空间中的平行关系

一、选择题1．(教材改编题)b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是()A．b与α内一条直线不相交B．b与α内两条直线不相交C．b与α内无数条直线不相交D．b与α内任意一条直线不相交[答案]D[解析]只有在b与α内所有直线都不相交，即b与α无公共点时b∥α.2．过直线a外两点作与a平行的平面，这样的平面()A．不可作 B．只能作一个C．可作无数个 D．以上均可能[答案]D[解析]设过直线a外两点的直线为l.若l与a相交，则与a平行的平面不可作；若l与a异面，则与a平行的平面只能作一个；若l与a平行，则与a平行的平面可作无数个．3．已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()A．①③ B．②④C．①④ D．②③[答案]C[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m∥n，m∥α时，n∥α或nα，故③错；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正确．4．如下图，P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，则四边形EFBC是()A．空间四边形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都有可能[答案]C[解析]∵BC綊AD，由线面平行性质定理知BC∥EF，又EF<AD，∴四边形BCEF为梯形．5．(2022·四川理，3)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[答案]B[解析]本题主要考查空间直线的位置关系，(A)如l1、l3共面为α，而l2⊥α，则A不对；(B)正确(C)可形成3个平面；(D)l1、l2、l3共点可形成3个平面，故选B.6．(文)如下图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[答案]C[解析]∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故选项A、B、D正确，C错误．(理)已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为()A．16 B．24或eq\f(24,5)C．14 D．20[答案]B[解析]根据题意可出现以下如图两种情况可求出BD的长分别为eq\f(24,5)或24.二、填空题7．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．[答案]平面ABC与平面ABD[解析]连BN延长交CD于点E，连AM并延长也与CD交于E点(因为E为CD中点)，又eq\f(EM,AM)＝eq\f(EN,BN)＝eq\f(1,2)，故MN∥AB.8．已知平面α∩β＝m，直线n∥α，n∥β，则直线m、n的位置关系是________．[答案]m∥n[解析]在α内取点A∉m，则点A与n确定一平面θ，且θ∩α＝a.同理可作平面γ且γ∩β＝b.∵n∥α，n∥β，∴n∥a，n∥b.∴a∥b.∵aβ，bβ，∴a∥β.∵aα，α∩β＝m，∴a∥m，∴n∥m.三、解答题9．(文)(2022·江苏，16)如下图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[解析]证明：(1)在△PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD.所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.(理)(2022·山东文，19)如下图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.[解析](1)证明：∵DD1⊥平面ABCD，BD平面ABCD∴DD1⊥BD，又∵AB＝2AD且∠BAD＝60°∴由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD即BD＝eq\r(3)AD，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD又∵AD∩DD1＝D∴BD⊥平面ADD1A1，又∵AA1平面ADD1A1，∴BD⊥AA1(2)连接AC，交BD于M，连接A1M，A1C1，∵底面ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝eq\f(1,2)AC又∵AB＝2AD＝2A1B1∴A1G綊CM，即四边形A1MCC1是平行四边形；∴CC1∥AM1，又∵CC1平面A1BD，A1M平面A1BD∴CC1∥平面A1BD.一、选择题1．(文)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，mα，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案]B[解析]两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B.(理)已知两条互不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[分析]本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案]B[解析]命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．2．如下图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()A．K B．HC．G D．B′[答案]C[解析]如下图所示，若取K点为P点，连接FK，则FK∥CC′.故CC′∥面KEF而其他侧棱AA′、BB′均与CC′平行．故此时与面PEF平行的有3条棱．若取H点为P点，可以得面HEF∥面ABC∥面A′B′C′，则与面PEF平行的棱有上下底面中的6条棱；若取G点为P点，AB∥EF，A′B′∥EF，故只有棱AB，A′B′与面PEF平行；若取B′点为P点，AB∥EF，只有棱AB与面PEF平行．二、填空题3．如下图所示，ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AE:EB＝________.[答案]m:n[解析]如下图所示，设AE＝a，EB＝b，由EF∥AC可得EF＝eq\f(bm,a＋b).同理EH＝eq\f(an,a＋b).∵EF＝EH，∴eq\f(bm,a＋b)＝eq\f(an,a＋b)，于是eq\f(a,b)＝eq\f(m,n).4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为A1B1中点，过E、C1、C作一截面，则截面的面积为________．[答案]eq\f(\r(5),2)a2[解析]设截面与AB的交点为F，由题意可知截面EFCC1为一矩形，且EC1＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)a，C1C＝a.∴截面面积为EC1·C1C＝eq\f(\r(5),2)a2.三、解答题5．(文)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D点为棱AB的中点．求证：AC1∥平面CDB1.[解析]如下图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则BC1与B1C互相平分．∴BE＝C1E，又AD＝BD，∴DE为△ABC1的中位线，∴AC1∥DE，又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(理)如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V.[解析]本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，推理论证能力．(1)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝eq\f(1,2)PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝AB＝eq\r(2)，EG＝eq\f(\r(2),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，∴VE—ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·EG＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).6．(2022·北京文，17)如下图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、，F、G分别是棱AP、CC、BC、PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC，又因为DE平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝eq\f(1,2)EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝eq\f(1,2)EG，所以Q为满足条件的点．7．(文)如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1中点．(1)求证：平面FB1C1∥平面ADE；(2)试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE.[解析](1)可证AD∥平面FB1C，AE∥平面FB1C1∵AD∩AE＝A，AD，AE平面ADE∴平面ADE∥平面FB1C1.(2)M应是DC的中点，此时∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M平面DD1C1C，∴B1C1⊥D1M由平面几何知识FC1⊥D1MFC1∩B1C1＝C1，FC1，B1C1平面FB1C1∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1∴D1M⊥平面ADE.(理)已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如下图1)．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB(如下图2)，连接AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证：BC⊥平面AEC；(2)判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．[解析](1)在下图1中，过C作CF⊥EB于F，∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD＝1，EF＝1.∴四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3.∴A