曲线拟合算法研究及分析

曲线拟合算法研究及分析作者姓名郭腾腾专业信息与计算科学指导教师姓名田霞专业技术职务副教授作者姓名郭腾腾专业信息与计算科学指导教师姓名田霞专业技术职务副教授目录摘要………………1第一章曲线拟合算法的简介………………2什么是曲线拟合算法………………2曲线拟合的大体思想………………2曲线拟合的概念……………………2

可化为线性拟合的非线性拟合……3第二章曲线拟合算法的研究………………4

曲线拟合的国内外研究现状………4曲线拟合的目的及意义…………4曲线拟合的国内外研究现状……5曲线拟合研究设计内容…………5

曲线拟合的最小二乘法……………6最小二乘法的大体原理和多项式拟合…………6一般最小二乘拟合………………11最小二乘拟合多项式的存在唯一性……………13多项式拟合中克服正规方程组的病态…………14第三章曲线拟合算法的评价……………16参考文献…………18致谢………………19附录………………20摘要判断最佳拟合那个数据的曲线的一个方式是通过找到误差的平均值分析绝对误差。平均误差越小方程拟合的越好。分析这条曲线的另一个办法是找到均方误差。咱们用均方误差代替平均误差。一样，均方误差越小，方程拟合的越好。平均误差和均方误差之间最主要的不同是均方误差考虑那些远离预测值的数据值。换句话说，远离预测值的数据对均方误差的影响要比平均误差更大。这是因为当一个两位数取平方时，若是他们没有被平方，他们的差会变大。统计学家们一般在分析顶用均方误差，所以咱们也用均方误差。在这里，通过对曲线拟合算法的进一步研究，咱们对这一算法有了更深刻地熟悉，并运用最小二乘法的原理，用列主元消去法编程实现了用改良的平方根法求正规方程组。关键词：曲线拟合最小二乘法列主元消去法平方根法ABSTRACTOnewaytojudgehowwellthecurvefitsthedataistoanalyzetheabsoluteerrorbyfindingthemeanoftheerror.Thesmallerthemeanerror,thebetterthefitofequation.Anotherwaytoanalyzethecurveistofindthemeansquareerror.Insteadoffindingthemeanoftheerror,wefindthemeanofsquaringtheerror.Again,thesmallerthemeansquareerror,thebetterthefitofequation.Themaindifferencebetweenmeanerrorandmeansquareerroristhatthemeansquareerrortakescaremoreofanaccountfordatavaluesthatarefartherawayfromthepredictionvalues.Inotherwords,datathatfallsfarfromitspredictorhasalargereffectonthemeansquareerrorthanthemeanerror.Becausetwonumbers'differencesbecomegreaterwhentwonumbersaresquared.GenerallyStatisticiansusethesquaremeanerrorinanalyses,sowewilltoo.Here,Wehaveabettercomprehensionforthealgorithmbytakingdeeplyresearch，andtaketheLeastsquaremethodandColumnprincipleeliminationmethodtosolvethenormalequationsbyusingimprovedSquareRootMethod.Keywords:Curvefitting;Leastsquaremethod;Columnprincipleeliminationmethod;SquareRootMethod第一章曲线拟合算法的简介什么是曲线拟合算法1.1.1曲线拟合的大体思想曲线拟合用持续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处置方式。用解析表达式逼近离散数据的一种方式。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测取得量x与y的一组数据对(x,y),i1,2,••••••m，其中各x是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材iii料规律相适应的解析表达式，y=f(x,c)来反映量x与y之间的依赖关系，即在必然意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x,c)常称作拟合模型,式中c=(c1,c2,…cn)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，不然称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常常利用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)ek=yk—f(xk,c)的加权平方和达到最小，现在所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方式，对于线性模型一般通过成立和求解方程组来肯定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方式求得所需参数才能取得拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时刻的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。对于某些非线性的资料能够通过简单的变量变换使之直线化，如此就可以够按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时按照需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。在实际问题中，如何由测量的数据设计和肯定“最切近”的拟合曲线？关键在于选择适当的拟合曲线类型，有时按照专业知识和工作经验即可肯定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情形下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方式找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。判断最佳拟合那个数据的曲线的一个方式是通过找到误差的平均值，分析绝对误差。平均误差越小方程拟合的越好。分析这条曲线的另一个办法是找到均方误差。咱们用均方误差代替找平均误差。一样，均方误差越小，方程拟合的越好。平均误差和均方误差之间最主要的不同是均方误差考虑那些远离预测值的数据值。换句话说，远离预测值的数据对均方误差的影响要比平均误差更大。这是因为当一个两位数取平方时，若是他们没有被平方，他们的差会变大。1.1.2曲线拟合的概念曲线拟合(curvefitting)是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线拟合的方式很多。实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时刻的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。对于某些非线性的资料能够通过简单的变量变换使之直线化，如此就可以够按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时按照需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。在实际问题中，如何由测量的数据设计和肯定“最切近”的拟合曲线？关键在于选择适当的拟合曲线类型，有时按照专业知识和工作经验即可肯定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情形下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方式找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。曲线拟合用持续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处置方式。用解析表达式逼近离散数据的一种方式。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测取得量x与y的一组数据对(xi,yi)(i=1，2,…m),其中各xi是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x,c)来反映量x与y之间的依赖关系，即在必然意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据°f(x,c)常称作拟合模型，式中c=(c1,c2,...cn)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，不然称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常常利用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)ek=yk—f(xk,c)的加权平方和达到最小，现在所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方式，对于线性模型一般通过成立和求解方程组来肯定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方式求得所需参数才能取得拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。可化为线性拟合的非线性拟合有些非线性拟合曲线能够通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处置。对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。表1-1列举了几类经适当变换化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系。表1-1曲线拟合方程及变换方式曲线拟合方程变换关系变换后线性拟合方程y=axby二Iny,x二Inxy=a曲线拟合方程变换关系变换后线性拟合方程y=axby二Iny,x二Inxy=a+bx(a=Ina)y=ax+cxy=—ax+b—1—1y=,x=yxy=a+bx1y=—ax+b-1

y=-yy=b+axy=ax2+bx+c-1

y=-yy=ax2+bx+cyy=ax2+bx+cy=ax2+bx+c数据接近于直线，故宜采用线性函数y=a+bx拟合；数据散布接近于抛物线，可采用二次多项式y=a+ax+ax2拟合；数据散布特点是开始曲线上升较快随后012仕逐渐变慢，宜采用双曲线型函数y=^^或指数型函数y=ae-x；数据散布特ax+b点是曲线开始下降快，随后逐渐变慢，宜采用y=^^或y=1或y=ae-bxax+ba+bx2等函数拟合。第二章曲线拟合算法的研究曲线拟合的国内外研究现状2.1.1曲线拟合的目的及意义实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时刻的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合(curvefitting)是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线拟合的方式很多。对于某些非线性的资料能够通过简单的变量变换使之直线化，如此就可以够按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时按照需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。在实际问题中，如何由测量的数据设计和肯定“最切近”的拟合曲线？关键在于选择适当的拟合曲线类型，有时按照专业知识和工作经验即可肯定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情形下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方式找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。总之曲线拟合在实际问题中应用超级普遍。曲线拟合的国内外研究现状曲线拟合的最小二乘法在应用科学中具有重要作用，它是离散点的最佳平方逼近，由哈尔条件可证明解的存在唯一性，而采用离散点正交多项式可避免解法方程时出现的病态问题，为用多项式做最小二乘模型提供了可行的算法。对于利用曲线拟合算法来预报转子位置，从而更准确地控制各相绕组开通与关断的新方式，位置检测环节是开关磁阻电动机(SRM)驱动系统的重要组成部份，检测到的位置信号既是绕组开通与关断的依据，也为转速闭环控制提供了转速信息。基于非通电相加鼓励脉冲判断SRM转子位置的方式［1］，成立了最高鼓励脉冲频率的数学模型，分析了其对位置检测精度的影响，提出了利用曲线拟合的最小二乘算法来预报转子位置以提高控制精度的新方式，从而提高了无位置传感器SRM驱动系统的运行性能［2］。此刻国内外许多科学家都致力于曲线拟合算法的研究，例如，有人发明提出了一种反问题的运算机曲线拟合方式，该方式包括步骤：将实际测试数据和缺省模型的理论曲线画在运算机显示屏幕的同一图形显示区内；判断缺省模型是不是合理，若是缺省的理论模型与实测数据的曲线形态一致，则以为缺省模型合理，不然从头选择缺省模型；选择模型参数；判断选择参数对理论曲线形状的影响，通过可视化操作改变理论曲线的形态，使之与实际曲线的形态一致；判断曲线位置是不是一致，若不一致则移动实际曲线位置；计算反问题的解。2.1.3曲线拟合研究设计内容曲线拟合是用持续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系，用解析表达式逼近离散数据的一种方式。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测取得量x与y的一组数据对(xi,yi)(i=l,2,...m),其中各xi是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)来反映量x与y之间的依赖关系，即在必然意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x,c)常称作拟合模型，式中c=(c1,c2,...cn)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，不然称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常常利用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)ek=yk—f(xk,c)的加权平方和达到最小，现在所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。对于线性模型一般通过成立和求解方程组来肯定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方式求得所需参数才能取得拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。本课题拟总结有关类型的曲线的拟合的各类方式，并对其给出综合评价，提出新的一种曲线拟合算法或对已有的算法进行改良优化，目标是比起已有的算法，收敛速度更快，更节省时刻。曲线拟合的最小二乘法2.2.1最小二乘法的大体原理和多项式拟合1.最小二乘法的大体原理最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方式求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。它通常常利用于曲线拟合。很多其他的优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表达。比如从最简单的一次函数y=kx+b讲起。已知坐标轴上有些点,,,,(3,,(4,6),,，求通过这些点的图象的一次函数关系式。固然这条直线不可能通过每一个点，咱们只要做到5个点到这条直线的距离的平方和最小即可,这这就需要用到最小二乘法的思想•然后就用线性拟合来求。从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点(x,y)(i=0,1,…,m)误差iir-p(x)一y(i=0,1,…,m)TOC\o"1-5"\h\ziii的大小，常常利用的方式有以下三种：一是误差r二p(x)-y(i=0,1，…,m)绝对值iii的最大值max|r，即误差向量r=(r,r,r)t的*一范数；二是误差绝对值的和i01m0<i<m区|r，即误差向量r的1一范数；三是误差平方和迟r2的算术平方根，即误差iii=0i=0向量r的2—范数；前两种方式简单、自然，但不便于微分运算，后一种方式相当于考虑2―范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和区r2来气宇误ii=0差r(i=0，1，…，m)的整体大小。i数据拟合的具体作法是：对给定数据(x,y)(i=0,1,…，m)，在取定的函数ii类①中，求p(x)w①，使误差r=p(x)-y(i=0,1,…,m)的平方和最小，即iii

迟r2二迟[p(x)—y]=miniiii=0i=0从几何意义上讲，就是寻求与给定点(x,y)(i=0丄…,m)的距离平方和为最ii小的曲线y=p(x)(图2-1)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方式称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类①可有不同的选取方式.图2-1图2-12.多项式拟合假设给定数据点(x,y)(i=0,1,…,m),①为所有次数不超过n(n<m)的多项ii式组成的函数类，现求一p(x)=工axkw①，使得nkk=0(2-1)I=迟[p(x)—y]二迟(工axk—y)=min(2-1)niikiii=0i=0k=0当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，知足式(2-1)的p(x)称为最小二乘n拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然I=迟(工axk—y)kiii=ok=o为a,a,…a的多元函数，因此上述问题即为求I=I(a,a,…a)的极值问题。01n01n由多元函数求极值的必要条件，得(2-2)(2-3)—二2迟(工axk—y)xj二0,j=0,1,...,n沁k/ii(2-2)(2-3)/i=0k=0TOC\o"1-5"\h\z工(区xj+k)a=迟xjy,j=0,1,...,n

ikzik=0i=0i=0(2-3)是关于a,a,…a的线性方程组，用矩阵表示为01n(2-4)(2-4)(2-4)(2-4)m+1区xm+1区xi...£区x厶x2£0…厶xii=0：ii=0：i=0:迟xn区xn+1...迟:ii=0ii=0i=0ii「a1書y10a.1厶xyii:i=0：an」迟xnyiiLi=o」Xni式(2-3)或式(2-4)称为正规方程组或法方程组。能够证明，方程组(2-4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式(2-4)中解出a(k=0,l,…，n),从而可得多项式k(2-5)p(x)=工axk(2-5)TOC\o"1-5"\h\znkk=0能够证明，式(2-5)中的p(x)知足式(2-1)，即p(x)为所求的拟合多项式。nn咱们把区［p(x)-y1称为最小二乘拟合多项式p(x)的平方误差，记作niini=02=Xtp(x)-y]2niii=0由式(2-2)可得(2-6)i=0H2=区yi2-^q(区xik(2-6)i=0多项式拟合的一般方式可归纳为以下几步:(1)k=0i=多项式拟合的一般方式可归纳为以下几步:(1)由已知数据画出函数粗略的图形一一散点图，肯定拟合多项式的次数n；列表计算区xj(j=0,1,…,2n)和区xjy(j=0,1,…,2n)；iiii=0i=0写出正规方程组，求出a,a，…,a；01n写出拟合多项式p(x)=£axk。nkk=0在实际应用中，n<m或n<m；当n=m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式⑶。例1测得铜导线在温度T(°C)时的电阻R(0)如表2-1，求电阻R与温度Tii的近似函数关系。表2-1i012345T(C)iR(⑵i表2-3810表2-3810解画出散点图（图2-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1,拟合函数为列表如下表2-2正规方程组为「a「565.5_0=a1-1丄20029.4457245.3245.39325.83解方程组得a=70.572,a=0.92101故得R与T的拟合直线为R二70.572+0.921T利用上述关系式，能够预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=,即预测温度T=-242.5°C时，铜导线无电阻。图2-2例2已知实验数据如下表i01234567xi13456789yi1054211234试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解设拟合曲线方程为y=a+ax+ax2012列表如下表2-4Ixiyix2ix3ix4ixyiix2yii0110111101013592781154524416642561664352251256251050461362161296636571493432401749682645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正规方程组_952381］「a_0523813017a=1381301725317a1-2」「32_1471025解得a=13.4597,a=—3.6053,a=0.2676012故拟合多项式为y二13.4597—3.6053+0.2676x22.2.2—般最小二乘拟合多项式拟合形式比较规范，方式也比较简单，但在实际应用中，针对所讨论问题的特点，拟合函数可能为其他类型，如指数函数、有理函数、三角函数等，这就是一般最小二乘拟合问题。1.线性最小二乘拟合设9(x),9(x),・・q(x)为n+1个线性无关(与向量的线性无关概念类似)的TOC\o"1-5"\h\z01n持续函数，①为9(x),9(x),・・・9(x)所张成的n+1维线性空间，即由其所有线性01n组合£a9(x),agR(k=0,1,…,n)组成的集合，记作kkkk=0①二span^9(x),9(x),…,9(x)}01n任取p(x)g①，则p(x)=£a9(x)，它是关于a,a，…,a的线性函数。kk01nk=0对已知数据点(x,y)(i=0,1，…,m)，在①中求一p(x)，使得iiI=£[p(x)—yj=£工a9(xI=£[p(x)—yj=£工a9(x)-ykkiiLk=02=min(2-7)iii=0i=0这就是一般线性最小二乘拟合问题⑷。同多项式拟合完全类似，上述问题归结为多元函数的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，可得刃=2区(工a9(x)-y)9(x)=0,j=0,1,...,nljlQak'klji=0k=0(x)p(x)ajiki=另9(x)y,j=0,1,…,njiii=0(2-8)它是关于

法方程组,

记a,a，…,a的线性方程组，即为一般线性最小二乘拟合的正规方程组或01n系数矩阵为对称矩阵。9=(9(x),9(x),^9(x))t,k=0,1,…,nkk0k1kma=(a,a，…，a)T,y=(y,y，…，y)T01n01m式(2-8)(9,9)=£9(x)9(x),j,k=0,1,…,njkjikii=0(9,y)=£9(x)y,j=0,1,…,njjLLi=0可用矩阵表示为(2-9)(2-9)(2-9)(2-9)~(q,q)(q,q)…(q,q)a「(q,y)—00010n00(q,q)(q,q)…(q,q)a(q,y)1.0i.11n=(q,q)Ln0(q,q)n1…(q,q)nnan」(q,y)n式(2-9)也可表示为(2-10)GtGq=GT(2-10)若是G的列向量组线性无关，即R(G)=n+1，则正规方程组(2-9)或(2-10)存在唯一解a=a,a，…,a，从而p(x)=£a申(x)为知足式(2-7)的最小二乘拟01nkkk=0合函数。显然，式(2-9)或式(2-10)的解a=a,a，…,a是超定方程组Ga=y01n的最小二乘解。特别地，当取申=xk(k=0,1，…n)时，即为多项式拟合，所以多项式拟合是k一般最小线性二乘拟合的特殊情形。例3已知一组数据如下表，在①二span{1,ex,e-x}中求其拟合函数。表2-502xiyi解设拟合函数为p(x)=a+aex+ae-x012即q(x)=1,*(x)=ex,q(x)=e-x

012代入式(2-10)得120.904842.202542.202542.407150.74082,y=2.615920.670322.830960.606653.054480.548813.288761111.1051711.22140G=11.3498611.4918211.6487211.82212所以「79.639095.29005-「18.3998「GtG=9.6390913.799276.9999,GTy=26.157185.290056.99994.1562713.456872222kk=0解正规方程组GTGa=GTy得a二1.98614,a二1.01700,a=—1.00304

012故所求拟合曲线为y=1.98614+1.01700ex—1.00304e-x2.2.3最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理1设节点x,x,…,x互异，则方程组(2-10)的解存在唯一。01n证由克莱姆法则，只需证明方程组(2-10)的系数矩阵非奇异即可。用反证法，设方程组(2-10)的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组i=0：iii=i=0：iii=0：VV厶(xn厶(xn+1ii1-i=0i=0XxniX0厶xn+1ii=0：a0a.1—王1X0厶xyiii=0：Xx2nii=0」an」XxnyiiLi=0」(2-11)有非零解。式(2-11)可写为(2-12)y(Xxj+k)a=0,j=0,1,…,n(2-12)ikk—0i—0将式(2-12)中第j个方程乘以a.(j=0丄…，n),然后将新取得的n+1个方程左jjikj=0k=0i=0右两头别离相加,得Xa[X(Xxj+kjikj=0k=0i=0因为jj=0其中aaxjj=0其中aaxj+kkjii=0j=0k=0axjji丿i=0、j=0丿厶axkkik=0丿上［p(x)『nii=0p(x)=yaxknkk=0所以p(x)—0(i=0,1,…,m)nip(x)是次数不超过n的多项式，它有m+1>n个相异零点，由代数大体定理，n必需有a—a—…a—0，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组01n(2-10)必有唯一解。定理2设a,a，…,a是正规方程组(2-10)的解，则p(x)=Xaxk是知01nnk

足式（2-7）的最小二乘拟合多项式。证只需证明，对任意一组数b,b，…,b组成的多项式Q（x）二工bxk，恒TOC\o"1-5"\h\z01nnkk=0

有区［Q(x)-y］2'区［p(x)-y］2niiniii=0i=0即可。区［Q(x)-y］2—迟［p(x)-y］2niiniii=0i=0=瓦［Q(x)-p(x)］2+2瓦［Qnininininiii=0i=0>0+2瓦工［(b—a)xj］•［^^axk—y］=2^^{(b—a正［(工jjikiijjkiiii=0j=0k=0j=0i=0k=0因为a,(k=0,l,…，n)是正规方程组(2-10)的解，所以知足式(2-8)，因此有k区［Q(x)-y］2-区［pniiniii=0i=0故p(x)为最小二乘拟合多项式［5］。n2.2.4多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严峻；拟合节点散布的区间［x,x］偏离原点越远，病态越严峻；0mx（i=0,1，…，m）的数量级相差越大，病态越严峻。i为了克服以上缺点，一般采用以下办法：尽可能少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；不利用原始节点作拟合，将节点散布区间作平移，使新的节点齐关于原点对i称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。平移公式为：(2-13)(2-14),i=0,1，…,(2-13)(2-14)③对平移后的节点x（i=0,1，…，m）,再作紧缩或扩张处置:ix+=px,i=0,1，…,mii其中pp二,(r是拟合次数)(2-15)pp二,(r是拟合次数)(2-15)2r/(x)2r"'i=0通过如此调整能够使x+的数量级不太大也不过小，特别对于等距节点ix=x+ih(i=0,1,…,m)，作式(2-14)和式(2-15)两项变换后，其正规方程组i0的系数矩阵设为A,则对1〜4次多项式拟合，条件数都不太大，都能够取得满意的结果。变换后的条件数上限表如下：表2-6拟合次数1234cond2(A)=1<<<435④在实际应用中还能够利用正交多项式求拟合多项式。一种方式是构造离散正交多项式；另一种方式是利用切比雪夫节点求出函数值后再利用正交多项式。这两种方式都使正规方程组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态性⑹。例4m=19,xo=328,h=1,x1=x°+ih,i=0,1,・・・，19,即节点散布在[328,347],作二次多项式拟合时，直接用x构造正规方程组系数矩阵A，计算可得i0cond(A)=2.25x101620严峻病态，拟合结果完全不能用。作平移变换TOC\o"1-5"\h\z-328+347.0119x=x-,i=0,1,•T9ii2用x构造正规方程组系数矩阵A，计算可得1cond(A)=4.483868x101621比cond(A)降低了13个数量级，病态显著改善，拟合效果较好。0取紧缩因子沁0.1498丈(x)41i=0作紧缩变换x+=px,i=0,1,…,19。用x+构造正规方程组系数矩阵A，计算可iii2得cond(A)=6.839，又比cond(A)降低了3个数量级，是良态的方程组，2221拟合效果十分理想。如有必要，在取得的拟合多项式p(x+)中利用原来节点所n对应的变量X,可写为小/、//x+x、、Q(x)=p(p-(x-om))nn2仍为一个关于X的n次多项式，正是咱们要求的拟合多项式。第三章曲线拟合算法的评价曲线拟合用持续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处置方式。用解析表达式逼近离散数据的一种方式。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测取得量x与y的一组数据对(比，yi)(i=l,2,…m),其中各xi是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x,c)来反映量x与y之间的依赖关系，即在必然意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(C],c2，...cn)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，不然称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常常利用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)ek=yk—f(xk，c)的加权平方和达到最小，现在所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方式，对于线性模型一般通过成立和求解方程组来肯定参数，从而求得拟合曲线。至于非线性模型，则要借助求解非线性方程组或用最优化方式求得所需参数才能取得拟合曲线，有时称之为非线性最小二乘拟合。实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时刻的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。对于某些非线性的资料能够通过简单的变量变换使之直线化，如此就可以够按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时按照需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。在实际问题中，如何由测量的数据设计和肯定“最切近”的拟合曲线？关键在于选择适当的拟合曲线类型，有时按照专业知识和工作经验即可肯定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情形下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方式找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。对于解AX=