1.3.2等比数列的前n项和(-北师大版必修五)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

了解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程．能应用前n项和公式处理等比数列相关问题．3.2等比数列前n项和【课标要求】【关键扫描】等比数列前n项和公式及利用．(重点)错位相减法求数列和．(重点、难点)

1．2．1．2．第1页等比数列前n项和公式自学导引已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选取公式1．第2页等比数列前n项和性质(1)项个数“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；(2)数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍组成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．(3)若{an}是公比为q等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qn·Sm.想一想：若一个数列是等比数列，它前n项和写成Sn＝Aqn＋B(q≠1)，则A与B有何关系？2.第3页(2)错位相减法适合求数列{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)前n项和．(3)利用错位相减法求和步骤①作和：Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn②乘公比：qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1③相减：(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1④化简：把相减后所得结果进行化简名师点睛第4页函数观点下等比数列前n项和公式(1)若数列{an}是非常数列等比数列，则其前n项和公式为：Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)．(3)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…图像是函数y＝－Aqx＋A图像上一群孤立点；当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…图像是正百分比函数y＝a1x图像上一群孤立点．

2．第5页题型一等比数列前n项和公式应用[思绪探索]先判定公比q是否能等于1，然后直接用a1和q表示S3，S6，列方程组求解．【例1】第6页规律方法在等比数列{an}五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本元素，当条件与结论间联络不显著时，均能够用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经惯用到两式相除到达整体消元目标．这是方程思想与整体思想在数列中详细应用．第7页

在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和q.【训练1】第8页第9页在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30.[思绪探索]本题解题基本方法是用方程思想列式求解，还可用等比数列前n项和性质求解．解

法一设公比为q，∵S10＝10，S20＝30≠20，【例2】题型二

等比数列前n项和性质应用第10页法二∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20＝a1q10＋a2q10＋…＋a10q10＝q10S10.S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30＝a1q20＋a2q20＋…＋a10q20＝q20S10.∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，公比为q10.∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，∵S10＝10，S20＝30.∴(30－10)2＝10(S30－30)，∴S30＝70.第11页规律方法等比数列前n项和相关性质应用(1)等比数列{an}前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．第12页

已知数列{an}是等比数列，(1)若Sn＝49，S2n＝112，求S3n；(2)若S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20.解

(1)由性质1可得Sn(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2，∴49(S3n－112)＝632，解得S3n＝193.(2)∵S4，S8－S4，S12－S8，…组成等比数列，【训练2】第13页(本题满分12分)求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.审题指导普通地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{anbn}前n项和时，可采取错位相减法．【解题流程】【例3】题型三

用错位相减法求数列和第14页(3)当x≠0且x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn①xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1②①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1第15页

求数列{(2n－1)an－1}(a≠0)前n项和．解当a＝1时，数列变成1,3,5,7，…，(2n－1)，…【训练3】当a≠1时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an.第16页第17页在等比数列{