湘教版八年级上册数学命题与证明市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

命题与证实本课内容本节内容2.2第1页前面我们学习了许多相关三角形概念（如三角形、等腰三角形、等边三角形以及三角形高线、中线、角平分线等）第2页如：三角形一边与另一边延长线所组成角叫作三角形外角.不在同一直线上三条线段首尾相接所组成图形叫作三角形；ABCD第3页像这么，对一个概念含义加以描述说明或作出明确要求语句叫作这个概念定义.比如：“把数与表示数字母用运算符号连接而成式子叫作代数式”是“代数式”定义.“同一平面内没有公共点两条直线叫作平行线”是“平行线”定义.第4页说出以下概念定义：（1）方程；说一说在三角形中，一个角平分线与这个角对边相交，这个角顶点与交点之间线段叫作三角形角平分线.我们把含有未知数等式叫做方程.（2）三角形角平分线.第5页在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断.数学中一样有许多问题需要我们作出判断.第6页以下叙述事情语句中，哪些是对事情作出了判断？议一议（1）三角形内角和等于180°；（2）假如|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？第7页普通地，对某一件事情作出判断语句（陈说句）叫作命题.

比如，上述语句（1），（2），（3）都是命题；语句（4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.

（1）三角形内角和等于180°；（2）假如|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；

（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？第8页观察以下命题表述形式有什么共同点？（1）假如a=b且b=c，那么a=c；（2）假如两个角和等于90°，那么这两个角互为余角.

它们表述形式都是“假如……，那么……”.第9页命题通常写成“假如……，那么……”形式，其中“假如”引出部分就是条件，“那么”引出部分就是结论.比如，对于上述命题（2），“两个角和等于90°”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.（2）假如两个角和等于90°，那么这两个角互为余角.第10页有时为了叙述简便，命题也能够省略关联词“假如”、“那么”.

如：“假如两个角是对顶角，那么这两个角相等”能够简写成“对顶角相等”；“假如两个角是同一个角余角，那么这两个角相等”

能够简写成“同角余角相等”.第11页做一做（1）指出以下命题条件和结论，并改写成“假如……，那么……”形式：命题条件结论①能被2整除数是偶数.②有公共顶点两个角是对顶角.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.那么这个数是偶数假如一个数能被2整除那么这两个角是对顶角假如两个角有公共顶点那么它们同位角相等假如两条直线平行那么这两条直线平行假如两个同位角相等第12页（2）上述命题③与④条件与结论之间有什么联络？③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.

命题③与④条件与结论交换了位置.第13页对于两个命题，假如一个命题条件和结论分别是另一个命题结论和条件，我们把这么两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.

比如，上述命题③与④就是互逆命题.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.第14页从上我们能够看出，只要将一个命题条件和结论交换，就可得到它逆命题，所以每个命题都有逆命题.第15页练习1.以下语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形三条中线都相交于一点吗？（1）假如x=3，求值；不是命题是命题不是命题是命题第16页2.将以下命题改写成“假如……，那么……”形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）个位数字是5整数一定能被5整除；答：假如两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点.答：假如一个整数个位数字是5，那么这个数一定能被5整除.第17页（4）三角形一个外角大于它任何一个内角.（3）互为相反数两个数之和等于0；答：假如两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0.答：假如某角是三角形外角，那么这个角大于它任何一个内角.第18页3.写出以下命题逆命题：（1）若两数相等，则它们绝对值也相等；（2）假如m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等三角形是等腰三角形.答：绝对值相等两个数相等答：假如m是有理数，那么它也是整数答：内错角相等，两直线平行答：等腰三角形两边相等第19页议一议以下命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你理由.（1）每一个月都有31天；（2）假如a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；（4）同角补角相等.错误错误错误正确第20页上面四个命题中，命题（4）是正确，命题（1），（2），（3）都是错误.我们把正确命题称为真命题，把错误命题称为假命题.

（1）每一个月都有31天；（2）假如a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；

（4）同角补角相等.第21页要判断一个命题是真命题，经常要从命题条件出发，经过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证实.

比如，命题“同角补角相等”经过推理能够判断出它是真命题.

因为∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.所以∠2=∠3（等量代换）.于是，我们得出：同角（或等角）补角相等.第22页要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题条件，但不满足命题结论，从而就可判断这个命题为假命题.比如，要判断命题“假如a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，不过0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.我们通常把这种方法称为“举反例”.第23页判断以下命题为真命题依据是什么？说一说（1）假如a是整数，那么a是有理数；（2）假如△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.

分别是依据有理数、等腰（等边）三角形定义作出判断.第24页从上能够看到，在判断一个命题是否为真命题时经常要利用一些概念定义，不过光用定义只能判断一些很简单命题是否为真.实际上，对于绝大多数命题真假判断，光用定义是远远不够.第25页古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年）对他那个时代数学知识作了系统总结，他挑选了一些人们在长久实践中总结出来公认真命题作为证实原始依据，称这些真命题为公理.第26页本书中，我们把少数真命题作为基本事实.比如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.人们能够用定义和基本事实作为推理出发点，去判断其它命题真假.比如在七年级下册，我们从基本事实出发证实了一些相关平行线结论.第27页基本事实同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.第28页我们把经过证实为真命题叫作定理.比如，“三角形内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.第29页定理也能够作为判断其它命题真假依据，由某定理直接得出真命题叫作这个定理推论.

比如，“三角形一个外角等于与它不相邻两个内角和”称为“三角形内角和定理推论”，也可称为“三角形外角定理”.第30页当一个命题是真命题时，它逆命题不一定是真命题.

比如，“假如∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它逆命题“假如∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命题.第31页假如一个定理逆命题能被证实是真命题，那么就叫它是原定理逆定理，这两个定理叫作互逆定理.我们前面学过定理中就有互逆定理.比如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆定理.第32页练习1.以下命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你理由.（1）绝对值最小数是0；答：真命题（2）相等角是对顶角；（3）一个角补角大于这个角；（4）在同一平面内，假如直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命题答：假命题答：真命题第33页2.举反例说明以下命题是假命题：（1）两个锐角和是钝角；（2）假如数a，b积ab＞0，那么a，b都是正数；（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.答：直角三角形两个锐角和不是钝角答：-1和-3积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数.答：两条相交直线a、b被第三条直线l所截，它们同位角不相等第34页3.试写出两个命题，要求它们不但是互逆命题，而且都是真命题.答：两直线平行，内错角相等。内错角相等，两直线平行。第35页观察、操作、试验是人们认识事物主要伎俩，而且人们能够从中猜测发觉出一些结论.第36页采取剪拼或度量方法，猜测“三角形外角和”等于多少度.做一做第37页从剪拼或度量能够猜测三角形三个外角之和等于360°，不过剪拼时难以真正拼成一个周角，只是靠近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能靠近360°，但不能很准确地都得到360°.第38页另外，因为不一样形状三角形有没有数个，我们也不可能用剪拼或度量方法来一一验证，所以，我们只能猜测任何一个三角形外角和都为360°.第39页此时猜测出命题仅仅是一个猜测，未必都是真命题.要确定这个命题是真命题，还需要经过推理方法加以证实.第40页数学上证实一个命题时，通常从命题条件出发，利用定义、基本事实以及已经证实了定理和推论，经过一步步推理，最终证实这个命题结论成立.证实每一步都必须要有依据.第41页证实命题“三角形外角和为360°”是真命题.动脑筋第42页在分析出这一命题条件和结论后，我们就能够按以下步骤进行：已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.第43页证实如图，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式性质).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第44页证实与图形相关命题时，普通有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证实过程依据题意依据命题条件和结论，结合图形经过分析，找出证实路径第45页例1

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.举例第46页证实：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式性质）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分线定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）第47页例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC内角.求证：∠A，∠B，∠C中最少有一个角大于或等于60°.

分析这个命题结论是“最少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.假如直接来证实，将很繁琐，所以，我们将从另外一个角度来证实.第48页证实假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.所以，∠A，∠B，∠C中最少有一个角大于或等于60°.第49页像这么，当直接证实一个命题为真有困难时，我们能够先假设命题不成立，然后利用命题条件或相关结论，经过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证实命题正确，这种证实方法称为反证法.反证法是一个间接证实方法，其基本思绪可归结为“否定结论，导出矛盾，必定结论”.第50页练习1.在括号内填上理由.已知：如图，∠A+∠B=180°.求证：∠C+∠D=180°.证实：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°