基于monecarlo方法的寿险公司责任公积金风险分析

基于monecarlo方法的寿险公司责任公积金风险分析

一、死亡率增加对事业主债务的影响近年来，随着社会经济发展水平和医疗水平的提高，中国各年龄段人口的死亡率普遍下降，中国人均人口盈余逐年增加。根据我国近三年的人口普查数据,我国人口的零岁平均余命从1990年的68.55岁提升到2000年的71.40岁,到2010年已经达到了74.83岁。由于我国人口死亡率尤其高龄人口的死亡率呈现逐年下降的趋势,寿险公司或者养老金公司如果仍以静态的生命表计算产品费率和计提责任准备金,将会对公司经营产生不利的影响。以年金险为例,人口死亡率的改善、平均余命的提升将导致保单未来的年金给付增加,如果不调整计提的责任准备金数额,就可能导致寿险公司的偿付能力不足,增加经营风险。另外,由于寿险责任准备金在负债中的占比较大,因而责任准备金的充足性直接影响寿险公司的偿付能力,因而有必要研究死亡率改善对寿险公司的准备金变动的影响。本文的研究主要基于两方面;一方面是未来死亡率变动的预测;另一方面是静态死亡率和动态死亡率下寿险公司不同类型产品的准备金分布情况。近年来国外在未来死亡率预测模型方面取得了很大进展。1992年,Lee-Carter在考虑到死亡率随时间变化的因素后提出了一种死亡率预测模型,该模型简洁方便,对死亡率历史数据拟合较好,因而成为应用最广泛的模型之一,其后的很多研究都是在Lee-Carter(1992)模型基础上的改进。另外,BenjaminM.Friedmanetal(1988)、JeffreyR.Brownetal(2000)定性探讨了长寿风险对年金产品的影响,指出年金产品定价时需要考虑死亡率改善的因素。M.Khalaf-Allahetal(2006)研究了不同性别、年龄和利率下死亡率改善因素对年金产品的影响。近年来国内也有很多人口死亡率预测方面的研究,代表性的文章有王晓军等(2008,2012)、李志生等(2010)、韩猛等(2010),这些文章大多是关于国外的死亡率预测方法在中国人口数据上的应用研究,而没有死亡率预测结果的进一步运用。祝伟(2012)在通过Lee-Carter(1992)模型预测中国人口死亡率的基础上,定量分析了死亡率改善下年金产品的定价问题。本文将以Lee-Carter(1992)模型预测中国人口未来的死亡率,研究在未来死亡率改善的情况下,动态死亡率对寿险公司纯保费责任准备金的影响。为此,第二部分简要说明本文用到的随机死亡率预测模型,第三部分介绍静态死亡率和动态死亡率下寿险公司准备金的评估方法,第四部分针对中国的人口死亡数据进行实证分析,最后对全文总结。二、估计模型及步骤本文将利用Lee-Carter(1992)模型预测中国人口未来的死亡率。Lee-Carter(1992)模型的主要思路是将不同年龄或年龄段的死亡率变化分解成两个部分:一是随着时间而变化的时间因子,另一个是不随时间而变化的年龄因子。该模型的公式如下:其中mx,t表示t年x岁时的中心死亡率,kt是时间因子,反映了死亡率随日历年变动的趋势;εx,t表示t年x岁时中心死亡率的残差,并且εx,t是一个均值为0,方差为σε2的白噪声过程。为了保证式(1)中参数估计结果的唯一性,还要附加两个约束条件:式(1)中参数ax、bx和kt的估计方法主要有三种:奇异值分解法、加权最小二乘法和极大似然估计法。本文使用奇异值分解法估计模型参数,估计步骤如下:3.对步骤2得到的重新修正,使得修正后的能够满足预测的死亡数等于实际观测的死亡数,即对任意t成立,其中Ex,t和dx,t为年龄x岁的年中人口数和死亡数。4.最后,为了满足约束条件(2),重新调整和,即最后的即为参数ax、bx和kt的估计值。三、保险公司南下风险的量化和储备分配的模拟1.qx的退保情况本文将以保单发行时刻(t=0)的纯保费责任准备金(期初责任准备金)来评估寿险公司所面临的风险。假设某寿险公司期初共有N份保单,并且除被保险人死亡外,所有保单没有中途退保的情况。令qx为年龄x岁的人在一年内死亡的概率,Nx为年龄x岁的被保险人数,Dx为年龄x岁的人在一年内的死亡人数,并假设Dx服从二项分布。假设x0为投保年龄,保单的保险期间为T年,F(D)为保单的死亡给付金额,而F(S)为保单的生存给付金额。Vt为保单在第t年时的纯保费责任准备金,P为被保险人每年年初需缴纳的纯保费(缴费年限为n)。假设每个保单的给付模式均为期末给付,为利率折现因子,则对于不同的寿险险种,期初责任准备金的计算公式分别为:(1)定期寿险(2)延期m年的递延年金(3)即期年金2.静态死亡率假设由于目前寿险公司普遍使用静态生命表计算保费,因此在未来死亡率改善的情况下,寿险产品的保费可能会被低估或高估,在保费估计错误的情况下,就会直接影响寿险公司准备金的充足性。为此,本文先以某个静态生命表计算寿险公司各类产品的纯保费,然后模拟不同死亡率假设下寿险公司的准备金分布。具体步骤如下:(1)在静态死亡率假设下,首先要假设某一年龄的投保人数,并假设死亡数Dx服从二项分布,然后依据前面的静态死亡率表和死亡分布假设模拟出各年龄的死亡人数和生存人数,最后利用前面的式(5)~式(7)计算出相应的纯保费责任准备金。(2)在动态死亡率假设下,为了与静态死亡率下的责任准备金作对比,首先假设最初的投保人数与前相同,保单价格亦与固定死亡率假设下的保单价格相同,但是计算纯保费责任准备金时使用动态生命表。然后同样假设死亡人数服从二项分布,模拟出各年龄的死亡人数和生存人数,最后利用前面的式(5)~式(7)计算出相应的纯保费责任准备金。(3)对每类保单,步骤(1)和步骤(2)各模拟10000次,即得到该类保单的责任准备金分布;然后针对每类保单,计算两种模拟分布的期望、标准差、偏度、峰度、VaR值和尾部条件期望(CTE)以分析纯保费责任准备金的风险。四、示范分析1.对相关数据的处理由于我国死亡资料并不充分,为了保证模型的预测效果,本研究仅使用连续年份的死亡资料。原始数据来源于1995~2000年《中国人口统计年鉴》、《中国2000年人口普查资料》,2002~2006年《中国人口统计年鉴》、2007~2010年《中国人口与就业统计年鉴》及《中国2010年人口普查资料》2012~2013《中国人口与就业统计年鉴》中全国男性分性别、年龄35~90+的死亡数(单岁组)以及年平均人口数据,即1994~2012年共19年的死亡资料,每年包括35至90岁及以上共56个组的数据。对原始数据存在的问题及处理:(1)1995、2000、2005和2010年的原始表中死亡数和年平均人口数据末组年龄均超过90岁,此时需要将90岁及以上人口合并为一组重新计算中心死亡率;(2)1996年的末组年龄只到85+。因为多数年的死亡数据到90+,所以需要将该年的数据先扩展到90+,为此本文先使用对相邻年数据线性插值的方法计算1996年85至90+的分年龄中心死亡率,然后对年平均人口和死亡人数进行拆分(1),最后利用拆分后的死亡数和年平均人口之比重新计算85到90岁及以上年龄的中心死亡率。2.死亡率改善对年金产品的影响从理论上讲,死亡率改善对以定期寿险为代表的保障类险种和以终身年金为代表的年金类产品的影响是不同的。对保障类险种而言,在保险费率不变的情况下,死亡率改善将导致保费高估,责任准备金提取过多;而对年金类产品而言,在保险费率不变的情况下,死亡率改善将导致保费低估,进而导致责任准备金提取额不足,从而增加寿险公司的经营风险。为了全面地研究死亡率改善对寿险公司的影响,本文选取了两种保障类险种和两种年金类险种作为对比。其中保障类险种分别选取10年期和20年期的定期寿险;因年金类险种的功能主要为增加被保险人退休后的收入,因此,本文设计的年金领取年龄均从61岁开始,分别以保险期间均为10年的递延年金和即期年金探讨死亡率改善对准备金风险的影响。为此,以下将只考虑A、B、C、D四种类型的保单,其中A、B为定期寿险,C、D为年金类险种,具体参数设定如表1所示:3.基于le-carter模型的死亡率预测为了考查Lee-Carter模型对中国男性人口死亡率的预测效果,本文先对1994~2007年的35~90+岁男性人口的死亡率应用Lee-Carter模型,得到Lee-Carter模型中参数ax,bx,kt的估计值。再以ARIMA模型预测kt,得到kt的预测适用ARIMA(0,1,0)模型,具体如下:通过上面的式(8)及预测2008—2012年男性人口35~90+的死亡率,并利用预测死亡率与实际死亡率计算平均绝对误差(MAPE)(1),得到相应的MAPE值为21.70%。根据Lewi(1982)的标准,Lee-Carter模型对中国人口死亡率的预测效果良好。因此后面将利用1994~2012年的中国男性人口死亡率数据,重新建立Lee-Carter模型,得到模型Lee-Carter模型中参数ax,bx,kt的估计值如下图所示:再利用ARIMA(0,1,0)模型对kt进行预测,得到kt的预测模型如下:使用式(9)对未来kt进行预测,并将预测结果代入公式,即可预测未来各年的死亡率,从而建立动态生命表。例如对于2012年50岁的男性投保人来说,其2012年及未来各年的死亡率分别为q502012(1),q512013,q522014,……4.动态死亡率分析因为我们没有寿险公司人口死亡的历史数据,也无法得到寿险公司不同性别人口未来死亡率的预测值,因此本文不采用中国人寿保险业经验生命表CL1990~1993或者CL2000~2003作为寿险公司险种定价的基础。而为了保持统计口径的一致性并且便于与动态死亡率结果的比较,本文选取最新的人口统计数据,即2012年《中国人口和就业统计年鉴》中男性人口的死亡率(以后简称“静态死亡率”)作为寿险公司各险种定价的基础,并且假设各种寿险产品的定价利率均为固定利率3.5%。然后假设死亡数Dx服从二项分布(2),每类险种最初均有100000人投保,则在静态死亡率下可模拟出各年龄的死亡人数和生存人数;最后利用前面的式(5)~式(7)计算出相应的纯保费责任准备金。对A、B、C、D类保单,上述过程分别重复10000次,即得到各类保单的责任准备金分布。对于A、B、C、D类保单中的每份保单,其直方图如图2所示。为了对准备金风险进行量化分析,针对每类保单,分别计算每份保单纯保费责任准备金模拟分布的期望、标准差、偏度、峰度、VaR值和条件尾部期望(CTE),结果如表2所示。从图2和表2可以看出,尽管各类保单的保障内容不同,保单的期初准备金期望除以保单期初保费收入,即得到保单平均成本,分别为0.153%,0.004%,1.062%,0.269%。期望均围绕零点上下波动,各分布的偏度接近于0,而峰度接近于3,VaR(95)和CTE(95)均为正值。另外,险种A、B的VaR(95)和CTE(95)数值相差不大,险种C、D的VaR(95)和CTE(95)数值相差亦不大。这些都说明,如果仍使用与保单定价时相同的静态死亡率评估寿险公司各险种的纯保费准备金,即未来死亡率与保单定价时的死亡率保持一致时,则死亡率风险对于各类保单的期初准备金的影响并不显著。(2)动态死亡率下的准备金分布随着人民生活水平的提高和医疗条件的改善,近年来我国人口的死亡率明显降低,因而如果保单定价时采用静态生命表,就会导致由于未来死亡率的改善使得保障类险种的保费高估而年金类险种的保费低估的情况,进而会造成未来的准备金提取过多或者不足,影响寿险公司的经营,甚至影响其偿付能力。为此,本文将通过Lee-Carter模型预测每一年龄未来各年的死亡率,并依此建立动态生命表。在保费确定的情况下,分险种分析未来死亡率变化时的准备金充足情况。具体做法与前面静态死亡率下的准备金风险分析方法类似,只是将其中的生命表用由Lee-Carter模型得到的动态生命表代替。下面的图3是对A、B、C、D四类保单,分别模拟10000次纯保费责任准备金后得到的每份保单的准备金分布直方图。同前,为了对准备金风险进行量化分析,针对每类保单,分别计算每份保单纯保费责任准备金模拟分布的期望、标准差、偏度、峰度、VaR值和条件尾部期望(CTE),结果如表3所示。从图3和表3可以看出,对于各类保单,各分布的峰度和偏度相比表2没有太大变化,但是定期寿险的均值均偏向负值而年金产品的均值均偏向正值,而且定期寿险的VaR(95)和CTE(95)均为负值而年金险的VaR(95)和CTE(95)则均为正值。另外,对两种定期寿险产品A、B而言,产品B的VaR(95)和CTE(95)值明显比产品A的对应值的绝对值大很多;对年金C和D而言,年金C的VaR(95)和CTE(95)比年金D的对应值大很多。这说明如果定价时采用静态死亡率,而未来死亡率与本文计算的动态死亡率一致,死亡率改善会对寿险公司的准备金评估产生较大影响。具体地,对保障类产品而言,死亡率改善将存在准备金估计过高的风险,而且保险期限越长,风险越大;对年金类险种而言,死亡率改善将存在准备金估计不足的风险,而且被保险人领取年金的年龄越晚,风险越大。(3)不同死亡率下的准备金分布结果分析对于保障类险种来说,未来死亡率的改善和寿命的延长使得寿险公司未来的赔付率降低,保险金给付的时刻后延。因此,在动态死亡率下,当未来的保费保持不变时,保单期初准备