全等三角形习题集选含答案解析

..经典三角形证明题选讲〔含答案〕三角形辅助线做法线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验1.：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADAADBC1.证明：延长AD到E,使DE=AD,那么△ADC≌△EBD∴BE=AC=2在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE，∴10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整数,那么AD=5思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。2.：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2ABCDEFABCDEF21∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF(边角边).∴BF=EF,∠CBF=∠DEF.连接BE.在△BEF中,BF=EF，∴∠EBF=∠BEF又∵∠ABC=∠AED，∴∠ABE=∠AEB.∴AB=AE在△ABF和△AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF.∴△ABF≌△AEF∴∠1=∠2.思路点拨：解答此题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB、AE在同一个△ABE中，可利用∠ABE=∠AEB来证明.同一三角形中线段等，可用等角对等边BACDF21E3.：∠1=∠BACDF21E证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G那么∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE〔AAS〕∴EG=AC∵EF∥AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。4.：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AC到E使CE=CD，连接ED，那么∠CDE=∠E∵AB=AC+CD∴AB=AC+CE=AE又∵∠BAD=∠EAD，AD=AD∴△BAD≌△EAD∴∠B=∠E∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠ACB=2∠B方法二在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD〔SAS〕∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD，AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短5.：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：过C作CF⊥AD交AD的延长线于F.在△CFA和△CEA中∴∠CFA＝∠CEA＝90°又∵∠CAF＝∠CAE，AC=AC∴△CFA≌△CEA，∴AE＝AF＝AD＋DF，CE=CF∵∠B＋∠ADC＝180°，∠FDC＋∠ADC＝180°∴∠B＝∠FDCE在△CEB和△CFD中，CE=CF,∠CEB＝∠CFD＝90°,∠B＝∠FDCE∴△CEB≌△CFD∴BE＝DF∴AE＝AD＋BE思路点拨：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现6.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°;又∵∠EFB+∠EFC=180°,∴∠EFC=∠D;又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE,∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.∴BC=BF+FC=AB+CD.思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短法二：延长BE交CD的延长线于点F，易证BC=FC=FD+DC又∵∠BCE=∠FCE∴BE=FE;易证⊿ABE≌ΔDFE∴AB=FD∴BC=AB+DC法三：易证∠BEC=90°,取BC中点F，连接EF,那么；∴∠FEB=∠FBE=∠ABE∴AB∥EF同理DC∥EF又∵F为BC中点∴E为BC中点∴∴BC=AB+DC思路点拨：三角形两边有中点，连接可得中位线。梯形一腰有中点，亦可尝试中位线法四：过E作EF//AB交BC于点F,那么∠FEB=∠ABE=∠FBE∴EF=BF,同理EF=CF,∴BF=CF,EF=又∵EF//AB//DC∴AE=ED∴∴BC=AB+DC思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠CDDCBAFE证明：连接BE∵AB∥ED,∴∠ABE=∠DEB又∵∠EAB=∠BDE,BE=EB∴△ABE≌△DEB，∴AE=DB又∵AF=CD,EF=BC∴△AFE≌△DCB，∴∠C=∠F8．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．证明：延长AD至H交BC于H;∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB∵∠1=∠2，∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC思路点拨：中线、垂线、角平分线，三线合一试试看。9．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ∴MA=MB∴∠MAB=∠MBA∵∠OAM=∠OBM=90度∴∠OAB=90-∠MAB，∠OBA=90-∠MBA∴∠OAB=∠OBA思路点拨：同一三角形中角相等，可用等边对等角10：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：AF⊥CDAABCDEF证明：同2先证出AB=AE,然后连接AC、AD,再证明△ABC≌△AED，从而AC=AD,又∵F是CD的中点，∴AF⊥CD11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：BD=DC．证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB又∵∠1=∠2∴∠DBC=∠DCB∴BD=DC．12〔改编〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠ADC，求证：BD=DC．提示：将△ADB绕点A逆时针旋转∠BAC得△AEC，连接DE,可证出∠CDE=∠CED从而CD=CE=BD思路点拨：当题中出现等腰三角形时，可以考虑用旋转的方法翻开思路，添加辅助线。特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形时，更是如此13．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，假设AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．〔1〕求证：MB=MD，ME=MF〔2〕当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？假设成立请给予证明；假设不成立请说明理由．〔1〕证明：连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；〔2〕解：上述结论仍然成立证明如下：连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．此题也可以用证明两次三角形全等的方法14．：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，〔1〕求证：△AED≌△EBC．〔2〕观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．〔直接写出结果，不要求证明〕：(1)证明：∵DC∥AE，且DC=AE，∴四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，∴△AED≌△EBC。〔2〕解：△AEC、△ACD、△ECD都与△AED面积相等。15．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证明：∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CE思路点拨：如何发现哪两个三角形全等？可以通过旋转来发现16、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。证明：∵BE∥CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.17、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在△ABD与△ACD中AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD∴∠BDF=∠FDC在△ABF与△ACF中AB=AC,∠BAD=∠CAD,AF=AF△ABF≌△ACF,∴BF=CF此题也可利用线段的垂直平分线定理来证，该证法更简洁18、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。证明：∵AB=DCAE=DFCE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE≌△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE∴△ABF≌△CDE∴AF=DE此题亦可用平行四边形的知识来证明19..公园里有一条"Z〞字形道路ABCD，如下图，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证明：∵AB平行CD〔〕∴∠B=∠C〔两直线平行，错角相等〕∵M在BC的中点〔〕∴BM=CM〔中点定义〕在△BME和△CMF中BE=CF〔〕∠B=∠C〔已证〕BM=CM〔已证〕∴△BME≌△CMF〔SAS〕∴∠EMB=∠FMC〔全等三角形的对应角相等〕∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°〔等式的性质〕∴E，M，F在同一直线上思路点拨：要证明E、M、F三点在同一条直线上，只需证明∠EMF=180°20．：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．证明：∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴△ABE≌△CDF〔SAS〕21．：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，ACBDEFACBDEF证明：连接BC∵AB=AC，∴∠EBC=∠DCB∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BEC=∠CDB∵BC=CB(公共边)∴△EBC≌△DCB∴BE＝CD也可证△CEA≌△BDA，从而AE=AD,又AB=AC，∴AB-AE=AC-AD，∴BE＝CD22.：如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．假设AB=5,DCBADCBAE解：∵∠C=∠E=90度∠B=∠EAD=90度-∠BACBC=AE∴△ABC≌△DAE∴AD=AB=523．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明∵AB=AC,∴∠B=∠C∵ME⊥AB，MF⊥AC∴∠MEB=∠MFC=90°又∵ME=MF，∴△BEM≌△CFM∴MB=MC24．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①≌②；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，〔1〕中的结论还成立吗？假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由.〔1〕①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．〔2〕∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE25．如下图，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：〔1〕EC=BF；〔2〕EC⊥BFAAEBMCF〔1〕∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC〔SAS〕，∴EC=BF；〔2〕如图，根据〔1〕，△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM〔对顶角相等〕，∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．26．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，=AB。求证：〔1〕AM=AN；〔2〕AM⊥AN。证明：〔1〕∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠A+∠BAC=90°∴∠ABM=∠A∵BM=AC，=AB∴△ABM≌△NCA∴AM=AN〔2〕∵△ABM≌△NAC，∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN也可先证明△BFM≌△CFA得BF=CF,FM=FA又∵=AB∴AB-BF=-CF∴FA=FN,∴FM=FA=FN,又∵∠AFM=∠AFN=90°∴AM=AN,∠3=∠4=45°∴AM⊥AN27．如图,∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF证明：在△ABF和△CDE中,AB=DE，∠A=∠D，AF=CD∴△ABF≡△CDE〔边角边〕，∴FB=CE在四边形BCEF中，FB=CE，BC=EF∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC‖EF29、如图,:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．证明：∵AD是△ABC的中线∴BD=CD∵DF=DE〔〕，∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC∴∠EBD=∠FCD∴BE∥CF〔错角相等，两直线平行〕28、：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．ADECADECBF证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴∠C=∠A，∴AB∥CD．AACEDB29、如图，AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜测线段CE与DE的大小与位置关系，并证明30、如图，AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.AABECD证明：∵AB=DC,AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB又∵BE=CE，AB=DC∴△ABE≌△DCE∴AE=DEABCDEF图9*31如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点FABCDEF图9证明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=∠DCG=45°∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90°∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG=∠BCD=BD∴△CDG≌△BDE∴∠ADC=∠BDE32、：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：DABC延长CD与P，使D为DABC∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB

33.：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CAABCD证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，〔当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点〕。那么：△AED是等腰三角形。∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE(等量加等量，或等量减等量〕∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.34.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-ABPPDACB在AC上取点E，使AE＝AB。∵AE＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。PC＜EC＋PE

∴PC＜〔AC－AE〕＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。35.∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴点E也是BD的中点∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE36.，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCFAEDCB∵作AG∥BD交DE延长线于G

∴AGE全等BDE

∴AG=BD=5∴FAEDCB37.〔7分〕如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证明：∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四点共元∵∠ABE=∠CBE∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，那么：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等〕∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE

38、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF∴△AED≌△BFC〔SAS〕39、〔10分〕如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.40.：如下图，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。DDBCcAFE连接BD；∵AB=ADBC=D

∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；∵BC=DCE\F是中点∴DE=BF；∵AB=ADDE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF。41．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．证明：在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA∴△ADC≌△ABC〔两角加一边〕∵AB=A