概率论与数理统计 计算公式

概率论与数理统计公式集锦密度函数公式名称公式表达式德摩根公式Aub=Anb，Anb=Aub古典概型mA包含的基本事件数P(A)=n=基本事件总数概率论与数理统计公式集锦密度函数公式名称公式表达式德摩根公式Aub=Anb，Anb=Aub古典概型mA包含的基本事件数P(A)=n=基本事件总数几何概型P(A)=血，其中卩为几何度量(长度、面积、体积)g)求逆公式P(A)=1-P(A)加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(AUB)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，BuA时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式与乘法公式P(B|A)=P(A))P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(A|B)P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB)全概率公式P(A)=EP(B)P(AB)iii=1贝叶斯公式(逆概率公式)P(B|A)=P(Bi)"AEiEP(B)P(AB)iii=1两个事件相互独立P(AB)=P(A)P(B)；P(B|A)=P(B)；P(BA)=P(BA)；二、随机变量及其分布1、分布函数「工P(X=x)kF(x)=P(X<x)彳程x,P(a<X<b)=F(b)—F(a)Jxf(t)dt—g分布名称密度函数分布函数均匀分布X~U(a,b)f(x)=<f1,,a<x<bb—a.0,其他F(x)=<0,x<ax一a/,,a<x<bb一a1,x>b3、续型随机变量及其分布分布名称指数分布

X~e(九)0,x<0正态分布X~N(映2)标准正态分布XN(0,1)pijxi<xyi<ypjijiP(Y=y|x=x)=作,j=1,2,•…

jipi-i=1,2,…,—g—g性质：F(+g,+g)=1,y)=f(x,y),P((x,y)eG)=Uf(x,y)dxdyG+g—g—gy+g—g+g+g—g四、—g随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型E(X)=£°—g、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望方差0-1分布b(1,p)pp(1-p)二项分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(2)九九均匀分布U(a,b)a+b2(b—a)212正态分布N(r,a2)R72指数分布e(2)丄九1221、切比雪夫不等式每次试验中发生的概率，则V£>0，有：limP|卜—nTgnN(0,1)一、随机事件与概率分布名称分布律0-分布X~b(1,p)P(X=k)=pk(1—p)1-k,k=0,1二项分布X~b(n,p)P(X=k)=Ckpk(1—p)n-k,k=0,1,…,nn泊松分布X~P(九)九kP(X=k)=k=0,12…・k!2、离散型随机变量及其分布分布函数1-e—2x,x>00,x<0Q(x)=1Jxe—212dt2兀—g4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：P(Y=y)=工p,i=1,2,…’.jg(x.)=y.连续型：①分布函数法，②公式法f(y)=f(h(y))-|h'(y)|(x=h(y)单调)三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：P(X=x,Y=y)=p,i,j=1,2,•••分布函数F(X,Y)=EEijij边缘分布律：p=p(X=x)=Ypi-ijjL-、P..•j,i厂”厂p-j2、连续型二维随机变量及其分布①分布函数及性质分布函数：F(x,y)=JxJyf(u,v)dudvdxdy边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：FX(x)=JJf(u,v)dvdu密度函数：fX(x)=Jf(x,v)dvXX—g—g—gFY(y)=JJf(u,v)dudvfY(y)=Jf(u,y)du—g条件概率密度f(y|x)=f(x,y)，—g<y<+g，fI(x|y)=f(x,y)，—g<x<+gYxfX(x)'々Y'fY(y)3、随机变量的独立性随机变量X、Y相互独立oF(x,y)=F(x)F(y)，XY离散型：p=pp，连续型：f(x,y)=f(x)f(y)iji..jXY4、二维随机变量和函数的分布离散型：P(Z=z)=EP(X=x,Y=y)kijxi+yj=zk连续型：f(z)=J+gf(x,z—x)dx=J+gf(z—y,y)dyZxp，连续型E(X)=J+gxf(x)dxkk

②性质：E(C)=C,E[E(X)]=E(X)，E(CX)=CE(X)，E(X土Y)=E(X)土E(Y)E(aX土b)=aE(X)土b，当X、Y相互独立时：E(XY)=E(X)E(Y)2、方差定义：D(X)=E[(X—E(X))2]=E(X2)—E2(X)性质：D(C)=0，D(aX土b)=a2D(X)，D(X土Y)=D(X)+D(Y)土2Cov(X,Y)当X、Y相互独立时：D(X土Y)=D(X)+D(Y)3、协方差与相关系数协方差：Cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y)，当X、Y相互独立时：Cov(X,Y)=0相关系数：D=Cov(X,Y)，当X、Y相互独立时：p=0(X,Y不相关)pxf页X)TDY)XY协方差和相关系数的性质：Cov(X,X)=D(X)，Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)，Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y)4五、大数定律与中心极限定理若E(X)=卩,D(X)=72,对于任意£>0有P{|X—E(X)|>£}<D(X)£22、大数定律：①切比雪夫大数定律：若X…X相互独立，1nE(X,)=□.,D(X.)=q2且72<C，贝y：丄EX.—丄EE(X.),(nTg)iiiiininii=1i=1伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在p<£丿辛钦大数定律：若X「…,X独立同分布，且E(X.)=卩，则丄EX.——tr1".nTgi=13、中心极限定理列维一林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量X.(i=1,2,…)，均值为R，方差为72>0，当n充分大时有：Y=(Ex—nnkk=1棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：随机变量X〜B(n,p)，则对任意x有：X—np12limP{<x}=Jxe—2dt=0(x)nTgnp(1—p)—g兀近似计算：P(aX<b)〜①(注)—①(呼)kJncJnak=1

六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体X〜F(x)，则样本的联合分布函数F(x,x…x)二冇F(x)12nk=1k2、统计量TOC\o"1-5"\h\z样本均值：X=丄£X.,样本方差：S2二丄乙X.-X)2二丄乙X2-nX2)n1n-11n-11i=1i=1i=1样本标准差：S=—£(X.-X)2,样本k阶原点距：A=1£Xk,k=1,2…■n—1ikn1'i=1i=1样本k阶中心距：B=1£(X—X)k,k=1,2,3…kni3、三大抽样分布曰⑴x2分布：设随机变量X.〜N(0,1)(i=1,2,…,n)且相互独立，则称统计量ix2=X2+X2+…X2服从自由度为n的x2分布，记为x2~x2(n)12n性质：①E[x2(n)]=n,D[x2(n)]=2n②设X〜x2(m),Y〜x2(n)且相互独立，则X+Y〜x2(m+n)⑵t分布：设随机变量X〜N(0,1),Y〜x2(n)，且X与Y独立，则称统计量：T==服从自由度为n的t分布，记为T〜t(n)Yn性质：①E(T)=0(n〉1),D(T)=—(n〉2)②limf(x)=®(x)=亠e-2n-2n十nV2k(3)F分布：设随机变量X〜x2(m),Y〜x2(n)，且X与Y独立，则称统计量F(m,n)=圣-空服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为Y；'nF〜F(m,n)，性质：设F〜F(m,n)，则1F〜f(n,m)七、参数估计1.参数估计定义：用e(x,x，…,x)估计总体参数0，称0(x,x，…,x)为o的估12n12n计量，相应的$(x,x,x)为总体0的估计值。12n当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法：基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体x的分布中包含有未知参数0,o，…,0，它的前k阶原点TOC\o"1-5"\h\z12k

矩卩=E(Xi)(i=1,2,…,k)中包含了未知参数0,0，…,0i12k即卩=g(0,0，…,0)(i=1,2,…,k)；又设x,x,x为总体X的n个样本ii12k12n值，用样本矩代替卩，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数i0,0，…,0的矩估计量00，…O。12k12k注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。3.点估计中的极大似然估计设3.点估计中的极大似然估计设X1，X2‘…X取自X的样本，设X〜f(x,0)或X〜p(x,0)，求法步骤:似然函数：L(0)=Hf(x,0)(连续型)或L(0)=Hp(x,0)(离散型)iiii=1i=1取对数：lnL(0)=£lnf(x,0)或lnL(0)=£lnp(x,0)iii=10=iii=10=0(x,x,x)1112n③解方程：匹=00…'讐=0,1k4.估计量的评价标准无偏性设0=0(x,x，…,x)为未知参数0的估计量。右E(0)-0，12n则称0为0的无偏估计量。有效性设01=01(x,x,x)和02=02(x,x,x)是未知参数1112n2212n0的两个无偏估计量。若D(01)<D(02)，则称01比02有效。致性设0n是0的一串估计量，如Ve〉0，有hmP(l0n-01>8)=0ns则称0n为0的一致估计量(或相合估计量)。5.单正态总体K参数的置信区间条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1-a的置信区间已知C2ZX-P=时N(0,1)OOx一z,x+z—<笃jn歩2』n‘1未知C2T=S/亦t(n—1)(-s-s、x一t/(n-1^^,x+1■(n一1)丁V建2Jn復2vn丿已知C2£(X-卩)2x2=£ii=1"丿x2(n)£(X-卩)2壬(X-卩)2i11x夕(n)'‘2v(n)a1-a丄2V丿未知C2(n—1)S2x2=O2x2(n-1)/、(n-1)S2(n-1)S2|xy(n-1)'xV(n-1)V龙21』2丿

基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平a，常取a=0.05，0.01或0.10。基本步骤①提出原假设H；②选择检验统计量g(X，…,X)；③对于a查表找01n分位数入，使P(g(X，…,X)gW)=a，从而定出拒绝域W；1n④由样本观测值计算统计量实测值g(x，…,x)；并作出判断：当实1n测值落入W时拒绝H，否则认为接受H。两类错误第一类错误00当H为真时，而样本值却洛入了拒绝域，应当否定H。这时，我们把客观上H成立判为H为不成立(即否定了真实的假设)，称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记a为犯此类错误的概率，即：P｛拒绝H」H为真｝=a；第二类错误00当H为真时，而样本值却洛入了接受域，应接受H。这时，我们把客观上H不成立判为H成立(即接受了不真实的假设)，称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记卩为犯此类错误的概率，即：P｛接受H」’为真｝=卩。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n定时，a变小，则卩变大；相反地，卩变小，则a变大。取定a要想使卩变小，则必须增加样本容量。1.假设检验的基本概念2.单正态总体均值和方差的假设检验条件原假设检验统计量统计量分布拒绝域已知O2H:卩=卩007X-RZ=7=0o/JnN(0,1)1zl>z/a2H:00z〉zaH:00z<-za未知O2H:卩=