日常教学融入数学史的一次尝试-椭圆及其标准方程教学案例

日常教学融入数学史的一次尝试-----椭圆及其标准方程教学案例孙军波浙江省温州中学数学组325000［关键词］：新课程，数学史，椭圆及其标准方程。前言新课程一个亮点就是把数学史引入到高中教学中，用历史来阐述一个知识是产生和发展。使学生对它有更深层次的了解，从而对数学研究产生兴趣。但数学史是作为单独的学科存在，还是在日常的教学中点点渗透颇有争议。笔者较倾向于后者。基于以上想法，以《椭圆及其标准方程》为平台设计了一节课，希各专家不吝赐教。正文一、数学实验安排学生按照书本给的提示，亲自体验一下一个轨迹的产生。同桌互助学习：“取一条定长的细绳，把它的两端固定，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉直，使笔尖在图板上慢慢移动，画出的轨迹是什么？”并请两组同学到黑板上作图。［设计意图］活用课本上的情景，学生亲自体验一下轨迹的产生。二、引入正题过渡语句:“虽然我们所做的图形大小不同，却有一定的相似，那么有哪些相似的地方呢？我们来思考两个问题。”（1）这些轨迹上的点有什么共同的特征？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？［设计意图］对表象抽丝剥茧，为研究其本质降低坡度。三、给出定义过渡语言:“这个图形就是我们称为椭圆，大家能否根据它的图象特征试着给出椭圆的定义”例如“到两定的距离之和是个常数的点的轨迹叫椭圆”尝试补充：引导给出“平面内”，“常数”，“常数〉两点距离”，等重要的细节。补充思考：“如果常数等于两点距离会是什么样的几何图形？（线段）常数小于两点距离会是什么样的几何图形？（没有几何图形）”最后给出正确的定义：平面内与两个定点F1F2的距离之和等于常数（大于IF1F2I）的点的轨迹叫作椭圆（ellipse）o这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。［设计意图］：不直接给出定义，让学生体会定义的产生过程，了解椭圆的几何特征。追问：生活中有没有见到类似椭圆形状的物体?［通过现实图象加深椭圆的印象］四、追溯历史过渡语言:“那有没有同学知道椭圆是怎么发现的呢？历史上又是谁最先研究的它的呢？”A早在公元前四世纪，以梅内克缪斯，阿波罗尼奥斯，阿基米德等为代表的古希腊数学家就已经发现并研究椭圆，他们用一个垂直于侧棱的平面去截圆锥（如图所示）发现了椭圆。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》更是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的简单的一些几何性质网罗殆尽。但椭圆有什么用，它还有什么特殊的几何特征这些重要的问题当时的人们却没有答案。这样的情况持续了近两千年。A直到1637年，笛卡儿发表了《几何学》，提出研究曲线的方程来研究曲线的性质！椭圆的研究才得以继续。今天我们将沿着前人的足迹，利用我们前面知识来求一下椭圆的方程。［设计意图］承上启下，与曲线与方程联系起来。钓起学生的胃口，也为为什么要研究椭圆的标准方程做了铺垫，顺带引出课后探索--“为什么圆锥的截口曲线是椭圆？”

五、方程研究根据求曲线的方程的步骤求椭圆的方程，适当予以说明。建系设点以两焦点所在直线为x轴，以两焦点的中垂线为y轴建立坐标系；如此建系有什么好处呢？设轨迹上任意一点M（x,y）找出条件设点Fl（-c,0）,F2（c,0）,设点M到两焦点距离之和为常数2a（为什么是2a呢?等我们推导完后再回头处理这个问题）列出方程由IMF1l+IMF2l=2a代如得x+c)2+y2+、：'(x—c)2+y2二2a万案一:万案一:nx+c)2+y2万案一:万案一:nx+c)2+y2二一£(x一c)2+y2+2an4cx=4a2一4ap'(x一c)2+y2na2一cx二ax一c)2+y2na4+c2x2一2a2cx=a2(x一c)2+a2y2n(a2一c2)x2+a2y2=a2(a2一c2)J(x+c)2+y2=a-d(1)VJ(x-c)2+y2=a+d(2)由(1)2—(2)2n4cx二—4ad…⑶由(1)2+(2)2nx2+c2+y2二a2+d2...(4)(3)代入(4)得(a2一c2)x2+a2y2二a2(a2一c2)［设计意图］以非常规推导激发学生思维，给予学生正确引导，拓展学生的能力。5.找寻b找出线段长为a,c,£a2—c2的线段吗?令找出线段长为a,c,£a2—c2的线段吗?令b=\；a2—c2那么式子就变为:把这个式子称为椭圆的标准方程（为什么开始要设2a?!）注意：（1）此方程表示的椭圆的焦点在x轴上；（2）我们没有证明“以满足方程的解为坐标的点都在椭圆上”（3）不同的建系方式，求出的椭圆方程是不同的；［设计意图］根据教学要求，突显b的出现，为下一节的几何性质奠定基础。6•其他建系情况思考题：如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为（0,-c）,（0,c）,a,b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？只需将x，y互换即可得两种形式的标准方程的比较:兰+兰=1(a>b>0)与兰+乂=1(a>b>0)a2b2a2b2Jnnn0椭圆的焦点在x轴上一-椭圆标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上一-椭圆标准方程中y2项的分母较大.［设计意图］根据教学要求，使学生充分认识到建系对方程的影响。六、知识巩固例：求适合下列条件的椭圆的标准方程.53两个焦点的坐标分别是（-2,0）、（2,0）并且经过点（2,-2），求它的标准方程x2y2根据定义及标准方程易得乔+二-=1。106［设计意图］可用定义求a，c,再求标准方程，亦可直接设标准方程，代点求系数。七、课后探索课堂总结：（略）课后探索：你能否根据椭圆的定义去证明梅内克缪斯发现的截口曲线是椭圆？探究与发现“为什么截口曲线是椭圆”［设计意图］活用课后探索，使得课本中的内容发挥最大的效用，并与课上椭圆历史的讲解相呼应，引起学生探索未知的欲望。课后自评本节课的设计简单归纳为：“钓鱼一杀鱼---了解鱼---吃鱼---消化鱼---回味鱼味”。郑毓信教授指出的，“我们所追求的不应是由'学校数学'向'日常数学'的简单'回归'，而应是两者在更高层次上的整合”。在本节课的设计上，我追求这样六个字：“缩短，平坡，精简”：缩短一一将原发现的冗长过程予以剪辑，变成短途径；平坡一一历史上原来的发现过程其坡度（难度）较大，所以要加以改造，使其变成对学生稍有难度而仍有学习的可能；精简一一削支强干，突出核心概念和重要的数学思想方法。虽然在实施细节上有很多商榷的地方，整体的安排和衔接的还是比较得到，通过对椭圆诞生到研究方程历史的讲解，学生恍然顿悟。不仅明白为