高三数学一轮复习第6篇1节关系与不等式课件理

第六篇

不等式(必修5)第1节不等关系与不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.了解不等式(组)的实际背景.掌握不等式的性质及应用.编写意图

不等关系与不等式在高考中往往与其他知识结合考查,以选择题为主,难度不大.但是不等式的性质却是解不等式、证明不等式的必要工具,大多数的错误源于忽略性质的使用条件,因此在复习时要加以重视.本节重点突出不等式的性质和实数的大小比较,难点是利用不等式的性质求变量的取值范围.注重整体代入思想、转化化归思想的应用.考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干

固双基知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系设a,b∈R,则(1)a>b⇔

a-b>0

;a=b⇔

a-b=0

;a<b⇔

a-b<0

.2.不等式的基本性质见附表3.不等式的一些常用性质(1)倒数性质①a>b,ab>0⇒1

<

1

.a

b②a<0<b⇒1

<

1

.a

b(2)有关分数的性质若a>b>0,m>0,则①真分数的性质b

<

b

+

m

;

b

>

b

-

ma a

+

m

a a

-

m②假分数的性质a

>

a

+

m

;

a

<

a

-

m(b-m>0).b b

+

m

b b

-

m(b-m>0).基础自测A1.(2014深圳二模)设x,y∈R,则“x≥1且y≥2”是“x+y≥3”的(

)(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若x≥1且y≥2,则x+y≥3,若x+y≥3,x≥1且y≥2不一定成立.所以“x≥1且y≥2”是“x+y≥3”的充分而不必要条件.故选A.D2.限速40

km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过

40

km/h,写成不等式就是(

)(A)v<40

km/h (B)v>40

km/h(C)v≠40

km/h

(D)v≤40

km/h解析:由汽车的速度v不超过40km/h,即小于等于40

km/h.即v≤40

km/h,故选D.3.下列命题正确的是

.①若a

>1,则a>b;b②在一个不等式的两边同乘以一个非零实数,不等式仍然成立;③同向不等式具有可加性和可乘性;④设a、b为实数,则“0<ab<1”是“b<1

”成立的既不充分也不a必要条件;⑤若a>b,则1

<1

.a

b答案:④4.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则

a-b

的取值范围是

.解析:∵-3<b<-2,∴2<-b<3.又∵-2<a<-1,∴0<a-b<2.答案:(0,2)5.已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2

与a1b2+a2b1

的大小关系是

.解析:由a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(a1-a2)(b1-b2),∵a1≤a2,b1≥b2,∴(a1-a2)(b1-b2)≤0,即a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.答案:a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1考点突破剖典例

找规律用不等式(组)表示不等关系考点一【例1】某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则

40x

+

90

y

£1000,

x

‡

5,

y‡

6,

x,

y

˛

N*.

4x

+

9

y

£100,

x

‡

5,即

y‡

6,

x,

y

˛

N*.反思归纳

用不等式(组)表示不等关系分析题中有哪些未知量.选择其中起关键作用的未知量,设为x或x,y再用x或x,y来表示其他未知量.根据题目中的不等关系列出不等式(组).提醒:在列不等式(组)时要注意变量自身的范围.【即时训练】已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如表:甲乙维生素A(单位/kg)600700维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各

x

kg,y

kg

配成至多

100kg

的混合食物,并使混合食物内至少含有

56000

单位维生素

A

和

62000

单位维生素

B,则

x,y

应满足的所有不等关系为

.

x

+

y

£100,

600x

+

700

y

‡

56000,解析:x,y所满足的关系为

800x

+

400

y

‡

62000,

x

‡

0,

y

‡

0,

x

+

y

£100,

6x

+

7

y

‡

560,即

2x

+

y

‡155,

x

‡

0,

y

‡

0.

x

+

y

£100

6x

+

7

y

‡

560答案:

2x

+

y

‡155

x

‡

0,

y

‡

0考点二 不等式的性质【例2】(1)(2014甘肃张掖第三次诊断)设a,b∈R,则(a-b)·a2<0是a<b的

()(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(A)

a

>

b

(B)

a

<

bd

c

d

c(C)

a

>

b

(D)

a

<

bc

d

c

d解析:(1)(a-b)·a2<0,则必有a-b<0,即a<b;而当a<b时,不能推出(a-b)·a2<0,如a=0,b=1.所以(a-b)·a2<0是a<b的充分而不必要条件.故选A.(2)由c<d<0⇒-1

>-1

>0,又a>b>0,故由不等式性质,得-a

>-b

>0,所以d

c

d

ca

<b

,故选B.d

c反思归纳

判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:①不等式两边都乘以一个代数式时,所乘的代数式是正数、负数或0;②不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;③不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.【即时训练】(1)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是()(A)

1

<

1

(B)ab<b2a

b)(C)-ab<-a2

(D)-

1

<-

1a

b(2)(2014青海西宁二模)已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是(若a>b,则ac2>bc2若a

>b

,则a>bc

c若a3>b3

且ab<0,则1

>1a

b若a2>b2

且ab>0,则1

<1a

b解析:(1)由a<b<0得ab>0,则a<

bab

ab,即1

<1

,b

a所以-1

>-1

.故选D.b

a(2)当c=0时,可知A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a3>b3

且ab<0知a>0>b,则1

>1

,故C正确;当a<0,b<0时,可知D不正确.故选C.a

b比较大小考点三【例3】已知x∈R,m=(x+1)（x2+x

+1）,n=（x+

1

）·(x2+x+1),则m,n的2

2大小关系为(

)(A)m≥n

(B)m>n

(C)m≤n

(D)m<n2

解析:m=(x+1)

x

2x

x

+

+1

=(x+1)

x2+

x

-

+1

2

=(x+1)(x2+x+1)-

x

(x+1),2n=1x

+

2

2(x

+x+1)=1x

+1

-

2

(x2+x+1)

=(x+1)(x2+x+1)-1

(x2+x+1),2∴m-n=(x+1)2

x

1

2x

+

2

+1

-

x

+

2

(x

+x+1)2=

1

(x2+x+1)-

1

x(x+1)2=

1

>0.2则有x∈R

时,m>n恒成立.故选B.反思归纳

比较大小常用的方法作差法一般步骤是①作差;②变形;③判号;④定论.其中变形是关键,常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式.当两个式子都含有开方运算时,可以先乘方再作差.作商法一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.作商比较大小时,要注意分母的符号避免得出错误结论.

(3)特值法对于选择题可以用特值法比较大小.【即时训练】(1)(2014深圳模拟)对于0<a<1,给出下列四个不等式①loga(1+a)<loga（1+1a）;②loga(1+a)>loga（1+1a）;③a1+a<

a1+

1a

;④a1+a>

a1+

1a

.其中成立的是(

)(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④(2)若a=1816,b=1618,则

a

与b

的大小关系为

.解析:(1)当

0<a<1

时,(1+a)（-

1+

1

）=

(a

+1

(a

-1

<0,则

1+a<1+

1

,a

a

a因此②④成立.故选D.(2)181616181=

=

ab

16

162

18

16

9

16

8

=

(12)16=(98

2)16,∵

9

∈(0,1),8

2∴(

9

)16<1,8

2∵1816>0,1618>0,∴1816<1618.即a<b.答案:

(1)D

(2)a<b助学微博在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,注意放宽条件和加强条件与其结论的关系,以及条件与结论间的相互联系.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的理论基础.由a<f1(x1,y1)<b,c<f2(x1,y1)<d,求g(x1,y1)的取值范围,可利用待定系数法解决,对已知的范围要整体代换,而不能求出变量x1,y1

的范围,否则范围扩大.思想方法融思想

促迁移利用方程思想求解变量的取值范围【典例】设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.解:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数),则

4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即

4a-2b=(m+