2019年江西省九江市初中卓越联盟中考数学二模试卷

第1页（共1页）2019年江西省九江市初中卓越联盟中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项1．（3分）﹣的相反数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）求557600000用科学记数法表示正确的是（）A．5.576×108 B．5.576×107 C．55.76×108 D．5.576×1093．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）将一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y＝2x﹣5 B．y＝2x+5 C．y＝2x+8 D．y＝2x﹣85．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为（）A．115° B．120° C．130° D．140°6．（3分）如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN以上结论中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）7．（3分）不等式5x﹣2≤7x+1的负整数解为．8．（3分）若|2a﹣b﹣4|+＝0，则（b﹣a）2019＝．9．（3分）已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两实数根，则代数式（α﹣2）（β﹣2）＝10．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是．11．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长是10，点O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形一条对角线长为12，则图中阴影部分的面积为．12．（3分）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1（x1，0）和A2（x2，0），第二个抛物线与x轴交点A2（x2，0）和A3（x3，0），以此类推，若x1＝d（0＜d＜1），当d为时，这组抛物线中存在直角抛物线．三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：75×（﹣）2﹣48÷24﹣（﹣2）0（2）如图，点E在AB上，∠CEB＝∠B，∠1＝∠2＝∠3，求证：CD＝CA．14．（6分）先化简，再求值：x﹣（4x+5xy﹣y2）+2（x﹣xy﹣y2），其中x＝2，y＝．15．（6分）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．16．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．17．（6分）如图，在菱形ABCD中，对称中心是坐标原点O，已知A（﹣8，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣6，1）、F两点．（1）求k的值以及点F的坐标；（2）写出函数y＝（k≠0）图象在菱形ABCD内x的取值范围．四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18．（8分）现在的社会是一个高速发展的社会，科技发达，信息流通，人们之间的交流越来越密切，生活也越来越方便，大数据就是这个高科技时代的产物，为创建大数据应用示范城市，九江市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次参与调查的人数是多少？（2）关注城市医疗信息的有多少人？并补全条形统计图；（3）扇形统计图中，D部分的圆心角的度数是多少？19．（8分）将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入，图2是它的平面示意图，请根据图中的信息解答下列问题：（1）填空：AP＝cm，PF＝cm．（2）求出容器中牛奶的高度CF．20．（8分）已知，在Rt△ABC中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E点，点G为BD的中点．（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若＝，GE＝6，求AD的长．五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）21．（9分）去年王小宁在“京东”注册了网店销售某种工艺品，该工艺品的成本为每件40元，通过一年的运营，她发现每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，并且当x＝60时，y＝300；当x＝75时，y＝150．（1）求y与x的函数关系式；（2）今年该工艺品的生产厂家告知王小宁：若每月的销售量低于300件，将不再发货给她，如果王小宁想继续销售该工艺品，她将如何定价，才能确保每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）在过去的一年中，王小宁热心公益事业，每月都捐出250元给希望工程，捐款后每月的剩余利润仍然不低于5000元，请确定王小宁制定的销售单价的范围．22．（9分）在数学活动中，小明发现将两块不同的等腰直角三角板进行旋转，能得到一组结论：在其中一块三角板Rt△ABC，AB＝BC＝4，∠B为直角，将另一块等腰直角三角板的直角项点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于E、F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，求出CF；若不能，请说明理由；（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图②加以证明；（3）若将三角板的直角原点放在斜边上的点P处（如图③），当＝，PF和PE有怎样的数量关系，证明你发现的结论．六、解答题（本大题共1个小题，共12分）23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+m与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A（n，0）和点B（﹣2，﹣5），与y轴交于点C．（1）求出直线和抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，恰好可以使得点C落在直线上，并且点A落在抛物线上，点A、C对应的点分别为M、N，求此时点M的坐标（M点在第四象限）；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使的△PMC面积与△AMC面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年江西省九江市初中卓越联盟中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项1．（3分）﹣的相反数是（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据相反数的概念即可解答．【解答】解：的相反数是．故选：D．【点评】此题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．2．（3分）求557600000用科学记数法表示正确的是（）A．5.576×108 B．5.576×107 C．55.76×108 D．5.576×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：557600000＝5.576×108，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据组合体的形状即可求出答案．【解答】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形，故选：C．【点评】本题考查三视图，解题的关键是根据组合体的形状进行判断，本题属于基础题型．4．（3分）将一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y＝2x﹣5 B．y＝2x+5 C．y＝2x+8 D．y＝2x﹣8【分析】根据函数图象上加下减，可得答案．【解答】解：由题意，得y＝2x﹣3+8，即y＝2x+5，故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键．5．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为（）A．115° B．120° C．130° D．140°【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB'＝50°，进而解答即可．【解答】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE＝∠EFB'，∠B'＝∠B＝90°，∵∠2＝40°，∴∠CFB'＝50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'＝180°，即∠1+∠1﹣50°＝180°，解得：∠1＝115°，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．6．（3分）如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN以上结论中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，由已知条件得到∠EAH＝∠EAF＝45°，根据全等三角形的性质得到EH＝EF，所以∠ANM＝∠AEB，则可求得②正确；根据三角形的外角的性质得到①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；根据相似三角形的性质得到∠AEN＝∠ABD＝45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，再根据相似三角形的性质得到，于是得到S△AEF＝2S△AMN．故④正确．【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF∵∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠EAF＝45°在△AEF和△AEH中∴△AEF≌△AEH（SAS）∴EH＝EF∴∠AEB＝∠AEF∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故②正确∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH∴∠ANM＝∠AEB∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；故①正确，∵AC⊥BD∴∠AOM＝∠ADF＝90°∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO∴△OAM∽△DAF故③正确连接NE，∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME∴△AMN∽△BME∴∴∵∠AMB＝∠EMN∴△AMB∽△NME∴∠AEN＝∠ABD＝45°∵∠EAN＝45°∴∠NAE＝NEA＝45°∴△AEN是等腰直角三角形∴AE＝∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME∴△AMN∽△AFE∴∴∴∴S△AFE＝2S△AMN故④正确故选：D．【点评】此题考查相似三角形全等三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定定理是解决此类题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）7．（3分）不等式5x﹣2≤7x+1的负整数解为x＝﹣1．【分析】移项；合并同类项；化系数为1，依此求出不等式的解，再写出它的负整数解即可．【解答】解：5x﹣2≤7x+1，5x﹣7x≤1+2，﹣2x≤3，x≥﹣1.5，故不等式5x﹣2≤7x+1的负整数解为x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．8．（3分）若|2a﹣b﹣4|+＝0，则（b﹣a）2019＝﹣1．【分析】根据非负数的性质得出a、b的方程组，解之可得a、b的值，代入求值即可得．【解答】解：∵|2a﹣b﹣4|+＝0，∴，解得：，∴（b﹣a）2019＝（2﹣3）2019＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查解二元一次方程组和非负数的性质，根据题意得出方程组是解题的关键．9．（3分）已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两实数根，则代数式（α﹣2）（β﹣2）＝﹣5【分析】先根据根与系数的关系得到α+β＝4，αβ＝﹣1，再把（α﹣2）（β﹣2）展开整理为αβ﹣2（α+β）+4，然后利用整体思想进行计算即可．【解答】解：根据题意得α+β＝4，αβ＝﹣1，所以原式＝αβ﹣2（α+β）+4＝﹣1﹣2×4+4＝﹣1﹣8+4＝﹣5．故答案为﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．10．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是．【分析】连接CH，证明Rt△CDH≌Rt△CFH（HL），可得∠DCH＝∠FCH＝30°，在Rt△CDH中，CD＝4，根据HD＝CD•tan30°即可得出DH的长．【解答】解：如图，连接CH，∵边长为4的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，∴∠F＝∠D＝90°，∠BCD＝90°，∠BCF＝30°，∴∠FCD＝60°，∵CF＝CD，CH＝CH，∴Rt△CDH≌Rt△CFH（HL），∴∠DCH＝∠FCH＝30°，∴HD＝CD•tan30°＝．故答案为：．【点评】本题考查正方形的旋转，三角形全等的判定和性质，解直角三角形的知识．解题的关键是掌握图形旋转的性质．11．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长是10，点O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形一条对角线长为12，则图中阴影部分的面积为48．【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．【解答】解：∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，∵菱形ABCD的边长是10，菱形一条对角线长为12，∴可得菱形的另一对角线长为：16，∴阴影部分的面积＝S菱形ABCD＝××12×16＝48．故答案为：48．【点评】本题考查了菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．12．（3分）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1（x1，0）和A2（x2，0），第二个抛物线与x轴交点A2（x2，0）和A3（x3，0），以此类推，若x1＝d（0＜d＜1），当d为或或时，这组抛物线中存在直角抛物线．【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1．【解答】解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；当x＝1时，，当x＝2时，＜1，当x＝3时，＜1，当x＝4时，，∴直角抛物线的顶点只有B1、B2‘B3．①若B1为顶点，由，则；②若B2为顶点，由，则；③若B3为顶点，由，则1﹣1﹣；综上所述，d的值为或或时．这组抛物线中存在直角抛物线．故答案为：、、．【点评】考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：75×（﹣）2﹣48÷24﹣（﹣2）0（2）如图，点E在AB上，∠CEB＝∠B，∠1＝∠2＝∠3，求证：CD＝CA．【分析】（1）根据有理数的混合计算解答即可；（2）根据ASA证明△DCE与△ACB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1（2）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠DCE＝∠ACB，∵∠CEB＝∠B，∴CE＝CB，∵∠2＝∠3，∠CEB＝∠B，∴∠DEC＝∠B，在△DCE与△ACB中，∴△DCE≌△ACB（ASA），∴CD＝CA．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据有理数的混合计算和ASA证明△DCE与△ACB全等解答．14．（6分）先化简，再求值：x﹣（4x+5xy﹣y2）+2（x﹣xy﹣y2），其中x＝2，y＝．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝x﹣4x﹣5xy+y2+x﹣5xy﹣y2＝﹣2x﹣10xy﹣y2，当x＝2，y＝时，原式＝﹣2×2﹣10×2×﹣（）2＝﹣4﹣10﹣＝﹣14．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（6分）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．【分析】（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．【解答】解：（1）如图所示：点P就是三个高的交点；（2）如图所示：CT就是AB上的高．【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．16．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，C，D，∵小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；（2）画树状图如下：由树状图知，小丽投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为＝．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．17．（6分）如图，在菱形ABCD中，对称中心是坐标原点O，已知A（﹣8，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣6，1）、F两点．（1）求k的值以及点F的坐标；（2）写出函数y＝（k≠0）图象在菱形ABCD内x的取值范围．【分析】（1）把E点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式为y＝﹣；利用待定系数法求出直线AD的解析式为y＝x+4，通过解方程组得点F的坐标；（2）利用反比例函数的性质和菱形的性质得到y＝﹣与AD、BC的交点关于原点对称，从而得到边BC与反比例函数图象的交点坐标为（6，﹣1），（2，﹣3），然后结合图象求解．【解答】解：（1）把E（﹣6，1）代入y＝得k＝﹣6×1＝﹣6；∴反比例函数解析式为y＝﹣；设直线AD的解析式为y＝mx+n，把A（﹣8，0），E（﹣6，1）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+4，解方程组得或，∴点F的坐标为（﹣2，3）；（2）∵菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，∴边BC与反比例函数图象的交点坐标为（6，﹣1），（2，﹣3），∴函数y＝（k≠0）图象在菱形ABCD内x的取值范围为﹣6＜x＜﹣2或2＜x＜6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了反比例函数的性质和菱形的性质．四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18．（8分）现在的社会是一个高速发展的社会，科技发达，信息流通，人们之间的交流越来越密切，生活也越来越方便，大数据就是这个高科技时代的产物，为创建大数据应用示范城市，九江市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次参与调查的人数是多少？（2）关注城市医疗信息的有多少人？并补全条形统计图；（3）扇形统计图中，D部分的圆心角的度数是多少？【分析】（1）用关注教育资源人数除以其所占的百分比可得被抽查的总人数；（2）根据各类别的人数之和等于总人数可得B类别人数，据此继而可补全条形图；（3）用360°乘以样本中D类别人数所占比例即可得．【解答】解：（1）本次参与调查的人数是200÷20%＝1000（人）；（2）关注城市医疗信息的有1000﹣（250+200+400）＝150（人），补全条形统计图如下：（3）360°×＝144°，答：扇形统计图中，D部分的圆心角的度数是144°．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（8分）将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入，图2是它的平面示意图，请根据图中的信息解答下列问题：（1）填空：AP＝5cm，PF＝cm．（2）求出容器中牛奶的高度CF．【分析】（1）解Rt△ABP，根据含30°角的直角三角形的性质得出AP＝AB＝5cm，求出EP＝，即可求出PF；（2）先由EF∥AB，得出∠BPF＝∠ABP＝30°，再解Rt△BFP，得出BF＝cm，那么CF＝BC﹣BF＝（12﹣）cm．【解答】解：（1）在Rt△ABP中，∵∠APB＝90°，∠ABP＝30°，AB＝10cm，∴AP＝AB＝5cm，∠BAP＝60°；∴∠EAP＝30°，∴EP＝AP＝cm，∴PF＝10﹣＝（cm）；故答案为：5，；（2）∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠ABP＝30°，又∵∠BFP＝90°，∴tan30°＝，∴BF＝×＝（cm）．∴CF＝BC﹣BF＝（12﹣）（cm）．即容器中牛奶的高度CF为（12﹣）cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的运用，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．20．（8分）已知，在Rt△ABC中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E点，点G为BD的中点．（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若＝，GE＝6，求AD的长．【分析】（1）连接OE、DE、OG，证明△GEO≌△GDO，根据全等三角形的性质得到∠GEO＝∠GDO＝90°，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据正切的定义解答．【解答】（1）证明：连接OE、DE、OG，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∵点G为BD的中点，∴GE＝BD＝DG，在△GEO和△GDO中，，∴△GEO≌△GDO（SSS）∴∠GEO＝∠GDO＝90°，∴GE为⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴tanB＝＝，∴tan∠ACD＝＝，∴AD＝CD＝GE＝3．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）21．（9分）去年王小宁在“京东”注册了网店销售某种工艺品，该工艺品的成本为每件40元，通过一年的运营，她发现每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，并且当x＝60时，y＝300；当x＝75时，y＝150．（1）求y与x的函数关系式；（2）今年该工艺品的生产厂家告知王小宁：若每月的销售量低于300件，将不再发货给她，如果王小宁想继续销售该工艺品，她将如何定价，才能确保每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）在过去的一年中，王小宁热心公益事业，每月都捐出250元给希望工程，捐款后每月的剩余利润仍然不低于5000元，请确定王小宁制定的销售单价的范围．【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出捐款后w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于5000元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，由题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+900；（2）由题意，得﹣10x+900≥300，解得x≤60，设利润为w＝（x﹣40）•y＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10x2+1300x﹣36000＝﹣10（x﹣65）2+6250，∵﹣10＜0，∴x＜65时，w随x的增大而增大，∴x＝60时，w大＝﹣10（60﹣65）2+6250＝6000（元），答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．（3）w﹣250＝﹣10x2+1300x﹣36000﹣250＝5000，﹣10（x﹣65）2＝﹣1000，解得：x1＝55，x2＝75，∵a＝﹣10＜0，∴当55≤x≤75时，捐款后每天剩余利润不低于5000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．22．（9分）在数学活动中，小明发现将两块不同的等腰直角三角板进行旋转，能得到一组结论：在其中一块三角板Rt△ABC，AB＝BC＝4，∠B为直角，将另一块等腰直角三角板的直角项点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于E、F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，求出CF；若不能，请说明理由；（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图②加以证明；（3）若将三角板的直角原点放在斜边上的点P处（如图③），当＝，PF和PE有怎样的数量关系，证明你发现的结论．【分析】（1）分两种情况，即可得出结论；（2）连结OB，求出OB＝AC＝OC，∠BOC＝90°，∠EOB＝∠FOC，∠EBO＝∠FCO，证△OEB≌△OFC，推出BE＝CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF2+BE2＝EF2，即可得出答案；（3）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证△PME∽△PNF，再证△APM∽△PCN，得出比例式，即可得出答案【解答】解：（1）△OFC能成为等腰直角三角形，∵Rt△ABC，AB＝BC＝4，∴∠C＝45°，∵△OFC是等腰直角三角形，∴∠OFC＝90°或∠COF＝90°，当∠OFC＝90°时，OF⊥BC，∵∠B＝90°，∴OF∥AB，∵点O是AC的中点，∴点F是BC的中点，∴CF＝BC＝2，当∠COF＝90°时，此时点F和点B重合，CF＝BC＝4，即：CF＝2或CF＝4；（2）OE＝OF，理由：连结OB，CF，如图②，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，O点为AC的中点，∴OB＝AC＝OC，∠BOC＝90°．∵∠EOF＝90°，∴∠EOB＝∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（SAS）．∴BE＝CF，又∵BA＝BC，∴AE＝BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF＝90°，∴BF2+BE2＝EF2，∴AE2+CF2＝EF2；（3）PF＝4PE，如图③，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，∵∠B＝90°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠EPM＝∠FPN．∵∠EMP＝∠FNP＝90°，∴△PME∽△PNF，∴，∵△APM和△PCN为等腰直角三角形，∴△APM∽△PCN，∴∵，∴，即：PF＝4PE．【点评】本题主要考查了几何变换综合题，涉及到的知识点是等腰直角三角形性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解答本题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质以及相似三角形的性质定理，此题有一定的难度六、解答题