2018-2019学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2018-2019学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2018秋•天河区期末）如图图案中，是中心对称图形的是A． B． C． D．2．（3分）（2018秋•越秀区期末）若的半径为，，则点的位置是A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定3．（3分）（2018秋•越秀区期末）将抛物线向上平移1个单位得到新的抛物线的解析式是A． B． C． D．4．（3分）（2018秋•越秀区期末）如图，点、、为上的点，，则A． B． C． D．5．（3分）（2018•兴庆区校级一模）点关于原点的对称点是A． B． C． D．6．（3分）（2013•呼伦贝尔）用配方法解方程时，原方程应变形为A． B． C． D．7．（3分）（2017•兰州）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为A．20 B．24 C．28 D．308．（3分）（2018秋•越秀区期末）二次函数、、为常数且中的与的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线013353A． B． C． D．9．（3分）（2018秋•越秀区期末）如图，为平行四边形，，的平分线交对角线于点，若的面积为1，则四边形的面积是A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）（2018秋•越秀区期末）若关于的方程有两个实根、，则的最大值是A．3 B．4 C．4.5 D．5二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2018秋•越秀区期末）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是．12．（3分）（2018秋•越秀区期末）已知点、、，以0为位似中心在第一象限内将放大为原来的2倍得到△，则点的对应点的坐标是．13．（3分）（2015•历城区一模）一个圆锥的母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积是（结果保留．14．（3分）（2018秋•越秀区期末）如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上，则的度数是．15．（3分）（2018秋•越秀区期末）如图，在中，，，，且的三边都与相切，则．16．（3分）（2018秋•越秀区期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④；⑤若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是（填写所有正确判断的序号）三、解答题（本大題共9小題，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（2018秋•越秀区期末）解方程：．18．（9分）（2018秋•越秀区期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．绕点逆时针旋转后得到△（1）画出旋转后的图形；（2）求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．19．（10分）（2018秋•越秀区期末）放假期间，小明和小华准备到广州的白云山（记为、莲花山（记为、帽峰山（记为的其中一个景点去游览，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同（1）小明选择去白云山游览的概率是多少？（2）用树状图或列表的方法求小明和小华分别去不同景点游览的概率．20．（10分）（2018秋•越秀区期末）如图所示，，，点为线段上一动点（不与点、重合），分别过点、作、的垂线，两条垂线相交于点．（1）证明：；（2）设，，试求关于的函数关系式，并写出的取值范围．21．（12分）（2018秋•越秀区期末）为鼓励市民节约用电，小亮家所在地区规定：每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这户居民这个月只需交15元电费；如果超过度，则这个月除了仍要交15元的电费以外，超过的部分还要按每度元交电费．已知小亮家1月份用电45度，交电费15元；2月份用电80度，交电费30元．（1）请直接写出小亮家2月份超过度部分的用电量（用含的代数式表示）；（2）求的值．22．（12分）（2018秋•越秀区期末）如图，在中，，平分，交边于点．为边上一点，经过点、并且交于另一点．（1）作出并标出点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：直线是的切线；②若与交于点，且，，求的长．23．（12分）（2018秋•越秀区期末）如图所示，抛物线经过、、三点，抛物线对称轴与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点为对称轴上一点，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，若点恰好在该抛物线上，求线段的长．24．（14分）（2018秋•越秀区期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点（1）求该抛物线的解析式；（2）点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标；（3）若点为线段上一动点，试求的最小值．25．（14分）（2018秋•越秀区期末）如图1所示，正方形的边长为2，点、分别为边、的中点．如图2所示，将绕点逆时针旋转，射线、相交于点．（1）求证：；（2）如图2，在旋转的过程中，若射线恰好通过的中点，求的长；（3）如图3，若将从图1的位置旋转至，试求点在旋转过程中的运动路线长．

2018-2019学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2018秋•天河区期末）如图图案中，是中心对称图形的是A． B． C． D．【考点】：中心对称图形【专题】558：平移、旋转与对称【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；、是中心对称图形，故本选项正确；、不是中心对称图形，故本选项错误；、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2018秋•越秀区期末）若的半径为，，则点的位置是A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定【考点】：点与圆的位置关系【专题】559：圆的有关概念及性质【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【解答】解：根据点到圆心的距离大于圆的半径，则该点在圆外．故选：．【点评】本题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，则点在圆外．3．（3分）（2018秋•越秀区期末）将抛物线向上平移1个单位得到新的抛物线的解析式是A． B． C． D．【考点】：二次函数图象与几何变换【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线向上平移1个单位得到新的抛物线的解析式是：，故选：．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．4．（3分）（2018秋•越秀区期末）如图，点、、为上的点，，则A． B． C． D．【考点】：圆周角定理【专题】559：圆的有关概念及性质【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：，，，，故选：．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（3分）（2018•兴庆区校级一模）点关于原点的对称点是A． B． C． D．【考点】：关于原点对称的点的坐标【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点关于原点对称的点是，可得答案．【解答】解：点关于原点的对称点是，故选：．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．6．（3分）（2013•呼伦贝尔）用配方法解方程时，原方程应变形为A． B． C． D．【考点】：解一元二次方程配方法【专题】11：计算题【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程移项得：，配方得：，即．故选：．【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（3分）（2017•兰州）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为A．20 B．24 C．28 D．30【考点】：利用频率估计概率【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值．【解答】解：根据题意得，解得，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选：．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．8．（3分）（2018秋•越秀区期末）二次函数、、为常数且中的与的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线013353A． B． C． D．【考点】：二次函数的性质；：二次函数图象上点的坐标特征【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】利用二次函数的对称性，结合对应点坐标变化得出其对称轴即可．【解答】解：由表知当和时，，该抛物线的对称轴是直线，即，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性，本题属于基础题型．9．（3分）（2018秋•越秀区期末）如图，为平行四边形，，的平分线交对角线于点，若的面积为1，则四边形的面积是A．3 B．4 C．5 D．6【考点】：相似三角形的判定与性质；：平行四边形的性质【专题】：图形的相似【分析】首先证明，，进而得出，即可得出，，的面积，用面积的和差即可得出结论．【解答】解：四边形是平行四边形，，，平分，，，，，，，，，，的面积为1，，，，，故选：．【点评】此题是相似三角形的判定和性质，主要考查了平行四边形的性质，同高的三角形的面积比是底的比，用相似三角形的性质得出，是解本题的关键．10．（3分）（2018秋•越秀区期末）若关于的方程有两个实根、，则的最大值是A．3 B．4 C．4.5 D．5【考点】：根的判别式；：根与系数的关系【专题】523：一元二次方程及应用【分析】根据根的判别式列不等式得到，根据根与系数的系数得到，，，根据完全平方公式得到，代入代数式化简即可得到结论．【解答】解：关于的方程有两个实根、，△，，，，，，，，当时，的最大值，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，正确的对进行配方是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2018秋•越秀区期末）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是．【考点】：一元二次方程的定义【专题】34：方程思想【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：根据一元二次方程的定义可得：，解得：，故答案是：．【点评】此题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12．（3分）（2018秋•越秀区期末）已知点、、，以0为位似中心在第一象限内将放大为原来的2倍得到△，则点的对应点的坐标是．【考点】：位似变换；：坐标与图形性质【专题】：图形的相似【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，进而结合已知得出答案．【解答】解：点、、，以0为位似中心在第一象限内将放大为原来的2倍得到△，点的对应点的坐标为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．13．（3分）（2015•历城区一模）一个圆锥的母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积是（结果保留．【考点】：圆锥的计算【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．14．（3分）（2018秋•越秀区期末）如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上，则的度数是．【考点】：旋转的性质【专题】558：平移、旋转与对称【分析】先根据旋转的性质得，，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出【解答】解：是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点恰好在上，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．15．（3分）（2018秋•越秀区期末）如图，在中，，，，且的三边都与相切，则．【考点】：三角形的内切圆与内心【专题】：与圆有关的位置关系【分析】连接、、，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据切线长定理求出，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设与的三边的切点分别为、、，连接、、，则，，，，由勾股定理得，，，即，解得，，设，则，根据切线长定理得，，，则，，则，解得，，在中，，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握切线长定理、勾股定理是解题的关键．16．（3分）（2018秋•越秀区期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④；⑤若点，均在抛物线上，则，其中正确的判断是②③④（填写所有正确判断的序号）【考点】：二次函数图象与系数的关系；：二次函数图象上点的坐标特征【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：抛物线对称轴，经过，，，，，抛物线开口向上，，，，，故①错误；抛物线与轴有两个交点，，故②正确；抛物线与轴交于，，故③正确；，，，，故④正确；抛物线对称轴，与的函数值相等，，则；故⑤错误；故答案为：②③④．【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用数形结合思想．三、解答题（本大題共9小題，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（2018秋•越秀区期末）解方程：．【考点】：解一元二次方程因式分解法【分析】先把方程左边进行因式分解得到，然后解一元一次方程即可．【解答】解：，，或，，．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．18．（9分）（2018秋•越秀区期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．绕点逆时针旋转后得到△（1）画出旋转后的图形；（2）求线段在旋转过程中所扫过的图形面积．【考点】：扇形面积的计算；：作图旋转变换【专题】558：平移、旋转与对称；13：作图题；24：网格型【分析】（1）将点，分别绕点逆时针旋转后得到对应点，再与点首尾顺次连接即可得；（2）根据扇形的面积公式计算可得．【解答】解：（1）如图所示，△即为所求．（2），，线段在旋转过程中所扫过的图形面积为．【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质与扇形的面积公式是解答此题的关键．19．（10分）（2018秋•越秀区期末）放假期间，小明和小华准备到广州的白云山（记为、莲花山（记为、帽峰山（记为的其中一个景点去游览，他们各自在这三个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同（1）小明选择去白云山游览的概率是多少？（2）用树状图或列表的方法求小明和小华分别去不同景点游览的概率．【考点】：列表法与树状图法【专题】543：概率及其应用【分析】（1）直接利用概率公式求解可得．（2）先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果以及他们分别去不同景点游览的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）小明选择去白云山游览的概率是；（2）画树状图得：共有9种等可能的结果，小明和小华分别去不同景点游览的情况有6种结果，小明和小华分别去不同景点游览的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．20．（10分）（2018秋•越秀区期末）如图所示，，，点为线段上一动点（不与点、重合），分别过点、作、的垂线，两条垂线相交于点．（1）证明：；（2）设，，试求关于的函数关系式，并写出的取值范围．【考点】：函数自变量的取值范围；：相似三角形的判定与性质【专题】：图形的相似【分析】（1）由垂直的定义可得出，，利用三角形内角和定理、平角等于结合同角的余角相等可证出；（2）由（1）的结论结合，可证出，再利用相似三角形的性质即可得出关于的函数关系式．【解答】（1）证明：，，．，，，．（2）解：，，，，即，．点为线段上一动点（不与点、重合），．【点评】本题考查了垂线、三角形内角和定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角相等证出；（2）利用相似三角形的性质找出关于的函数关系式．21．（12分）（2018秋•越秀区期末）为鼓励市民节约用电，小亮家所在地区规定：每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这户居民这个月只需交15元电费；如果超过度，则这个月除了仍要交15元的电费以外，超过的部分还要按每度元交电费．已知小亮家1月份用电45度，交电费15元；2月份用电80度，交电费30元．（1）请直接写出小亮家2月份超过度部分的用电量（用含的代数式表示）；（2）求的值．【考点】：一元二次方程的应用【专题】523：一元二次方程及应用；34：方程思想【分析】（1）用即可得出结论；（2）根据2月份的电费超过度部分的用电量超出部分每度多交的钱数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：小亮家2月份超过度部分的用电量为度．（2）根据题意得：，整理得：，解得：，．又，舍去．答：的值为50．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．（12分）（2018秋•越秀区期末）如图，在中，，平分，交边于点．为边上一点，经过点、并且交于另一点．（1）作出并标出点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：直线是的切线；②若与交于点，且，，求的长．【考点】：作图复杂作图；：切线的判定与性质【专题】：与圆有关的位置关系；559：圆的有关概念及性质；13：作图题【分析】（1）作的中垂线，交于点，以点为圆心、为半径作圆即可得，交于点；（2）①连接，证，由得于点，据此即可得证；②作于点，可得四边形是矩形，据此知，由知，再根据垂径定理可得答案．【解答】解：（1）如图所示，与点即为所求．（2）①如图，连接，，，平分，，，，，，即，是上一点，直线是的切线；②过点作于点，则，四边形是矩形，，，，则，．【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定与中垂线的性质及切线的判定、垂径定理等知识点．23．（12分）（2018秋•越秀区期末）如图所示，抛物线经过、、三点，抛物线对称轴与轴交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点为对称轴上一点，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，若点恰好在该抛物线上，求线段的长．【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：坐标与图形变化旋转；：二次函数的性质；：待定系数法求二次函数解析式【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】（1）把、、代入即可得到结论；（2）根据对称轴方程得到，，则，由旋转的性质得到，，当点在轴的上面，得到，把点的坐标代入函数解析式解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把、、代入得，，解得：，该抛物线的解析式为：；（2），，点为对称轴上一点，设，则，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，，当点在轴的上面，，点恰好在该抛物线上，，解得：，（不合题意，舍去），当点在轴的下面，，点恰好在该抛物线上，，解得：，（不合题意舍去），线段的长为：或．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的作出图形是解题的关键．24．（14分）（2018秋•越秀区期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点（1）求该抛物线的解析式；（2）点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标；（3）若点为线段上一动点，试求的最小值．【考点】：二次函数综合题【专题】41：待定系数法；153：代数几何综合题；31：数形结合【分析】（1）把点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2），即：，即可求解；（3）当、、三点共线时，最小，即最小，即可求解．【解答】解：（1）把点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故该抛物线的解析式为：；（2）过点作轴的垂线，交轴于点，设：点的坐标为，，，即：，，解得：或1（舍去，故点的坐标为，；（3）过点作，交于点，则，，当、、三点共线时，最小，即最小，设：直线的表达式为：，将点坐标代入上式，，则，则直线的表达式为：，则点的坐标为，则，．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，（3）中，当、、三点共线时，最小，是本题的难点．25．（14分）（2018秋•越秀区期末）如图1所示，正方形的边长为2，点、分别为边、的中点．如图2所示，将绕点逆时针旋转，射线、相交于点．（1）求证：；（2）如图2，在旋转的过程中，若射线恰好通过的中点，求的长；（3）如图3，若将从图1的位置旋转至，试求点在旋转过程中的运动路线长．【考点】：四边形综合题【专题】152：几何综合题【分析】（1）由旋转得到，再根据正方形的性质得：，，由此可证明；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先根据勾股定理得：，利用面积法求的长，可得的长，证明，可得，可得结论；（3）先判断出在以圆心，为半径的圆上，并计算圆心角的度数，利用弧长公式计算即可．【解答】证明：（1）四边形是正方形，，，如图1，点、分别为边、的中点，，，，，，，；（2）如图2，过作于，是的中点，，由勾股定理得：，，，，由勾股定理得：，由（1）知：，，，，由（1）知：，，，，，，，，，；（3）连接，取中点，连接，，如图3，中，由勾股定理得：，，，，，在以圆心，以为半径的圆上，当时，，如图4，，，，，，，，点在旋转过程中的运动路线长为：．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解本题的关键是作出辅助线，第三问有难度，注意利用数形结合的思想．

考点卡片1．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．4．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．6．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．8．函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．9．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．10．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．12．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．14．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．15．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．16．四边形综合题四边形综合题．17．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．18．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．19．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．20．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．21．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．22．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．23．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转