2019高三数学微难点-函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）

/函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）目标和要求：1.掌握分段函数的单调性中易错点2.熟练运用函数单调性和对称性解不等式3.熟识函数的对称性与周期性抽象表达，掌握对称性与周期的应用一、课前预习1.已知函数对任意实数都满足，若，则设计意图：熟悉周期函数定义的变式解析：函数周期为，所以又令结论：满足2.函数在上单调，则实数的取值范围是_________.设计意图：巩固分段函数的单调性的易错点解析：分段函数在整个定义上单调，必须满足每段都是单调递增，且在分段点的左到右的图像也要单调递增。分两类，（1）函数单增，故得（2）函数单减，，得a无解；综上3.已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是__________设计意图：分段函数的单调性注意点，，使得所表达的含义解析：，使得，要求函数不能为单调函数（1）当对称轴时，抛物线在上不单调，所以此时直线的单调性可以不考虑，故（2）当对称轴时，抛物线在上单增，所以以此时直线在分段点处必须有，得以综上，二、典型例题例1．设是奇函数，则使的的取值范围____________.设计意图：利用奇函数处理函数中的参数的三种常见方法以及注意点解析：利用奇函数的定义待定系数得点评：此题学生可能利用，这必须在0有定义的前提下才能使用。但此题可以简化利用奇函数定义域关于原点对称，即得到关于原点对称的解集，即分子的零点为-1，可得变式1：若函数是奇函数，则_________．解析：观察函数定义域为R,变式2：已知函数若不等式恒成立，则的取值范围为____________解析：为奇函数，单调递增，也是单调递增，故单调递增，恒成立，即为恒成立，利用此题，让学生熟悉几个常见的复合函数为奇函数的模型，如：例2.定义在R上的函数f(x)满足则f(2018)＝_______.设计意图：分段函数与周期性的函数值的转化，对称性与周期性的转化解析：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，f(2016)＝f(336×6+2)＝f(2)，f(2)=f(1)-f(0)，f(1)=f(0)-f(-1),所以变式2：已知奇函数的图像关于直线对称，当时，则解析：由的图像关于直线对称，可以推出又为奇函数，可得，进而得到，可以推出周期为8，所以总结：函数既有对称轴，又有对称中心，则函数必为周期函数思考：若周期函数有对称轴，能导出它有对称中心吗？例3.已知满足，且在上单调递增，求解不等式设计意图：利用函数的单调性和对称性解不等式关键是画出符合题意的函数图像，利用函数图像解不等式解析：由可以得到函数对称中心为（3,0）,画出符合题意的函数简图（1）36得（2）得综上，变式3：若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.如果实数t满足f(lnt)+f≤2f(1),那么t的取值范围是.解析：f(lnt)+f=f(lnt)+f(-lnt)=2f(lnt),于是f(lnt)+f≤2f(1)f(lnt)≤f(1)|lnt|≤1-1≤lnt≤1≤t≤e.三、课后练习：1.已知，如果函数图象上任意两点A、B，直线AB都不与x轴平行，则实数a的取值范围为_____________解析：函数图象上任意两点A、B，直线AB都不与x轴平行，即为函数是单调的。（1），函数是一次函数，肯定单调；（2）,函数是二次函数，只要对称轴不在[-1,1]内，得综上，2.函数在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当时，，设，则的大小关系为____________．解析：依题意得，当时，，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<eq\f(1,2)<1，因此有，即有3.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.解析：为奇函数，即为画出符合题意的函数图像，利用图像解不等式，分类讨论。（1）综上4.已知是定义在R上的奇函数，满足，若则解析：由为奇函数，函数图像关于原点对称，由得函数图像关于对称，可得函数的周期为5（选做）：已知函数f(x)在(−1,1)上有定义,f(eq\f(1,2))=−1,当且仅当0<x<1时,f(x)<0.当x,y