2021版高考数学二轮复习专题限时集训11圆锥曲线中的综合问题文2020135

PAGE更多资料关注公众号：高考数学（ID:gksx100）专题限时集训(十一)圆锥曲线中的综合问题(建议用时：40分钟)1．(2019·西安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，x轴上方的点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝eq\f(5,2)，直线l与抛物线E交于M，N两点(点M，N与A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2.(1)求抛物线E的方程；(2)当k1＋k2＝2时，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2)，得p＝1，所以，抛物线E的方程为y2＝2x.(2)证明：如图所示，易知直线l的斜率存在且不等于零，设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l与抛物线E的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2x，))得k2x2＋(2kb－2)x＋b2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝eq\f(2－2kb,k2)，x1x2＝eq\f(b2,k2)，k1＋k2＝eq\f(y1－2,x1－2)＋eq\f(y2－2,x2－2)＝eq\f(kx1＋b－2x2－2＋kx2＋b－2x1－2,x1－2x2－2)＝eq\f(2k·\f(b2,k2)＋b－2k－2·\f(2－2kb,k2)＋8－4b,\f(b2,k2)－2·\f(2－2kb,k2)＋4)＝eq\f(2kb2＋b－2k－22－2kb＋8－4bk2,b2－22－2kb＋4k2)＝2，化简得出(b＋1)(b＋2k－2)＝0，∴b＝－1或b＝2－2k.当b＝－1时，y＝kx－1，过定点(0，－1)；当b＝2－2k时，y＝kx＋2－2k＝k(x－2)＋2，过定点(2,2)，舍去，故直线l恒过定点(0，－1)．2．(2019·马鞍山二模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆C上且MF垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上的动点，直线PM与x＝4交于点N，求证：点N到直线PF的距离为定值，并求出这个定值．[解](1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明：设点P的坐标为(x0，y0)，由Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，可得直线PM的方程为y－eq\f(3,2)＝eq\f(y0－\f(3,2),x0－1)(x－1)，将x＝4，代入可得y＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(3,2))),x0－1)＋eq\f(3,2)，故点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(3,2))),x0－1)＋\f(3,2)))，∵F(1,0)，∴直线PF的方程为y＝eq\f(y0,x0－1)(x－1)，即y0x＋(1－x0)y－y0＝0.∴点N到直线PF的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4y0＋1－x0·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(3,2))),x0－1)＋\f(3,2)))－y0)),\r(y\o\al(2,0)＋1－x02))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(3,2)x0)),\r(3－\f(3,4)x\o\al(2,0)＋1－2x0＋x\o\al(2,0)))＝eq\f(\f(3,2)|4－x0|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x0－2))2))＝eq\f(\f(3,2)|4－x0|,\f(1,2)|x0－4|)＝3，故N到直线PF的距离为定值，定值为3.3．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．[解](1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2).又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2).当b＝4，a≥4eq\r(2)时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4eq\r(2)，＋∞)．4．已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．(1)求椭圆M的方程；(2)[一题多解]记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．[解](1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，又b＝eq\r(3)，所以a＝2，所以椭圆M的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＞0恒成立，且x1＋x2＝－eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2).此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝eq\f(12|k|,3＋4k2)＝eq\f(12,\f(3,|k|)＋4|k|)≤eq\f(12,2\r(12))＝eq\r(3)(当且仅当k＝±eq\f(\r(3),2)时，取等号)，所以|S1－S2|的最大值为eq\r(3).法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ＞0恒成立，且y1＋y2＝eq