北师大版九年级数学下册 （确定二次函数的表达式）二次函数教育教学课件

2.3确定二次函数的表达式第二章二次函数

学习目标1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？2个2个待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）复习引入关于y轴对称∴特殊条件的二次函数的表达式已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.a=2，c=－5.解得{{新课讲解1例11.已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（－2,8）和（－1,5），图象经过原点8=4a－2b，5=a－b，∴

解得a=－1,b=－6.∴y=－x2－6x.{新课讲解针对训练顶点法求二次函数的表达式

选取顶点（－2，1）和点（1，－8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k,把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得

y=a(x＋2)2＋1，再把点（1，－8）代入上式得

a(1＋2)2＋1=－8，

解得a=－1.∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1

或y=－x2－4x－3.新课讲解2例2顶点法求二次函数的方法这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x－h)2＋k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.归纳总结2.

一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为

y=a(x－8)2＋9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得

1=a(0－8)2＋9.

解得∴所求的二次函数的表达式是新课讲解针对训练

解：∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得

y=a(x＋3)(x＋1).再把点（0，－3）代入上式得a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋3)(x＋1),即y=－x2－4x－3.

选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），试求出这个二次函数的表达式.

xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512新课讲解交点法求二次函数的表达式3例3交点法求二次函数表达式的方法这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于

a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.归纳总结

确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.新课讲解问题一般式法求二次函数的表达式

（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x－3－2－1012y010－3－8－15新课讲解4问题1解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（－3，0），（－1，0），（0，－3）代入y=ax2+bx+c得①选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），

试求出这个二次函数的表达式.

9a－3b+c=0，a－b+c=0，c=－3，解得a=－1，b=－4，c=－3.∴所求的二次函数的表达式是y=－x2－4x－3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写表达式）新课讲解这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2＋bx＋c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.一般式法求二次函数表达式的方法新课讲解

3.

一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得∴所求的二次函数的表达式是新课讲解针对训练1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是

.

注y=ax2与y=ax2＋k、y=a(x－h)2、y=a(x－h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-421345随堂即练2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是

.顶点坐标是（1，6）y=－2(x－1)2＋6随堂即练3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)

和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝－5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，随堂即练4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.随堂即练5.综合题：如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，

求△ABC的面积．ABCxyO(1)(2)△ABC的面积是6.随堂即练6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，FB．E，GC．E，HD．F，GC随堂即练7.如果抛物线y=x2－6x+c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8B．14C．8或14D．－8或－14C随堂即练8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；随堂即练(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C

在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28.随堂即练①已知三点坐标②已知顶点坐标或对称轴或最值③已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x－h)2+k用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)

(x1,x2为交点的横坐标）待定系数法求二次函数解析式课堂小结确定二次函数的表达式

第二章二次函数知识点1

用一般式(三点式)确定二次函数表达式1.图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点的二次函数的表达式是

(D)A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+22.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知,y与x之间的函数表达式为

(A)A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+83.抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB,求抛物线的表达式.解:由y=ax2+bx-3得点C(0,-3),∴OC=3.∵OC=3OB,∴OB=1,∴点B(-1,0).把点A(2,-3),B(-1,0)代入y=ax2+bx-3,∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.知识点2

用顶点式确定二次函数表达式4.某二次函数的图象如图所示,则它的表达式为

(D)

A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2)C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(-2,5),且经过点(1,-4),试确定a,b,c的值.解:由题意可设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+5,把点(1,-4)代入上式,得-4=a(1+2)2+5,解得a=-1,∴二次函数的表达式为y=-(x+2)2+5=-x2-4x+1,∴a=-1,b=-4,c=1.知识点3

用交点式确定二次函数表达式6.抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数表达式为

(D)A.y=2x2-2x-4 B.y=-2x2+2x-4C.y=x2+x-2 D.y=2x2+2x-47.已知某抛物线与x轴的交点坐标是A(-3,0),B(2,0),且经过点C(1,4),求该抛物线的表达式.解:(1)设该抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-2)(a≠0).则-4a=4,解得a=-1,则y=-(x+3)(x-2),即该抛物线的表达式为y=-x2-x+6.综合能力提升练8.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其表达式中的二次项系数一定小于1的是

(A)

A.y1 B.y2 C.y3 D.y49.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A,B,C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是

(B)

A.a+b=-1 B.a-b=-1C.b<2a D.ac<010.若抛物线C:y=ax2+bx+c与抛物线y=x2-2关于x轴对称,则抛物线C的表达式为

(C)A.y=x2-2 B.y=-x2-2

C.y=-x2+2D.y=x2+211.将抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的表达式为y=x2-2x-3,则b,c的值分别为

(B)A.2,2 B.2,0 C.-2,-1D.-3,212.若二次函数y=x2-8x+c的最小值是0,则c的值是

(D)A.4 B.8 C.-4 D.1613.二次函数y=x2-3x+m的顶点在x轴上,则m的值是

.

14.已知二次函数图象的对称轴是直线x=-3,图象经过点(1,6),且与y轴的交点为(1)求该二次函数的表达式;(2)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x值的增大而增大?15.(赤峰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).(1)求二次函数的表达式和直线BD的表达式;(2)P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值.解:(1