管理类联考初数《整除》详解

HengShor恒硕琴研管理类联考初数（一）整除1、数的整除整除的定义：当整数Q除以非零整数b,商正好是整数而余数为零时，则称Q能被b整除，或b能整除a,记作bIa。当bIa时，称a是b的倍数，b是a的约数（因数）。0能被任何整数整除，1能整除任何整数。整除的性质：1、 传递性：若a|b,bIc，则aIc2、 可加可减性：若aIb，aIc，则aI（b±c）3、 可乘性，若aIb，则aImXb4、 可拆性：若abIc，则aIc，bIc5、 *互质可除性：若aImb，且（a,m）=1，则aIb（注：（a,m）即两数的最大公因数，（a,m）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）例1：若aIb,bIc,则当m=（）时，mIc。（A）axb（B）£（C）a+b（D）b-a（E）Jaba解析：令b=Ma,c=Nb=MNa（M,Ng正整数）n例2： 14疋个整数。(1)3nn是一个整数，且14也是一个整数;(2)nn是一个整数，且7也是一个整数。解析：利用整除性质做题3n条件（一）14是一个整数，14I3”，由于（14,3）=1,所以14Inn条件（二）7是一个整数，nI7,根据整除性质无法推出nI14。所以选（A）整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数）能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除；能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。例3：数A能被11整除。（1） A是形如abcabc的数（a是1~9的整数，b、c均为0~9的整数）；（2） A=3232•••32110个32解析：直接利用整除特征做题条件（1）,利用末三位法，abc~abc=0,11|0,所以abcabc是11的倍数；条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3X10+1=31,偶数位之和2X10=20,差为31－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分答案选（D）例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的人数（）（A） 一定是4的倍数（B）不一定是4的倍数（C）一定不是4的倍数（D）一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E）以上均不正确解析：通过分析具体的情境判断数的性质设有同学舛，和他（她）同性的仍记为A2,异性的记为B，则A两侧的排列应该是A2A1B1B2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A。连续n个数乘积可被n整除原则。连续n个正整数之积一定是n的倍数。推广：连续n个数乘积一定是n!的倍数。

例5：若n是一个大于100的整数，则n3-n一定有约数()(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)以上均不正确解析：利用连续n个数乘积可被n!整除原则。n3-n=(n一l)n(n+1)，有定理：连续k个数的乘积一定能被k整除。所以(n一l)n(n+1)既能被2整除，又能被3整除，故选Bo练习题：从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是()个(A)64 (B)48 (C)56 (D)46 (E)552•如果2m是3的倍数，3m是2的倍数，那么m必然是()的倍数。(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (E)93.m二no(1)m|n,且n|m；(2)m>n且n>mo4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是()8588558528498688588558528498685.98是整数。28p，p，q是互质的正整数)，la是一个整数;14p(2)若a=p(2)若a=qp，q是互质的正整数)，是一个整数。166、若m=n(n-2)(n-4)，则m()必然是2的倍数必然是3的倍数必然至少是6的倍数必然不能被任何数整除不一定是某个数的倍数7、 有()个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。(A)10 (B)7 (C)8 (D)5 (E)68、下面说法中有( )是正确的。(1)0可以被任何整数整除；如果aIc,bIc,a丰b则abIc；一个数是4的倍数，必然是2的倍数；如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么1078m+3647n必然也是7的倍数。(m,n是正整数)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4练习题讲评：1、 前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数(即能被15整除)有8个。根据容斥原理(后文将有介绍)，要求的应该是40+24—8=56个。选(C)2、 显然m必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选(C)。3、 两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件(1)充分；条件(2)显然也充分，选(D)4、 17的两位数倍数最大是85,个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。选(A)5、 条件(1),当a=14时，显然结论不成立，条件(1)不充分；条件(2)，当a=16时，显然结论不成立。条件(1)(2)联合起来，p既是14的倍数，又是16的倍数，q既是9的约数又是7的约数，可见q=1，P是112的倍数。显然a是28的倍数。选(C)6、 显然当n为奇数时，m是个奇数，不能被2整除。再看一下能否被3整除，此时n除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2,逐一验证发现三种情况下，m都能被3整除，选(B)。7、 奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。这样的四个数可以是1、3、5、9(大家可以验证其它都不可以)。由于有5存在，个位必须是5。前三位共有6种排法。选(E)8、(1)显然当除数为0时不成立；(2)当a二3,b二6,c二12时，显然不成立。所以整除的可拆

恒硕考研性不可逆。（3）根据整除的传递性，成立。（4）根据整除的可乘可加性，成立。选（C）。奇数和偶数概念与知识点偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。如一2,0,2,4,6,…奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。如一1,1,3,23,…显然有：整数显然有：整数奇数偶数奇数与偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数±偶数=偶数；奇数X奇数=奇数，奇数X偶数=偶数，偶数X偶数=偶数；奇数个奇数之和还是奇数,奇数个偶数之和还是偶数,偶数个奇数之和是偶数,偶数个偶数之和还是偶数。奇数的正整数次幂是奇数,偶数的正整数次幂是偶数在整数的加减运算中,加减号互变,结果的奇偶性不变。一般设2n是偶数，设（2n-1）或（2n+1）是奇数。（n^Z）两个相邻的数必定一奇一偶。xnxn,n是偶数

—xn,n是奇数云，当n是奇数时，x可以为任意实数；当n是偶数时，x只能是非负数。体验奇偶数“交叉排列”的含义*。基本做题思路：例1：有偶数位来宾。 （根据12年第20题改编）（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围,且每位来宾与其邻座性别不同（2）所有来宾坐成一排,每位来宾与其邻座性别不同。例2：m为偶数（1） 设n为整数,m=n（n+1）（2） 在1,2,3,……1988这1988个自然数中每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设这样组成的运算式的结果是M。例3：象棋中的“马”每次走棋总是沿“日”字的对角线进行，那么经过n次过后，“马”有可能跳回到最初的位置。■■A 1 F *Ln=3n=4例4：如果有理数m<0，则（）(A)当n为偶数时，（-1》n-mn+1>0(B)当n为奇数时，（1》-mn+1>0(C)当n为任意自然数时，C1》n-mn+1>0(D)当n为任意自然数时，Cn•mn+1<0(E)当n为偶数时，(-d-mn+1<0练习题：1•已知m，n是正整数，则M是偶数。（12年第18题）（1） 3m+2n是偶数。（2） 3m2+2n2是偶数。2.m为偶数。（1） 一个三位数依次减去构成这个数的三个数字所得的差为m。（2） —个两位数，颠倒次序后形成一个新的两位数，将这两个两位数相加，所得的和为2,再将n所有数位上的数字相加，得m。3•—个转盘被平分成20小格，指针停到偶数号格，就可以得大奖，则小明有可能得到大奖。（1） 小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N,指针先指到N所在的位置，再继续向前转动2N格。（2） 小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N,指针先指到N所在的位置，再继续向前转动N格，再倒退一格。4、m是偶数。（1） 若干个人相互各握手一次，每个人的握手次数之和为m；（2） 若干个人相互各握手一次，握手次数为奇数的人数为m。质数和合数概念与知识点质数（素数）：如果一个大于1的正整数，只有1和它本身两个约数，那么这个正整数就叫做质数。合数：除了1和本身之外还有其他约数的正整数叫做合数。最小的质数是2，质数中为偶数的数是2，最小的合数是4。100以内的质数（25个，记住30以内的）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、2931、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97质数与合数判别法：对于一个不很大的自然数N（N>1,N为非完全平方数），从质数2开始用不同的质数试除N，如果能被某质数整除，则说明N是合数，否则继续用下一个质数试除;如果试到质数P，发现P2>N时，无需再试，N为质数。例1：三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数，且依次相差4岁，他们的年龄之和为（ ）（A）21 B）27 （C）33（D）39 （E）51解析：考察30以内的具体质数最小的质数小于6，可能是2、3或者5，如果是2或5的话都不符合题意，答案只能是3、7、11。选（C）。例2：已知三个质数a,b,c，满足a+b=c,a+c=36，那么a+b+c=()(A)36 (B)38 (C)39 (D)40 (E)72解析：利用质数的奇偶性做题。如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能成立。所以这三个数中必有一个为2。验证后发现只有b可以为2,所以原式=36+2=38。选(B)。例3：已知三个质数a,b,c满足a+b+c+abc二99，那么切+0-c|+|a-c|的值等于()(A)30 (B)31 (C)32 (D)33 (E)34解析：连续利用质数的奇偶性做题。如果a、b、c全是奇数的话，原式不可能等于奇数。所以这三个数至少有一个为2，不妨设是《=2。原式=2+b+c+2bc=99,可以看出b、c应该是一奇一偶，不妨设b=2,可以求出c=19。选(E)。例4：有几个质数(素数)的乘积为770，则他们的和为( )(14年第9题)(A)85 (B)84 (C)28 (D)26 (E)25解析：利用分解质因数做题将770分解质因数，得770=2X5X7X11，可知这几个数分别是2、5、7、11。所以选E例5：m是质数，满足m=n2+4n—5(n为正整数)，则m+n=( )(A)7 (B)9 (C)10 (D)11 (E)15解析：利用质数m仅能表示成m=1Xm解题。M=n2+4n—5=(n—1)(n+5)n-1,n+5两个式子中，必有一个为1,另一个为m,显然只能是n-1为1,则n=2,m=7,m+n=9，选B。练习题：在20以内的质数中挑出6个数，使其两个一组分成三组，且每组两个数之和相等。则这6个数TOC\o"1-5"\h\z之和为（ ）（A）42 （B）51 （C）66 （D）72 （E）81三个质数之积恰好等于它们和的5倍，则这三个质数之和为（ ）（A）11（B）12 （C）13 （D）14（E）153•用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是加，最大是〃，则n－m等于（ ）（A）360 （B）345 （C）330 （D）375 （E）3904•如果两数和为64,两数积可以整除4875，那么这两数的差为（ ）（A）12 （B）13 （C）14 （D）15 （E）175•有一个两位质数，其个位数、十位数都是质数，且前后颠倒后仍是个两位质数，则这两个两位质数的和是（）（A）55 （B）88 （C）66 （D）99 （E）110A是一个质数，而且A+6,A+8,A+12,A+14都是质数，满足要求最小的质数A的值为m，则m2+m+1为（）（A）55 （B）13 （C）21 （D）43 （E）31甲乙两人的岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，这个质数的各个数位数字之和是13，甲比乙也刚好大13岁，那么甲乙两人的岁数之积是（）（A）900（B）1000 （C）1080 （D）1280 （E）15008•把60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能地小，那么最大的质数是m。1（1）大于33的负整数有m个；（2）m=7。三个人的年龄之积为1771，他们中最小的也已经上了小学。那么三人年龄和是（ ）（A）41 （B）51 （C）61 （D）71 （E）81若x,尹是质数，则1000x+4尸2012。（1）xy是偶数；（2）xy是6的倍数。有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数中最大的与最小的之差为（ ）。（A）101 （B）599 （C）367 （D）891 （E）921练习题讲评：1•前20以内的质数有8个：、3、5、7、11、13、17、19,找出其中和相等的三组分别为5+19,7+17,11+14。则和为72,选（D）。2.abc二5（a+b+c），显然三个数中有一个为5,不妨设a=5，原式可化为bc=5+b+c，（b-l）（c—1）二6，显然只有b,c为2,7时才能成立。选（D）3•显然这个三位数个位是5,另两位是2、3、7中的两个。要保证能被3整除，剩下的两个必须是3和7。所以最大的三位数是735，最小的是375，差了360，选（A）。4•先将4875分解质因数：4875=5X5X5X3X13，其中小于64的约数有1、3、5、13、15、25、39,其中相加为64的是25和39,差为14,选（C）。5•显然这样的两位数可以是37和73。选（E）6•尝试可知A最小是5。选（E）7•将数位之和为13的两位数都列出来，其中满足是质数的只有67,再通过甲比乙大13岁，求出甲、乙分别是40和27岁。选（C）。8•首先对结论进行分析，求出m的具体值。既然要求最大的质数尽可能小，则这十个质数应该尽可能地接近。根据平均数为6可知最小的应为5，最大的应为7，此时60=5+5+5+5+5+7+7+7+7+7，所以m=7。条件（1）符合条件的只有-3,-2,-1三个，不充分。条件（2）显然充分。选（B）9•将1771分解质因数：1771=11X7X23，根据最小的已经上了小学，所以三人年龄只能是7岁、11岁、23岁。选（A）10•条件（1）说明x,y中至少有一个为2,不充分；条件（2）说明x,y一个为2,另一个为3,也不充分。联合起来等同于条件（2）。选（E）11.显然这三个数字必有两个为1,一个为质数。这样的三位数最大为711,最小为112。选（B）最小公倍数、最大公约数最大公约数：几个数公有的约数，叫这几个数的公约数；其中最大的一个，叫这几个数的最大公约数，整数a、b的最大公约数用符号表示为（a,b）。最小公倍数：几个数公有的倍数，叫这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫这几个数的最小公倍数，整数a、b的最小公倍数用符号表示为［a,b］。互质数：公约数只有1的两个数称为互质数。两个相邻的正整数必定互质（〃和n+1互质）。HengShor恒硕琴研求最大公约数/最小公倍数的方法：A、 依次分别写出a、b的约数/倍数，从两组数中找出最大/最小的相同的数，即是最大公约数/最小公倍数。B、 将a、b分别因式分解，最大公约数是取每个质因数在所有数中出现的最低次后，再把这些最低次质因数相乘求积。最小公倍数是取每个质因数在所有数中出现的最高次后，再把这些最高次质因数相乘所得的积。如:a=22x32,b=2x33x7,贝则[a,b]=22x33x7,（a,b）=2x32C、 辗转相除法求两数的最大公约数时，可以保留其中较小数，将大数去掉，改成大数除以小数的余数，此时求出来的最大公约数不变。如此可以反复辗转相除，直到一数是另一数的倍数。（适用于数比较大时）如:（72，84）=（72，12）=12（24，34）=（24，10）=（4，10）=（4，2）=2求出最大公约数后，再利用后面所讲的公式求出最小公倍数。说明:实际做题过程中，往往是“看”出来的。比如求（180，108），一眼看出两数有公因数9,贝y（180,108）=9X（20,12）；又看出来20和12有公因数4,此时原式=9X4X（5,3），而5和3显然是互质的，所以（180,108）=9X4=36。性质:A、 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数；两个自然数的最小公倍数分别除以这两个数,所得的商是互质数。B、 两个数的公约数一定是它们最大公约数的约数；两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。C、 两个数的和或差是它们最大公因数的倍数。D、 两个数如果有倍数关系，则它们的最小公倍数为较大数，最大公约数为较小数。E、 重要公式：（a,b）X[a,b]=aXb比较：集合公式：AUB=A+B-AHB重要方法：对于两个数a,b,如果设(a,b)=p的话，那么可设a=mXp,b=nXp,(m,n互质)，则[a,b]=mXnXp基本做题思路例1：已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为15,符合条件的两个数有( )组。(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(E)5解析：利用重要方法解题。设两个数分别为15m,15n,(m,n)=1,则15m+15n=165,m+n=11显然,满足要求的只有(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)五组。选(E)例2：有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是也则k的各个数位上的数之和为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)6解析：利用重要方法做题选(A)例3：今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相同,那么最多可以分()堆。(A)10 (B)12 (C)14 (D)15 (E)20解析：利用最大公约数解题。如果分成了x堆，显然42、112、70都是x的倍数，x是这三个数的公约数，要想让x最大，即是求三个数的最大公约数。选(C)。例4：今天小明、小玲和小红同时来到图书馆看书，其实三个人的看书时间非常有规律，小明是每12天去一次图书錧，小玲每15天去一次，小红每20天一次。那么，下次三个人再同时出现在图书馆应该是再过()天。(A)30 (B)40 (C)50 (D)60 (E)180解析：利用最小倍数做题。假设再过x天三人同时来到图书馆，显然x必须是12、15、20的倍数，“最近一次”即求三者的最小公倍数。选（D）练习题教师节到了，校工会买了320个苹果，240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工，请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？（A）10 （B）15 （C）18 （D）20 （E）401•显然是求三个数的最大公约数。选（E）（m，n）=23（1） m~n=23,且23|n；（2） [m,n]=138，且m,n都是两位数。2•条件（1）可知，（m,n）二（23,n）二23，充分；条件（2）可知，mll38,n1138，由于138=2X3X23，所以两数只能是23、2X23、3X23，其中最小公倍数为138的只能是2X23和3X23,显然二者的最大公约数为23,充分。选（D）已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为372，满足上述条件的数一共有多少组（不考虑次序）？（A）12 （B）15 （C）20 （D）30 （E）31利用重要方法，设两个数分别为A、B,且A二6m,B二6n（m,n互质），则6m+6n=6（m+n）=372,m+n=62，由于62=2X31，所以，m,n不能是2或31的倍数（否则就不互质）。将1到31中去掉偶数，去掉31,还剩下15个数。选（B）加工某种零件时，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成3个零件；第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个零件。要使三道工序生产均衡，三道工序总共最少分配（）名工人。（A）15 （B）16 （C）19 （D）20 （E）254•要使生产均衡，各道工序生产的零件总数应该相等，并分别是3、10、5的倍数。要使工人最少，则是求零件总数的最小公倍数[3,10,5]=30，则第一道工序需要10名工人，第二道工序需要3名工人，第三道工序需要6名工人。共需要19名，选（C）两个正整数中，甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90。如果甲数是18，那么乙数是HemgShor恒硕琴研加，则m的各个数位之和为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6利用重要公式求出A=（A,B）x[A,B]一B=90x6一18=30。选（B）两个正数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（）（A）0对 （B）1对 （C）2对（D）3对 （E）4对6•利用重要方法设A=6m,B=6n,则6mn=90,mn=15，又因为m,n互质，所以只能是1和15、3和5。选（C）某赛车跑道上，A车一分钟可跑2圈，B车一分钟可跑3圈，C车一分钟可跑4圈，现在三车从同一地点出发，则（）分钟后，三车第一次并排出现在起跑线上。（A）1/2 （B）1 （C）6 （D）12 （E）166.此题要注意是“一分钟跑2圈”，而不是“2分钟跑一圈”，谨防误求2、3、4的最小公倍数。实111际求的是怎，刁，的最小公倍数。对于分数的最小公倍数我们没有专门讲解，可以按照最基本的236思路分别将三个数的2倍、3倍、4倍、……列出来，找到大家公有最小的倍数即为最小公倍数。此题比较简单，可以直接看出来是一分钟。选（B）已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，则这两个数的最大公约数为（ ）（A）10 （B）12 （C）15 （D）20 （E）308.设两个数分别是am,an,其中m,n互质且m>n，a为两个数的最大公约数。则m—n4amn=60,a（m—n）=4& =，尝试中得m=5,n=1，此时a=12。选（B）mn59.9.已知两个正整数的和不超过50，差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差也30，符合为条件的两个数有（）组。（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）810•已知两个自然数的最大公约数是4,最小公倍数是120，则这两个数之和为m。（1） 绝对值不大于11.1的整数有m个；（2） 绝对值不大于21.1的整数有m个。余数与同余余数：x除以A余r,记作：xFA=m・・・r则有①A|（x—r）•②r<Ao从1开始的每n个数除以n的余数分别是1、2、3……n—1、0例1：如果m<500,那么能求出m的确定的值。m除以5余1,除以7余1,除以11也余1；m除以5余4,除以7余6,除以11余10。解析：通过“去余”或“补余”使刚好整除。例2：整数x除以15的余数是8。整数x除以3的余数是2。整数x除以5的余数是3。解析：如何利用两个不同的余数条件合并成一个余数条件。先判断(1)(2)单独都不充分。联合后，除以3余2的数从小到大依次是5、8、11、14……其中,第一个除以5余3的是8。所以,x可表示为8+n[3,5]=15n+14例3：m为正整数，92除以m余4,105除以m余1,则m的值为()(A)22(B)11(C)8 (D)4 (E)2例4：100以内有多少除以3余2或除以5余3的数？解：利用每连续n个正整数中,恰有一个数除以n余m(m<n)。同余如果x、y除以A都余r,则说x、y对于A同余，记作x三y(modA)例：10和6除以4都余2,则说10、6相对于4同余,记作10三6(mod4)同余的性质：若x三y(modA),则有|x—y|丨A。可乘性：若x三y(modA)且s三t(modA),则xXs=yXt(modA)(x,y,s,t^N+，下同)可加可减性：若x三y(modA)且s三t(modA),则s+x三t+y(modA),s—x=s—y(modA)例5：某工厂有128名工人生产零件他们每个月工作23天在工作期间每人每天可以生产300个零件月底将这些零件按17个一包的规格打包发现最后一包不够17个则最后一包有()个零件？(A)16 (B)15 (C)14(D)13(E)12不定方程求整数解一般来说如果未知数个数多于方程个数时无法求出准确的解。但如果未知数全都是正整数的话解的个数可能就会是有限的甚至唯一的。例:xXy=1,如果在实数范围内是没有固定解的,满足方程的x、y有