浙教版数学八年级上册 第2章特殊三角形微专题-动点问题训练3（含解析）

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第2章特殊三角形微专题——动点问题训练3

1．在中，，点是直线上一动点（不与，重合），以为一边在的右侧作，使，，，连接．

(1)如图，点在边上，求证：．

(2)在（）的条件下，若，求证：．

(3)若，，则．

2．如图，、都是等边三角形，点E，F分别是，上两个动点，满足．与交于点G，连接．

(1)求的度数；

(2)已知，求的长．

3．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．

(1)直接写出______；

(2)当平分时，求的值；

(3)当为等腰三角形时，求的值．

4．已知：如图，在中，，于点，是上的一动点，点在直线上，且．

(1)求证：．

(2)如图1，求证：．

(3)如图2，如果，，，当正好平分时，直接写出的面积为___________．

5．在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上且，平分交于点，连接．

(1)如图，求证：；

(2)如图，当时，求证：；

(3)如图，当，且时，请直接写出和之间的数量关系：不用写证明过程．

6．如图，点分别是等边边上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接交于点．

(1)与全等吗？请说明理由；

(2)当点分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

7．如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．

(1)求证：；

(2)当t取何值时，与全等．

8．如图，在中，，，点O为的中点，点D是线段上的动点（点D不与点O，C重合），将沿折叠得到，连接．

(1)当时，______________°；

(2)探究与之间的数量关系，并给出证明；

9．如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F．

(1)如图①，点O与点A重合时，点，分别在线段，上，求证：；

(2)如图②，当点O在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由；

(3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长．

10．如图1，在中，于点，，，过点作于点，交于点．

(1)求线段的长度；

(2)连接，求证：；

(3)如图2，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连接，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变，若改变，请求出的变化范围；若不改变，请求出的值．

11．如图1，中，，

(1)如图2，点是边上一点，沿着折叠，点恰好与斜边上点重合，求的长．

(2)如图3，点为斜边上上动点，连接，在点的运动过程中，若为等腰三角形，请直接写出AF的长．

12．已知为等边三角形，点为直线上的一动点（点不与、重合），以为边作等边（顶点、、按逆时针方向排列），连接．

(1)如图①，当点在边上时，求证：①，②；

(2)如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，当点在边的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、、之间存在的数量关系．

13．如图所示，是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（Q不与B重合），过点P作于点E，连接交于点D．

(1)当时，求的长．

(2)试说明：在运动过程中，点D是线段的中点．

(3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长：如果变化，请说明理由．

14．在等腰中，，，动点F在射线BC上，点E是AF上一点．

(1)如图，若点F在延长线上，点D为内一点，且满足，，求证：．

(2)如图，若点F在边BC上，且满足，，面积为33，求AE的长．

15．如图，在中，，为斜边上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将逆时针旋转90°得到，连接为中点．

(1)求证：；

(2)用等式表示线段三者之间数量关系，并说明理由

16．如图，在中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点C出发，按C-A-B-C的路径运动（回到C点停止），且速度为每秒3个单位，设出发时间为t秒．

(1)求BC边上的高线AE的长与AC边上的高线BD的长；

(2)当时,求t的值；

(3)若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的t的值．

17．在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点．

(1)如图1，当点在上时，填空：（填“”、“”或“”）．

(2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．

18．在中，，点D为边的中点，动点P以每秒2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒（t>0）．

(1)用含t的代数式表示线段的长．

(2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值．

(3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数为．

参考答案：

1．(1)见解析

(2)见解析

(3)或

【分析】（1）先求得，根据即可证明全等；

（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质即可证明；

（3）分为点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况讨论即可．

【详解】（1）证明：，

，即．

在和中，

．

（2）证明：，，

．

．

．

．

．

（3）解：当点D在线段上，如图，

∵，

由（2）可得，，

即，

∵，，

∴

∴；

当点D在线段的延长线上，如图，

，

，即．

在和中，

．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴；

综上，为或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

2．(1)

(2)8

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，，进而证明，得出，然后根据三角形的外角的性质即可得出答案．

（2）延长到点H，使，连接，先证明都是等边三角形，再得出，证明，得出即可得出答案．

【详解】（1）∵、都是等边三角形，

∴，，，

在和中，

∴，

∴，

∴

（2）延长到点H，使，连接，

∵

∴都是等边三角形，

∴，，

∵都是等边三角形，

∴，，

∴即，

∴，

∴

∴的长为8．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．

3．(1)8

(2)

(3)的值为或或

【分析】（1）利用勾股定理求解即可；

（2）如图中，当平分时，过点作于点利用面积法构建方程求解；

（3）根据勾股定理先求出，再由为等腰三角形，只要求出的长即可，分三类，当时，则；当；当时，如图：设，则，在中，由勾股定理列出方程可求出的长．

【详解】（1）解：在中，，，，

．

故答案为：；

（2）解：如图中，当平分时，过点作于点．

平分，，，

，

，

，

；

（3）解：为等腰三角形，

当时，则，即；

当时，则；

当时，如图：

设，则，

在中，由勾股定理得：

，

，

解得，

．

综上所述：的值为或或．

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．

4．(1)见解析

(2)见解析

(3)8

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，根据，得出，根据三角形的外角性质得出，即可证明结论；

（2）根据已知条件先证明，得出，证明，根据，得出，得出，即可证明结论；

（3）过点E作于点G，连接，证明，得出，，根据等腰三角形的性质得出，求出，设，则，根据勾股定理列出方程，求出x的值，再求出，根据三角形的面积公式即可得出答案．

【详解】（1）证明：∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴；

（2）证明：连接，如图所示：

∵，，

∴，

∴垂直平分，

∴，

∴，

，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴；

（3）解：过点E作于点G，连接，如图所示：

根据解析（2）可知，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵平分，

∴，

，

∴，

根据解析（2）可知，，

∴，

∴，，

根据解析（2）可知，，

∵，

∴，

∵，

∴，

设，则，

在中，，

即，

解得：，

∴，

∵，

∴．

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．

5．(1)见解析

(2)见解析

(3)．

【分析】（1）证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论；

（2）在上截取，连接，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，进而证明为等边三角形，结合图形证明结论；

（3）结论：，延长、交于，证明，得到，再证明≌，得到等量代换得到答案．

【详解】（1）证明：平分，

，

，，

，

在和中，

，

∴，

∴，

，

，

∴；

（2）证明：如图，在上截取，连接，

≌，

，，

在和中，

，

∴，

，

，，

是等边三角形，

，

∴

∵，

为等边三角形，

∴，

∴；

（3）解：结论：．

如图，延长、交于，

∵，

，

，

，

，

，

，，，

，

，

，

在和中，

∵，

∴，

∴，即，

，

∴，

在和中，

，

，

∴，

∴．

【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

6．(1)全等，理由见解析

(2)不变，

【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用“”证明即可；

（2）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到．

【详解】（1）与全等，理由如下：

∵是等边三角形

∴，

又∵点运动速度相同，

∴，

在与中，

，

∴；

（2）点在边上运动的过程中，不变．

理由：∵，

∴，

∵是的外角，

∴，

∵，

∴．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．

7．(1)见解析

(2)

【分析】（1）证明，即可得证；

（2）利用时，与全等，分点在线段上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可．

【详解】（1）证明∶∵

∴

在和中，

∴；

∴；

（2）若与全等，且，

∴，

∵，

∴，

①当时，点在线段上，点在线段上，

∴

∴，

∴（不合题意，舍去）；

②当时，点在线段上，点在线段上，

，

∴，

∴，

综上所述，当时，与全等．

【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形全等，以及全等三角形的对应边相等是解题的关键．

8．(1)60

(2)，证明见解析

【分析】（1）由折叠的性质可得，由等边三角形的判定和性质可求解；

（2）由折叠的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解．

【详解】（1）解：，，，

，

将沿折叠得到，

，

，

∴是等边三角形，

，

故答案为：60；

（2）解：，理由如下：

将沿折叠得到，

，，

，，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

9．(1)见解析

(2)，理由见解析

(3)或或

【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由“SAS”可证；

（2）过点O作，交于，可证是等边三角形，可得，由“SAS”可证，可得，即可得；

（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．

【详解】（1）证明：如图①中，

∵与为正三角形，

∴，，

∵将射线绕点O逆时针旋转，

∴，，

∴，

∴，

∵，，

∴（SAS）；

（2）解：，理由如下：

如图②，过点O作，交于H，

∴，，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴；

（3）解：作于H．∵，，

∴，

如图③﹣1中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．

∵，

∴，

∴，

过点O作，交于N，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∵，，

∴（SAS），

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴；

如图③﹣2中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．

同法可证：，

∴，

∴；

如图③﹣3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段BC上时．

同法可证：，

∵，，

∴，

∴；

如图③﹣4中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．

同法可知：，

而，

∴，

∴；

综上所述，满足条件的的值为或或．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．

10．(1)

(2)见解析

(3)的值不发生改变，等于

【分析】(1)证，即可得出；

(2)过分别作于点，作于点，证，得出．得出平分，即可得出结论；

(3)连接OP，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出．证，得，进而得出答案．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴,

在和中，

，

∴，

∴；

（2）过分别作于点，作于点，如图所示：

在四边形中，，

∴．

在与中，

，

∴，

∴．

∵，，

∴平分，

∴；

（3）的值不发生改变，等于．理由如下：

连接，如图2所示：

∵为的中点，

∴，

∴，

∴．

∵，

即，

∴．

在和中，

，

∴，

∴，

∴

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与判定，等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识，证明三角形全等是解题的关键．

11．(1)

(2)或

【分析】（1）设，则，根据折叠的性质得出，，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；

（2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．

【详解】（1）解：设，则

∵，

∵沿着折叠，点恰好与斜边上点重合

∴，，

∴

在中，

∴

解得，

∴；

（2）解：∵是等腰三角形，

①，

∴，

②当时，如图，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

③∵点为斜边上上动点，所以不存在，

综上所述，或．

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解题的关键．

12．(1)①证明见解析；②证明见解析

(2)结论不成立，，理由见解析

(3)补全图形见解析，，理由见解析

【分析】（1）①只需要利用证明即可证明；②根据等边三角形的性质和（1）的结论，可证；

（2）同（1）证明得到，即可证明；

（3）先根据题意画出对应的图形，同理可证得到，即可证明．

【详解】（1）解：①∵和都是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

②∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴；

（2）解：结论不成立，，理由如下：

∵和都是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

∵，

∴；

（3）解：补全图形如下所示，，理由如下：

∵和都是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

∵，

∴；

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．

13．(1)3

(2)理由见详解

(3)在运动过程中，线段的长不发生变化，为定值

【分析】（1）设，则，证明，则，即，解方程即可；

（2）如图，过点P作，交于点F，先证明是等边三角形，推出，在利用证明，得到，即可证明结论；

（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质分别证明，，即可得到．

【详解】（1）解：设，则．

∵，（等边三角形的性质），

∴，

∴，即

解得，即；

（2）解：如图，过点P作，交于点F，

∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴．

∵

∴，

又∵

∴，

∴，

∴在运动过程中，点D是线段的中点

（3）解：在运动过程中，线段的长不发生变化．

∵是等边三角形，，

∴．

又，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

14．(1)见解析

(2)AE的长为6

【分析】（1）根据证明，即可得出答案；

（2）过点C作较的延长线于点G，连接，根据证明，得出，，证明，根据三角形面积公式得出，求出即可．

【详解】（1）证明：∵，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴．

（2）解：过点C作较的延长线于点G，连接，如图所示：

则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

即，

解得：或（舍去），

故AE的长为6．

【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，解题关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．

15．(1)见解析

(2)，见解析

【分析】（1）证明，推出，可得结论；

（2）结论：．延长交的延长线于点T．证明，，在中，利用勾股定理，可得结论．

【详解】（1）如图，

∵以C为旋转中心，将逆时针旋转90°得到，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）结论：

理由：延长交的延长线于点T．

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

16．(1)4，

(2)

(3)2.6或或或．

【分析】（1）如图，根据等腰三角形的性质可得，然后再运用勾股定理可求得，然后再根据即可求得；

（2）如图：过C作于F，先求得，进而求得，最后根据速度、路程和时间的关系即可解答；

（2）分①CA=CP.②CA=AP，③AP=PC三种情形，分由等腰三角形的性质和勾股定理分别求解即可．

【详解】（1）解：∵AB=AC=5，BC=6，BC边上的高线AE

∴

在中，

∵

∴,解得：．

（2）解：如图：过C作于F

同（1）的方法可得

在中，

∴当时，点P走过的路程为

∴．

（3）解：①当时且在AB上，如图：过点C作于点E，

∵

∴，

∵，

∴由（2）可得，

由勾股定理可得：

∴

∴；

当时且在BC上，则有

∴；

②如图，当时，即点P与点B