递推数列的特征方程法的创新机制

第第页递推数列的特征方程法的创新机制数列问题在高考中有着非常重要的地位,其中数列求通项公式,通常作为各省市的高考压轴题出现。而递推数列的通项公式求解,往往令师生最为头疼。那么,什么是递推数列,包含哪些类型.一般而言,数列求通项公式,都有哪些方法策略?下面,我对这几方面做些研究、探索不足之处,敬请同行批评指正。

一、递推数列的分类

递推数列,顾名思义是指可以通过递推找出其规律的数列。用通俗的一句话来解释“递推”就是:知道他的过去,就知道他的现在.知道他的过去和现在,就知道他的将来。

根据递推式不同,一般可将递推数列分为以下4类:

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二、递推数列的特征方程法引理

(一)一阶线性递推数列

引理1.已知数列{an}满足a1=b,an+1=pan+q(p≠0且p≠1,p,q是常数),称方程x=px+q为数列{an}的特征方程,设特征方程的根为x0,则①当x0=a1时,数列{an}为常数列;②当x0≠a1时,数列{an-x0}是以p(p≠0)为公比的等比数列.

简证:设特征方程x=px+q,得根为x0=■,

又an+1=pan+q(1)x0=px0+q(2),由(1)-(2)得,an+1-x0=p(an-x0),

若a1=x0=■,则a1=a2=a3=……=an=■,即数列{an}为常数列;

若a1≠x0,则■=■=p(非零常数),即数列{an-x0}是以p为公比的等比数列,证毕。

(二)二阶线性递推数列

引理2.已知数列{an}满足an+2=pan+1+qan(p≠1,p,q是常数),a1=a,a2=b,称方程x2=px+q为数列{an}的特征方程,设特征方程的根为x1,x2。则①当x1≠x2时,数列{an}的通项为an=c1x1n+c2x2n,其中c1,c2由初始值决定;②当x1=x2时,数列{an}的通项为an=(c1+c2n)x1n,其中c1,c2由初始值决定。

简证:设特征方程x2=px+q有两个根为x1,x2,则

x1+x2=px1·x2=-q,故由an+2=pan+1+qan得,an+2=(x1+x2)an+1-(x1·x2)an,

即an+2-x1an+1=x2(an+1-x1an)。所以,an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)

利用迭代得:

an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)所以an-x1an-1=x2n-2(a2-x1a1)

=x22(an-2-x1an-3)■=■

=……

=x2n-2(a2-x1a1)即■-■=■(a2-x1a1)

再次利用迭代得:

■=■+■(a2-x1a1)

=■+■(a2-x1a1)+■(a2-x1a1)

=……

=■+(a2-x1a1)(■+■+■+……+■)

若x1≠x2,则■=■+(a2-x1a1)■

整理得,an=■x1n+■x2n

设c1=■,c2=■,则an=c1x1n+c2x2n。

若x1=x2,则由■=■+(a2-x1a1)(■+■+■+……+■)得,

an=[(■+x1a1-a2)+(a2-x1a1)n]x1n

设c1=■+x1a1-a2,c2=a2-x1a1,an=(c1+c2n)x1n,证毕。

(三)一次分式递推数列

引理3.已知数列{an}满足an+1=■(p,q,r,h∈R,且ph≠qr,r≠0,a1≠-■),则称方程x=■为数列{an}的特征方程,设特征方程的根为x1,x2。则①当x1≠x2且x1≠a1时,则数列{■}为等比数列.②当x1=x2时,若a1=x1,则数列{an}为常数列;若a1≠x1,则数列{■}为等差数列。

简证:设特征方程x=■有两个根为x1,x2,

特征方程整理为rx2+(h-p)x-q=0,故x1+x2=■x1x2=-■

当x1≠x2且x1≠a1时,不妨设■=k■(其中k为待定系数)

由■=k■,解得:an+1=■

与an+1=■比较可得:

x1-kx2=p,(k-1)x1x2=q,1-k=r,kx1-x2=h

上面四个等式再结合x1+x2=■x1x2=-■进行验证,得出结论是正确的。

所以■=k■是存在的,并且k=1-r。

所以,当x1≠x2且x1≠a1时,则数列{■}为等比数列得证。

同理易证当x1=x2时,若a1=x1,则数列{an}为常数列;

若a1≠x1,则数列{■}为等差数列.

(四)二元一阶线性递推数列

引理4.已知数列{an},{bn}满足an+1=pan+qbnbn+1=ran+hbn,则数列{an},{bn}的通项公式求解,可转化为二阶线性递推数列来进行通项公式的求解。

简证:由于an+2=pan+1+qbn+1

=pan+1+q(ran+hbn)

=pan+1+q(ran+h■)

=(p+h)an+1+(qr-hp)an

同理,bn+2=(p+h)bn+1+(qr-hp)bn

所以,二元一阶线性递推数列可转化为二阶线性递推数列解决。

三、递推数列在高考中的考查

递推数列综合性试题,频繁出现在高考压轴题的位置。譬如下面几道数列高考题,可用特征方程解答:

题目1.(2008年广东文)设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=■(an-1+2an-2)(n=3,4,…)。数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)[第一论文网提供论文代写和代写论文的服务,欢迎光临]记cn=nanbn(b=1,2,…),求数列{cn}的前n项和Sn。

解:(1)问中,二阶线性递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x2-■x-■=0,解得特征根x1=1,x2=-■,

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

题目2.(2009年陕西文)已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2=■,n∈N*。

(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式。

解:(2)问中,二阶线性递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x2=■,

解得特征根x1=1,x2=-■

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

题目3.(2008年陕西理)已知数列{an}的首项a1=■,an+1=■,n=1,2,…。

(1)求{an}的通项公式;

(2)证明:对任意的x>0,an≥■-■(■-x),n=1,2,…;

(3)证明:a1+a2+…+an>■。

解:(1)问中,一次分式递推数列{an}通项公式的求解:

数列{an}的特征方程为x=■,

解得特征根x1=1,x2=0,

所以数列{■}为等比数列。

再由a1=■,a2=■解得:等比数列{■}的首项是-■,公比是■,

所以■=-■·■,从而解出an=■。

题目4.(2009年江西理)各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q,都有■=■。

(1)当a=■,b=■时,求通项an;

(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数a,都有■≤an≤λ。

解:(1)由■=■得

■=■将a1=■,a2=■代入化简得an=■。

所以数列{an}为一次分式递推数列,

其特征方程为x=■,

求解出特征根是x1=1,x2=-1,

故数列{■}为等比数列。

再由a1=■,a2=■,得等比数列{■}的首项是-■,公比是■,

所以■=-■·■=-(■)n,从而解出an=■。

通过上面4个高考题目,可以看出,特征方程法用于求解递推数列的通项公式非常简便。不论什么样基础的学生,也完全可以用该方法解决高考中相对较难的递推数列压轴题.若能结合实际情况,有选择地教会学生使用特征方程法,解决相关数列问题,一定能使学生获益匪浅,决胜高考。

四、数列求通项公式之想法

关于数列求通项公式的方法、策略,在各类数学教育杂志上层出不穷.笔者整理,归纳主要有如下几种类型及应对的策略:

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关于如何求解数列求通项公式问题,并不能穷尽所有方法。高三复习也不应该采取题海战术来应对高考,否则事倍功半.万变不离其宗,还是应引导学生回归概念。教材当中只介绍了等差数列(an+1-an=d)和等比数列(■=q)两种常规数列,那么为什么没介绍其他方法来求解非常规数列问题呢?其实,条件满足形如an+1-an=f(n)的数列不就是等差数列的广义形式吗?而■=f(n)亦是等比数列的