均人口数为这一解答非常简单。它的几何意义是,假想队列在年龄组(x,x+n)的平均人数是列克西斯图的中间竖线P1。显然,这一平均人口数和死亡人数d1和d′2无关。根据公式(1),(5),(6),和(7),我们经过整理可求出列克西斯数据图的nαx,结果如下:我们可以对公式(8)进行定量检查。首先,当d1=d2P1/P2时,nαx=n/2,这是典型的死亡均匀分布公式。实际上d1=d2P1/P2就表明了死亡均匀分布。其次,当d′2小于d1时(例如0岁人口),nαx<n/2,这表明死亡平均年龄相对较短。另外,当d′2大于d1时(例如85-89岁组人口),nαx>n/2,这表明死亡平均年龄相对较长。此外,我们发现d′2趋近于零时的一种特殊情况,如果d′2等于零,nx也等于零。实际上,这告诉我们在线性双参数模型中,不可能同时出现d1≠0而且d′2=0的情况。对于生命表计算的最后一个年龄组,像其它生命表计算方法一样我们可以选择下列两个公式之一来计算。3不同生命表编制方法对比我们应用上述方法对中国1990年人口普查的数据进行婴儿死亡率的估计。在第四次人口普查中,死亡人数是按死者出生时间和死亡时间归类的。我们可以使用本文的方法。普查1%数据带给出表1数据。设定数据是准确的,显然有P2(0岁组)=242499-596-691=241212,和如下计算:设定初始存活人数l0=1.0,那么l1=l0(1.0-1q0)=0.9736为了使大家对本文方法有一些感性认识,表2就表1数据给出了几种生命表编制方法在0岁组的nαx对比。其中蒋庆琅方法的0.09是经验值,凯菲茨方法的0.116是根据公式1α0=0.07+1.71m0计算得来,科尔—德曼方法的0.186是根据公式1α0=0.0425+2.8751q0计算得来。表2的最后一行给出了相对比较的百分比。从百分比中可看出,列克西斯图分布的双死亡数线性方法和国际流行的科尔—德曼法和凯菲茨法很近似,不同的是双死亡数线性方法更能反映中国的死亡模式和死亡水平。4和其他年龄分布情况下的人本文借助死亡人数在列克西斯图上的分布,讨论了一种新的生命表编制方法,我们不妨在这里叫双死亡数线性方法。该方法需要双死亡数据d1和d2,以及一个对应的年龄分布P1(或P2