非自治集值映射下上链吸引子的存在性

非自治集值映射下上链吸引子的存在性

1非自治集值映射自治集值映射xn-1f（xn），其中f：xx，f：xx，f（x）是组，x是时，f（x）是一个周期分布的空间，x是一个周期分布的空间，f是一个连续的集合。这种集值映射的研究主要来自控制理论、经济学和微分方程数值模拟。由于自治集值系统和单位自治系统都具有半组遗传特性，因此单值自治系统的概念也可以用来考虑自治集值映射的渐近性。非自治集值映射是xn+1∈Fn(xn),其中Fn:X→X,且对于∀x∈X,Fn(x)是一个集合,它依赖于时间n.非自治集值映射自然出现在自治微分包含的变步长离散化,自治集值映射的非自治扰动等,最简单的情况是自治微分包含的具有变时间步长hn>0的欧拉方法xn+1∈xn+hnF(xn).非自治集值映射不具有半群性质,因而许多自治系统的概念对于非自治系统不适用.在文中引进了对于单值非自治系统的上链吸引子,在文中定义了对于非自治集值系统的上链吸引子,并给出了在吸收集不依赖于时间的条件下,上链吸引子的存在性.本文我们主要考虑对于非自治集值映射,上链吸引子的存在性,一致性.首先考虑对于吸引集依赖于时间且是正向不变的情况下,我们得到了上链吸引子的存在性;其次,考虑对于吸引集不是正向不变的,但映射是下半连续的情况下,得到了上链吸引子的存在性;同时我们考虑在某些条件下上链吸引子的唯一性.进—步我们定义强吸引集,强上链吸引子,得到了强上链吸引子的存在性,唯一性.2闭领域的映射假定(X,d)是一个度量空间,x∈X,x到—个非空紧集K的距离定义为dist(x,Κ)=mina∈Κd(x,a)X中两个非空紧子集K,L的Hausdorff半距离H*(K,L)定义为:Η*(Κ,L)=maxa∈Κdist(a,L)=maxa∈Κminb∈Ld(a,b).让H(X)表示X的所有非空紧子集组成的集合,用Nε(K)={x∈X:dist(x,K)<ε}表示K∈H(X)的ε开邻域,用Nε[K]={x∈X:dist(x,K)≤ε}表示K的ε闭领域.定义1对于集值映射ϕ:X→H(X),如果对于∀ε>0,∃δ>0,使得当y∈Nδ({x})时,ϕ(y)⊂Nε(ϕ(x)),或当limn→∞xn=x时,limn→∞Η*(ϕ(xn)‚ϕ(x))=0,称集值映射ϕ在x点上半连续.如果对于给定的序列{xn}‚limn→∞xn=x,及y∈ϕ(x),存在yn∈ϕ(xn),使得limn→∞yn=y,称集值映射ϕ在x点是下半连续的.如果集值映射ϕ既是上半连续又是下半连续,则称ϕ是连续的.定义2如果集值映射族{S(n,p),n∈Z+,p∈P},S(n,p,·):Rd→H及P上的映射群{θn,n∈Z}满足对于所有x∈Rd,n,m∈Z+,p∈P有(1)x∈S(0,p,x);(2)S(n+m,p,x)=S(n,θmp,S(m,p,x)),则称它为差分包含上链.定义3紧子集族{B(p)}称为差分包含上链{S(n,p),n∈Z+,p∈P}在Rd中的吸收集,如果对每个p∈P,及每一个有界子集D,存在一个Np,D∈Z+使得对所有n≥Np,D,S(n,θ-np,D)⊂B(p).进一步,如果紧子集族{B(p)}满足对所有n∈Z+,p∈P,S(n,p)B(p)⊂B(θnp),则称为正向不变的.定义4Rd中的—族紧子集{A(p),p∈P},如果它满足对于任何n∈Z+,S(n,p,A(p))=A(θnp),且对于Rd中的任何有界子集D,任何p∈Plimn→∞Η*(S(n,θ-np‚D)‚A(p))=0,则称{A(p)}是差分包含上链{S(n,p),n∈Z+,p∈P}的上链吸引子.3pp,-n,-n,-p,-n,-p,-n,-p,-n,-p,-n,-p,-n,-p,-b-pp用H表示Rd的所有的紧子集组成的集合,USC(Rd,H)表示Rd→H的所有的上半连续的映射的集合.定理3.1如果差分包含上链映射S(n,p)∈USC(Rd,H)具有正向不变的吸收集{B(p)},那么存在上链吸引子{A(p)},其中A(p)=∩m≥0¯∪n≥mS(n,θ-np‚B(θ-np)).为了证明定理3.1,我们需要下面的引理:引理3.1y∈A(p)的充要条件是存在序列{tm},{xm}及{ym},满足tm≥m,xm∈B(θ-tmp),ym∈S(tm,θ-tmp,xm),使得y=limm→∞ym.证假定y∈A(p),那么对于所有的m∈Ν‚y∈∪n≥mS(n,θ-np‚B(θ-np)¯.因而对每一个m∈N,存在ym∈∪n≥mS(n,θ-np‚B(θ-np)),满足|y-ym|＜1m,因∃tm≥m,及xm∈B(θ-tmp)满足ym∈S(tm,θ-tmp,xm)且limm→∞ym=y,因而ym,xm满足所要的性质.另一方面,如果{tm},{xm},{ym}是引理中的序列,那么ym∈∪n≥mS(n,θ-np‚B(θ-np)),因而对每一个m∈Ν‚y∈∪n≥mS(n,θ-np,B(θ-np))¯,因此y∈A(p).定理3.1的证明首先证明对于∀p∈P,limn→∞Η*(S(n,θ-np‚B(θ-np))‚A(p))=0.否则存在序列{xnk},{ynk}满足xnk∈B(θ-nkp),ynk∈S(nk,θ-nkp,xnk)及ε>0,使得对每个nk∈N,H*(ynk,A(p))>ε,由{B(p)}的正向不变性,有ynk∈B(p),又因为B(p)是紧的,因而存在子序列n′k→∞使得yn′k→y(y∈B(p))满足H*(y,A(p))≥ε,这与引理矛盾.下证:对于每一个有界集D,limn→∞Η*(S(n‚θ-np‚D)‚A(p))=0.由前面可知,对于∀ε>0,p∈P,存在nε,p使得Η*(S(nε‚p‚θ-nε,pp‚B(θ-nε‚pp))‚A(p))＜ε‚设D是Rd中的一个有界集,由于{B(p)}是吸收的,因而存在nD,当n≥nD时,S(n,θ-n-nε,pp‚D)⊆B(θ-nε‚pp)‚因而S(n+nε,p‚θ-n-nε,pp,D)=S(nε,p‚θ-nε,pp)˚S(n,θ-n-nε,pp‚D)⊆S(nε,p‚θ-nε,pp,B(θ-nε,pp)),取nD,p,ε=nD+nε,p,则当n≥nD,p,ε时,H*(S(n,θ-np,D),A(p))<ε.下面我们来证明:A(P)的不变性.对于∀n≥0,y∈A(θnp),由引理可知存在序列{xm},{ym}及{tm},满足xm∈B(θ-tm。θnp),ym∈S(tm,θ-tm。θnp,xm)使得y=limm→∞ym.因而当tm>n时,由{B(p)}是正不变的,可知存在序列{Zm},Zm∈S(tm-n,θ-tm+np,xm)⊂B(p)且ym∈S(n,p,Zm).由于B(p)是紧的,因而存在{Zm}的收敛子列{Zm′},Zm′→Z∈B(p)(m′→∞).因而由引理可知Z∈A(p).又由S(n,p,·)的上半连续性可知y∈S(n,p,Z)⊂S(n,p,A(p)),因此A(θnp)⊂S(n,p,A(p)).代替上面的p用θ-mp,用m代替n,因为A(θ-mp)⊂B(θ-mp),则A(θm˚θ-mp)⊂S(m,θ-mp,A(θ-mp))‚即A(p)⊂S(m,θ-mp,A(θ-mp)),∀m≥0,因而对于∀n≥0,m≥0,S(n,p,A(p))⊂S(n,p,S(m,θ-mp,A(θ-mp)))⊂S(n,p,S(m,θ-mp‚B(θ-mp)))=S(n+m,θ-n-mθnp‚B(θ-n-mθnp))=S(k,θ-kθnp‚B(θ-kθnp))∀k≥n‚因而对于∀n≥0,S(n,p,A(p))⊂∪k≥0S(k,θ-kθnp‚B(θ-kθnp)),因而有S(n,p,A(p))⊂A(θnp)=∩m≥0∪k≥mS(k,θ-kθnp‚B(θ-kθnp))¯.因此我们证明了A(θnp)=S(n,p,A(p)).下面我们考虑如果B(p)不是正不变的,是否有上链吸引子?在进一步的假设下,我们也能得到上链吸引子的存在性,也即我们有下面的定理:定理3.2如果B(p)不是正不变的,但进一步假设S(n,p,·)是下半连续,则A(p)=∪D⊂Rn‚D有界ΛD(p)¯(其中ΛD(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np,D)¯)是极小的上链吸引子.证首先证明对于∀p∈P,任意有界集D,limn→∞Η*(S(n,θ-np‚D)‚A(p))=0.否则,存在序列{xm},{ym},ε>0,使得xm∈D,ym∈S(m,θmp,xm),H*(ym,A(p))≥ε.由B(p)是吸收,因而存在N0,当m>N0时,S(m,θ-mp,D)⊂B(p),因而当m充分大时,ym∈B(p).又由于B(p)是紧的,因而存在收敛子列ym′→y,所以∀k≥0‚y∈∪n≥kS(n,θ-np,D)¯‚于是y∈ΛD(p)⊂A(p),这与H*(ym,A(p))>ε矛盾.下证:A(p)是严格不变的.首先证明对于任一有界集合D,ΛD(θp)=S(1,p,ΛD(p)).事实上对于∀y∈ΛD(θp),存在xm,ym,tm使得xm∈D,ym∈S(tm,θ-tm(p),xm),且ym→y(m→∞),因而存在zm∈S(tm-1,θ-tm+1(p),xm),使得ym∈S(1,p,zm),由B(p)是吸收集,当m充分大时,zm∈B(p).由于B(p)是紧的,因而存在收敛的子序列zm′→z∈B(p),且ym′∈S(1,p,zm′),因此z∈ΛD(p).由映射的上半连续性可知,y∈S(1,p,z),故ΛD(θp)⊂S(1,p,ΛD(p)).另一方面,∀x∈ΛD(p),∃xm,tm,zm∈D,使得xm∈S(tm,θ-tmp,zm)且xm→x(m→∞).由于S(1,p)是下半连续,因而对于∀y∈S(1,p,x),∃ym∈S(1,p,xm)使得ym→y(m→∞).因而ym∈S(tm+1,θ-tm-1θp,zm),于是y∈ΛD(θp),即S(1,p,ΛD(p))⊂ΛD(θp).因而我们有A(θp)=∪D有界ΛD(θp)¯⊂∪D有界S(1,p,ΛD(p))¯=S(1‚p,∪D有界(ΛD(p))¯⊂S(1,p)∪D有界ΛD(p)¯.事实上,令G=∪D有界ΛD(p),则S(1‚p)∪D有界(ΛD(p))¯=S(1‚p)G¯,对于∀y∈S(1,p)G¯,存在xn∈G使得S(1,p)xn→y(n→∞),由于G¯是紧的,因而存在子列xnk→x∈G¯(k→∞),由上半连续性,可知limn→∞Η*(S(1‚p)xnk‚S(1‚p)x)=0,所以y∈S(1,p)x.接下来证明:S(1,p,A(p))⊂A(θp).∀x∈A(p),由定义可知,存在有界集族{Dn},序列{xn},xn∈ΛDn(p)使得xn→x(n→∞),由于S(1,p)是下半连续,因而对于∀y∈S(1,p,x),∃yn满足yn∈S(1,p,xn),使得yn→y(n→∞)且yn∈S(1,p,xn)⊂ΛDn(θp).因而y∈∪ΛDn(θp)¯⊂A(θp).下证:极小性.如果{A′(p)}也是上链吸引子,因而对于任一有界集D,limn→∞Η*(S(n,θ-np,D),A′(p))=0,断言:ΛD(p)⊂A′(p).事实上ΛD(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np‚D)¯,所以任取y∈ΛD(p),有对于∀m>0,∃tm≥m,(tm→∞)及xtm∈S(tm,θ-tmp,D)满足xtm→y(tm→∞),因而limm→∞d(xtm‚A′(p))=0,于是存在ytm∈A′(p),使得limm→∞d(xtm‚ytm)=0,由A′(p)的紧性可知存在ytm的子列yt′m使得yt′m→y^‚(t′m→+∞)及y^∈A′(p)‚并且limm→∞d(y^‚y)≤limm→∞(d(y^‚yt′m)+d(yt′m‚xt′m)+d(xt′m‚y))=0‚所以y^=y,因而y∈A′(p).因而有A(p)=∪D有界ΛD(p)¯⊂A′(p),所以A(p)是极小的,这完成了定理的证明.接下来我们考虑在什么条件下,∪D有界ΛD(p)¯=A1(p)及∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np‚B(θ-np))¯=A2(p)‚是一致的.命题如果{B(P)}是正向不变的且一致有界(也即存在有界集D^,使得B(p)⊂D^,∀p∈P),以及S(n,p,·)是下半连续,则对所有的p∈P,A1(p)=A2(p)证因为{B(p)}是正不变的吸收集,由于定理1可知,A2(p)吸引任一有界集,因而对任一有界集D,limn→∞Η*(S(n,θ-np‚D)‚A2(p))=0,由此可知ΛD(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np‚D)¯⊂A2(p)‚所以A1(p)⊂A2(p)下证:A2(p)⊂A1(p).由于{B(p)}是正不变的,因而A2(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np‚B(θ-np)¯⊂B(p),又由于A2(p)是不变的,所以S(n,θ-np‚A2(θ-np))=A2(p)‚由B(p)⊂D^可知A2(p)⊂Λ(p).所以A2(p)⊂A1(p).因此A2(p)=A1(p).4强上链吸引子p本节我们给出强上链吸引子的定义及存在性.定义4.1族D={D(p),p∈P}称为有界,如果对于∀p,D(p)是有界集.{B(p)}称为强的紧吸收族,如果对于任意的D={D(p)}有界族,∀p∈P,∃Np,D使得当n≥Np,D时.S(n,θ-np‚D(θ-np))⊂B(p).定义4.2紧集族{A(p)}称为是强上链吸引子,如果A(p)是严格不变的,对于任意的有界族D,limn→∞Η*(S(n,θ-np‚D(θ-np)‚A(p))=0.定理4.1假设S(1,p,·)是连续的,如果存在强的紧吸收族{B(p)},则存在强上链吸引子{A(p)},其中A(p)=∪D有界族ΛD(p)¯‚ΛD(p)=∩m≥0∪n≥mS(n,θ-np‚D(θ-np))¯,且是极小的.证首先证明不变性:对于任一有界集族,D={D(p)}我们有ΛD(θp)=S(1,p,ΛD(p))事实上对于∀y∈ΛD(θp),∃xm,ym,tm,使得xm∈D(θ-tmθp),ym∈S(tm,θ-tmθp,xm)且ym→y(m→∞),因而存在zm∈S(tm-1,θ-tm+1p,xm)使得ym∈S(1,p,zm).由于{B(p)}是紧吸收集,因而当m充分大时,zm∈B(p),因而有收敛的子序列zm′→z∈B(p),且ym′∈S(1,p,zm′),所以z∈ΛD(p),由映射的上半连续性可知y∈S(1,p,z),即ΛD(θp)⊂S(1,p,ΛD(p)).另一方面,对于∀x∈ΛD(p),∃xm,tm,zm∈D(θ-tmp),使得xm∈S(tm,θ-tmp,zm)且xm→x(m→∞).由于S(1,p)是下半连续,因而对于∀y∈S(1,p,x),∃ym∈S(1,p,xm)使得ym→y(m→∞).因而ym∈S(tm+1,θ-tm-1θp,zm),于是y∈ΛD(θp),即S(1,p,ΛD(p))⊂ΛD(θp).因而A(θp)=∪D有界集ΛD(θp)¯⊂∪D有界集S(1‚p,ΛD(p))¯=S(1‚p‚∪D有界集ΛD(p))¯⊂S(1‚p)∪D有界集ΛD(p)¯=S(1‚p)A(p).下证:S(1,p)A(p)⊂A(θp).∀x∈A(p),由定义可知,存在有界族序列{Dn},及序列{xn},xn∈ΛDn(p),