典型例题：分类加法计数原理

#图1例析分类加法计数原理分类加法计数原理虽然易学、能懂、好用，但要达到会用的境界，则需要把原理的理解提高到突出的位置一、突出“一个条件”在运用分类加法计数原理解决问题之前，要突出先判断问题是否符合该原理的条件一一分类，并且类与类之间互不相容从集合运算的角度分析就是：若问题符合原理中的条件AuB=U,AnB=。，则可得出结论card(U)=card(AUB)=card(A)+card(B)，即N=m+n例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数有个分析：从“个位数字大于十位数字的两位数”的题设信息，可知问题与分类有关，且可按十位数字的不同进行分类.解：・.,两位数中的十位数字小于个位数字，，十位上的数字可以取1,2,3,4,5,6,7,8，即两位数可分为八类，且每一类中满足条件的两位数依次是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.根据分类加法计数原理，共有N=8+7+6+5+4+3+2+1=36个两位数.二、突出“一件事情”在运用分类加法计数原理解决问题的过程之中，要突出弄清“一件事情”是什么，只有准确理解了“一件事情”的含义，才能进一步分析有几类方案去“完成一件事情”，用每一类的任何一种方法是否都可以“独立完成一件事情”等问题例207广东卷如图1是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给ab,c,D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将a,B,C,D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次几件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为“为A15 B16C17 D18分析：一件事情是“一件配件从一个维修点调整到相邻维修点的一次调动”，且分为A-D,B.C,C-D三类.解：分三类：第一类，4维修点中的10个配件移动到D维修点，这时A维修点已满足40个配件的条件，且有调动件次为10；第二类，B维修点中的5个配件移动到c维修点，这时B维修点已满足45个配件的条件，且有调动件次为5；第三类，c维修点的1个配件移动到D维修点，这时c、D维修点已分别满足54、61个配件的条件，且有调动件次为1．根据分类加法计数原理，最少的调动件次为N=10+5+1=16，故选B点评：把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总

数”区别开来，通过阅读分析即可找到“一件事情”是什么.三、突出“一个原则”分类时要突出一个原则，那就是“不重不漏”具体地说，分类时首先要根据问题的特点确定一个标准，然后在这个标准下进'II——0'II——0图2例3如图2,电路中有4个电阻和一个电流表入，若没有电流流过电流表A，其原因仅因电阻断路的可能性有A9种B10种CH种D12种分析：完成“因电阻断路而没有电流流过电流表A”这件事，若以同时考虑R,R是否断路为标准，则可分为四类.TOC\o"1-5"\h\z1 4解：分四类：第一类，若尺断路尺断路，则尺或R可断路也1 4 2 3可不断路，有4种情况；第二类，若尺断路氏不断路，则尺与A1 4 2 3至少有一个断路，有3种情况；第三类，若尺不断路尺断路，则4尺或A可断路也可不断路，有4种情况；第四类，若尺不断路尺3 1 4不断路，则不可能断路.根据分类加法计数原理，共有N=4+3+4+0=H种可能性，故选C.点评：标准不同其分类的结果也不同，本题也可以只考虑尺1（或尺）是否断路为标准分为两类，但这时求某类的方法数可能4会困难一些.四、突出“一种思想”理解分类加法计数原理时还要突出一种思想，这也是最基本、最重要的思想方法：当面临一个复杂问题时，可以分解为若干个简单的问题，然后分类解决，各个击破，再将它们整合起来得到整个问题的解决，达到以简驭繁、化难为易的效果例4如图3,小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标134M注的数字表示该段网线单位时间内可以通过 图;的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是A26 B24C20D19分析：完成“从结点A向结点B传递信息”这件事，若以网线为标准，则也可分为四类，从而分解为若干个简单的问题后再各个击破.解：分四类：第一类，网路线为12件5告3，单位时间传递的最大信息量是3；第二类，网路线为12告6f4，单位时间传递的最大信息量是4；第三类，网路线为12-6f7，单位时间传递的最大信息量是6;第四类，网路线为12f8f6，单位时间传递的最大