2018-2019学年广东省江门市九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2018-2019学年广东省江门市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）：1．（3分）（2018秋•江门期末）一元二次方程可以化为A． B． C． D．2．（3分）（2018秋•江门期末）在反比例函数图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是A． B． C． D．3．（3分）（2018秋•江门期末）在一个不透明的盒子里有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则白球的个数是A．3 B．4 C．6 D．94．（3分）（2018秋•江门期末）如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是A． B． C． D．5．（3分）（2018秋•江门期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是A．开口向下 B．顶点坐标是 C．对称轴是 D．当时，有最大值是26．（3分）（2018秋•江门期末）如图，内接于，若，则的大小是A． B． C． D．7．（3分）（2018秋•江门期末）若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限是A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限8．（3分）（2018秋•江门期末）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是A． B．或 C． D．9．（3分）（2011•丽江模拟）如图，等腰绕点按顺时针旋转到△的位置，，在同一直线上），，如果，那么运动到所经过的图形面积是A． B． C． D．10．（3分）（2017•江阴市一模）股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天涨停，之后两天时间又跌回到原价．若这两天此股票股价的平均下降率为，则满足的方程是A． B． C． D．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）：11．（4分）（2018秋•江门期末）反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，则反比例函数的关系式是．12．（4分）（2018秋•江门期末）已知是方程的一个根，则的值为．13．（4分）（2018秋•江门期末）抛物线与轴的交点坐标是．14．（4分）（2018秋•江门期末）三名运动员参加投篮比赛，指定甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于人为指定出场顺序不合规，要重新抽签确定出场顺序，则抽签后三个运动员出场顺序都发生变化的概率是．15．（4分）（2018秋•江门期末）如图，函数与的图象交于、两点，过点作垂直于轴，垂足为，则的面积为．16．（4分）（2016•威海）如图，正方形内接于，其边长为4，则的内接正三角形的边长为．三、解答题（一）（本题共3小题，每小题6分，共18分）：17．（6分）（2018秋•江门期末）解方程：．18．（6分）（2018秋•江门期末）已知反比例函数和一次函数的图象只有一个公共点，求的值．19．（6分）（2018秋•江门期末）已知中，，．（1）求作：，使经过、两点，且圆心落在边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：是（1）中所作的切线．四、解答题（二）（本题共3小题，每小题7分，共21分）：20．（7分）（2018秋•江门期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．（1）当售价为13.5万元辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？21．（7分）（2018秋•东莞市期末）已知：点是正方形内一点，旋转后能与重合．（1）旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？（2）若，求的长．22．（7分）（2018秋•江门期末）已知二次函数．（1）用配方法将化成的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．五、解答题（三）（本题共3小题，每小题9分，共27分）：23．（9分）（2018秋•江门期末）为提高新会陈皮知名度，树立品牌意识，我区有关部门对、、、四个商家销售的礼盒装柑普茶共2000盒进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．（1）求抽查商家的柑普茶盒数，扇形统计图中商家对应的圆心角的度数；（2）抽查商家的柑普茶是多少盒？其中合格柑普茶是多少盒？，并将图1补充完整；（3）若要从、、、四个商家中，随机抽取两个商家代表新会参加广东省特色产品展销会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出、两个商家同时被选中的概率．24．（9分）（2019•阜宁县一模）如图，点为斜边上的一点，以为半径的与切于点，与交于点，连接．（1）求证：平分；（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留．25．（9分）（2018秋•江门期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点．与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与轴的交点的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．

2018-2019学年广东省江门市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）：1．（3分）（2018秋•江门期末）一元二次方程可以化为A． B． C． D．【考点】：解一元二次方程配方法【专题】523：一元二次方程及应用【分析】利用配方法把方程变形即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握完全平方公式是解题的关键．2．（3分）（2018秋•江门期末）在反比例函数图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】：反比例函数的性质【专题】534：反比例函数及其应用【分析】根据反比例函数的性质，可求的取值范围．【解答】解：反比例函数图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，，故选：．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．3．（3分）（2018秋•江门期末）在一个不透明的盒子里有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则白球的个数是A．3 B．4 C．6 D．9【考点】：概率公式【专题】543：概率及其应用【分析】设白球的个数是，根据概率公式和摸到红球的概率是，列出算式，求出的值即可得出答案．【解答】解：设白球的个数是，根据题意得：，解得：，答：白球的个数是6；故选：．【点评】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．4．（3分）（2018秋•江门期末）如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是A． B． C． D．【考点】：坐标与图形变化旋转【专题】31：数形结合【分析】利用旋转的性质，旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上，则作线段、、的垂直平分线，它们相点即为旋转中心．【解答】解：作线段、、的垂直平分线，它们相交于点，如图，所以是由绕着点逆时针旋转得到的．故选：．【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．解决本题的关键是利用旋转的性质确定旋转中心．5．（3分）（2018秋•江门期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是A．开口向下 B．顶点坐标是 C．对称轴是 D．当时，有最大值是2【考点】：二次函数的性质；：二次函数的最值；：二次函数的图象【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．【解答】解：，由知抛物线开口向上，选项错误；顶点坐标是，选项正确；对称轴是直线，选项错误；当时，取得最小值2，无最大值，选项错误；故选：．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．6．（3分）（2018秋•江门期末）如图，内接于，若，则的大小是A． B． C． D．【考点】：三角形的外接圆与外心【专题】559：圆的有关概念及性质【分析】连接，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答．【解答】解：连接，，，，由圆周角定理得，，故选：．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握等腰三角形的性质，圆周角定理是解题的关键．7．（3分）（2018秋•江门期末）若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限是A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【考点】：反比例函数的性质；：反比例函数的图象；：根的判别式【专题】534：反比例函数及其应用【分析】先根据一元二次方程无实数根判断出的取值范围，再判断出的符号进而可得出结论．【解答】解：一元二次方程无实数根，△，解得，，反比例函数的图象所在的象限是第二、四象限．故选：．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根的判别式，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．8．（3分）（2018秋•江门期末）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是A． B．或 C． D．【考点】：二次函数与不等式（组【专题】31：数形结合【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的的取值范围即可．【解答】解：由图可知，时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足的的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．9．（3分）（2011•丽江模拟）如图，等腰绕点按顺时针旋转到△的位置，，在同一直线上），，如果，那么运动到所经过的图形面积是A． B． C． D．【考点】：等腰直角三角形；：扇形面积的计算；：旋转的性质【专题】16：压轴题【分析】利用勾股定理易得的长度，旋转角为，为，扇形面积公式为：，代入求值即可．【解答】解：运动到所经过的图形面积是一个扇形，根据扇形面积公式可得，故选．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算公式．10．（3分）（2017•江阴市一模）股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天涨停，之后两天时间又跌回到原价．若这两天此股票股价的平均下降率为，则满足的方程是A． B． C． D．【考点】：由实际问题抽象出一元二次方程【分析】股票一次涨停就涨到原来价格的，再从的基础下降到原来的价格，所以至少要经过两天的下降才可以．设平均每天下降率为，每天相对于前一天就下降到．【解答】解：设平均每天下降率为．则，即，故选：．【点评】此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格下降后是原来价格的倍．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）：11．（4分）（2018秋•江门期末）反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，则反比例函数的关系式是．【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】532：函数及其图象【分析】把点代入正比例函数得到关于的一元一次方程，解之求得的值，把的坐标代入反比例函数，得到关于的一元一次方程，解之，求得的值，代入即可得到答案．【解答】解：把点代入正比例函数得：，解得：，把点代入反比例函数得：，解得：，即反比例函数得关系式是，故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，正确掌握代入法是解题的关键．12．（4分）（2018秋•江门期末）已知是方程的一个根，则的值为11．【考点】：一元二次方程的解【专题】523：一元二次方程及应用【分析】先根据一元二次方程的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：是方程的一个根，，，．故答案为11．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．（4分）（2018秋•江门期末）抛物线与轴的交点坐标是，．【考点】：抛物线与轴的交点【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】通过解方程得抛物线与轴的交点坐标．【解答】解：当时，，解得，，所以抛物线与轴的交点坐标为，．故答案为，．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．14．（4分）（2018秋•江门期末）三名运动员参加投篮比赛，指定甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于人为指定出场顺序不合规，要重新抽签确定出场顺序，则抽签后三个运动员出场顺序都发生变化的概率是．【考点】：列表法与树状图法【专题】543：概率及其应用【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．15．（4分）（2018秋•江门期末）如图，函数与的图象交于、两点，过点作垂直于轴，垂足为，则的面积为16．【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】534：反比例函数及其应用；533：一次函数及其应用【分析】把函数和联立，解之即可得到点和点的坐标，从而得到线段，线段和点到轴的距离，分别求出和的面积，根据，即可得到答案．【解答】解：根据题意得：，解得：，，即，，即线段的长度为4，线段的距离为4，点到轴的距离为4，，，，故答案为：16．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握两个函数联立求交点坐标是解题的关键．16．（4分）（2016•威海）如图，正方形内接于，其边长为4，则的内接正三角形的边长为．【考点】：正多边形和圆【分析】连接、、，作于，先求出圆的半径，在中利用30度角的性质即可解决问题．【解答】解；连接、、，作于，四边形是正方形，，，是直径，，，，，是等边三角形，，在中，，，，，．故答案为．【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（一）（本题共3小题，每小题6分，共18分）：17．（6分）（2018秋•江门期末）解方程：．【考点】：解一元二次方程公式法【专题】523：一元二次方程及应用【分析】先整理成一般式，求出的值，判断方程无实数根．【解答】解：，整理得：，，，，，原方程无实数根．【点评】本题主要考查解一元二次方程公式法，熟练掌握公式法是解题的关键．18．（6分）（2018秋•江门期末）已知反比例函数和一次函数的图象只有一个公共点，求的值．【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】534：反比例函数及其应用；533：一次函数及其应用【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题，两函数的交点坐标满足方程组，接着消去得到关于的一元二次方程，由于只有一个交点，则关于的一元二次方程有两个相等的实数根，于是根据根的判别式的意义得到△，然后解一元一次方程即可．【解答】解：把方程组消去得到，整理得，根据题意得△，解得，即当时，反比例函数和一次函数的图象只有一个公共点．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．19．（6分）（2018秋•江门期末）已知中，，．（1）求作：，使经过、两点，且圆心落在边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：是（1）中所作的切线．【考点】：切线的判定；：作图复杂作图【专题】1：常规题型【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法结合圆的性质得出答案；（2）利用切线的判定方法得出答案．【解答】（1）解：如图所示，就是所要求作的圆．（2）证明：连接．，，．．是（1）中所作的切线．【点评】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．四、解答题（二）（本题共3小题，每小题7分，共21分）：20．（7分）（2018秋•江门期末）汽车专卖店销售某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为10万元辆，销售一段时间后发现：当该型号汽车售价定为15万元辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出2辆．（1）当售价为13.5万元辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划下调售价，增大销量，但要确保平均每周的销售利润为40万元，每辆汽车的售价定为多少合适？【考点】：一元二次方程的应用【专题】523：一元二次方程及应用【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为15万元辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为13.5万元辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润一辆汽车的利润销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价万元，根据每辆的盈利销售的辆数万元，列方程求出的值，进而得到每辆汽车的售价．【解答】解：（1）售价为13.5万元辆时，平均每周销量为：（辆所以平均每周利润为：（万元），答：平均每周的销售利润是42.5万元；（2）设每辆汽车的售价是万元，．化简，得，解得：，，由于希望增大销量，定价12万元售价更合适答：每辆汽车的售价定为12万元更合适．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利销售的辆数万元是解决问题的关键．21．（7分）（2018秋•东莞市期末）已知：点是正方形内一点，旋转后能与重合．（1）旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？（2）若，求的长．【考点】：勾股定理；：正方形的性质；：旋转的性质【专题】11：计算题【分析】（1）根据正方形的性质得，，然后根据旋转的性质求解；（2）根据旋转的性质得，，然后根据等腰直角三角形的性质求解．【解答】解：（1）四边形为正方形，，，旋转后能与重合，旋转的旋转中心是点，按顺时针方向旋转；（2）旋转后能与重合，，，．答：（1）旋转的旋转中心是点，按顺时针方向旋转；（2）为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．22．（7分）（2018秋•江门期末）已知二次函数．（1）用配方法将化成的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．【考点】：二次函数的图象；：二次函数的三种形式【专题】53：函数及其图象【分析】（1）利用配方法易得，则抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，，是常数，；顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为；交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，，，．也考查了二次函数图象与性质．五、解答题（三）（本题共3小题，每小题9分，共27分）：23．（9分）（2018秋•江门期末）为提高新会陈皮知名度，树立品牌意识，我区有关部门对、、、四个商家销售的礼盒装柑普茶共2000盒进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．（1）求抽查商家的柑普茶盒数，扇形统计图中商家对应的圆心角的度数；（2）抽查商家的柑普茶是多少盒？其中合格柑普茶是多少盒？，并将图1补充完整；（3）若要从、、、四个商家中，随机抽取两个商家代表新会参加广东省特色产品展销会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出、两个商家同时被选中的概率．【考点】：全面调查与抽样调查；：条形统计图；：列表法与树状图法；：扇形统计图【专题】543：概率及其应用【分析】（1）利用扇形统计图得到商家的柑普茶比例，然后把商家的柑普茶比例乘以2000可得到抽查商家的柑普茶盒数；把商家的柑普茶比例乘以得到扇形统计图中商家对应的圆心角的度数；（2）用2000乘以商家的柑普茶比例得到抽查商家的柑普茶的盒数，然后用抽查商家的柑普茶的盒数乘以厂家的合格率得到商家合格柑普茶的盒数，作后补全图象统计图；（3）画树形图展示所有12种等可能的结果数，找出同时选中、的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）商家的柑普茶比例，所以商的柑普茶盒数盒；商家对应的圆心角为；（2）抽查商家的柑普茶盒数（盒，其中商家的合格柑普茶盒数（盒；图1补充完整如下：（3）画树形图如下：共有12种等可能的结果数，其中同时选中、的有2种所以同时选中、的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．24．（9分）（2019•阜宁县一模）如图，点为斜边上的一点，以为半径的与切于点，与交于点，连接．（1）求证：平分；（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留．【考点】：切线的性质；：扇形面积的计算【专题】14：证明题【分析】（1）由中，，切于，易证得，继而证得平分．（2）如图，连接，根据（1）中和菱形的判定与性质得到四边形是菱形，则，则图中阴影部分的面积扇形的面积．【解答】（1）证明：切于，，，，，，，，即平分；（2）设与交于点，连接．，，是等边三角形，，，，又由（1）知，即，四边形是菱形，则，，，．【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．25．（9分）（2018秋•江门期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点．与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与轴的交点的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式，并求出的最大值．【考点】：二次函数综合题【专题】151：代数综合题；537：函数的综合应用【分析】（1）将点与点坐标代入可得关于，的方程组，解之可得；（2）求出时的值可得点的坐标，将解析式配方成顶点式可得其顶点坐标；（3）连接，由得出关于的函数解析式，配方成顶点式即可知其面积最大值．【解答】解：（1）将，两点代入函数解析式，得，解得：，所以此函数解析式为．（2）令，得，抛物线与轴的交点坐标是，，抛物线的顶点坐标是；（3）如图，连接，点的横坐标为，点在这条抛物线上，点的坐标为，，，当时，有最大值为4．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及割补法求三角形的面积等知识点．

考点卡片1．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．2．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3．解一元二次方程-公式法（1）把x＝﹣b±b2﹣4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．4．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．6．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．7．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．8．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．9．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．10．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．11．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．12．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．13．二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．14．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．15．二次函数与不等式（组）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．16．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．17．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．18．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．19．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．20．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．21．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．22．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．23．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．24．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，