2024年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量

§7.1基本立体图形、简单几

何体的表面积与体积第七章立体几何与空间向量1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活

中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决

简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形

底面互相

且_____多边形互相

且_____平行全等平行相似侧棱___________相交于

但不一定相等延长线交于_____侧面形状________________________平行且相等平行四边形一点三角形梯形一点(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相等，

于底面相交于_____延长线交于______

垂直一点一点轴截面______________________________侧面展开图________________

矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用

.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面

.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍

，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度

，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的

.斜二测画法垂直分别平行于坐标轴不变一半3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝_____S圆台侧＝__________2πrlπrlπ(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表＝S侧＋2S底V＝____锥体S表＝S侧＋S底V＝

Sh台体S表＝S侧＋S上＋S下球S表＝______Sh4πR21.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形.(

)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(

)(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(

)(4)锥体的体积等于底面积与高之积.(

)××××1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是A.四棱台

B.四棱锥C.四棱柱

D.三棱柱√由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱.2.下列说法正确的是A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行√由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形.3.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为√设圆锥底面圆的半径为rcm，母线长为lcm，依题意得2πr＝πl，∴l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).探究核心题型第二部分例1

(多选)下列说法中不正确的是A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何

体是圆台B.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.棱台的各侧棱延长后必交于一点题型一基本立体图形命题点1结构特征√√√由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.例2

已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为命题点2直观图√方法二由题意知A′B′＝1，命题点3展开图例3

如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为A.12cm B.13cm√空间几何体结构特征的判断技巧(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化.思维升华跟踪训练1

(1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为√根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，(2)(多选)下列命题中不正确的是A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为

直四棱柱C.不存在每个面都是直角三角形的四面体D.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等√√√A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C不正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.√设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl，∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr，命题点1表面积例4

(1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A.8π B.4π C.8 D.4题型二表面积与体积以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为圆柱，其底面半径r＝2，高h＝2，∴所得圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π×2×2＝8π.√√结合题目边长关系，三棱锥如图所示，由题意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD命题点2体积例5

(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为√作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为√如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，又

＝23＝8，求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2

(1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度.其中小雨(<10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级A.小雨

B.中雨

C.大雨

D.暴雨√(2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm，底面边长为7cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为A.120cm2

B.162.7cm2C.785.4cm2

D.1570.8cm2√根据正六棱柱的底面边长为7cm，得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7＝785.4(cm2)，所以至少需要绒布的面积为785.4cm2.课时精练第三部分12345678910111213141516基础保分练√设圆锥的高为h，底面圆半径为r，123456789101112131415162.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x′轴、y′轴平行)，则原图形△AOB的面积是A.8 B.16C.32 D.6412345678910111213141516√根据题意，如图，原图形△AOB的底边OB的长为4，高为16，3.(多选)下列说法不正确的是A.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体12345678910111213141516√√√12345678910111213141516选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.4.(2022·莆田模拟)已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为12345678910111213141516设圆锥的母线长为l，圆锥的底面圆半径为r，如图.由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，√123456789101112131415165.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为√12345678910111213141516如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ，则由题意可得2π×4＝12θ，在△POP′中，OP＝OP′＝12，则小虫爬行的最短路程为123456789101112131415166.(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(≈2.65)A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3√12345678910111213141516如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积＝1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.7.如图，在正四棱锥P－ABCD中，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则棱锥A－B1CD1与棱锥P－ABCD的体积之比是A.1∶4

B.3∶8

C.1∶2

D.2∶3√1234567891011121314151612345678910111213141516棱锥A－B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P－ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到的.因为B1为PB的中点，D1为PD的中点，所以棱锥B1－ABC的体积和棱锥D1－ACD的体积都是正四棱锥P－ABCD的体积的

，棱锥C－PB1D1的体积与棱锥A－PB1D1的体积之和是正四棱锥P－ABCD的体积的

，则∶VP－ABCD＝1∶4.123456789101112131415168.(多选)(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为

米，则A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为24平方米D.正四棱锥的侧面积为12平方米12345678910111213141516√√如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a米.因为∠SHO＝30°，12345678910111213141516123456789101112131415169.如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为____.812345678910111213141516如图，连接AG，AD，则V六面体ABC－FEDG＝V四棱锥A－FEDG＋V四棱锥A－BCDG＝2V四棱锥A－FEDG，由题意得，EF＝2，DG＝4，FG＝AF＝2，∴V六面体ABC－FEDG＝8.10.(2022·张家口模拟)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB＝3BD，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______.1234567891011121314151612345678910111213141516设AB＝BD＝m，因为AC＝3AB＝3m，所以BC＝2m，则圆柱的侧面积S1＝2πr·BC＝4πm2，11.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B－AMNC的体积为______.12345678910111213141516如图，连接AN，对于三棱锥B－ACN，B－AMN，显然它们等底同高，故VB－ACN＝VB－AMN，而VB－ACN＝VN－ABC，注意到CN＝C1N，于是三棱锥N－ABC的高是三棱柱ABC－A1B1C1的一半，且它们都以△ABC为底面，1234567891011121314151612.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成.已知正四棱柱的底面边长为3cm，这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为______，体积为________cm3.12345678910111213141516812345678910111213141516公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共8面.13.(2022·徐州模拟)如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落处，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是A.15π B.36πC.45π D.48π12345678910111213141516综合提升练√12345678910111213141516如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，因为MN平行于地面，故∠MNF＝30°，因为椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，故NF＝18－12＝6，123456789101112131415161234567891011121314151614.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.等于√12345678910111213141516方法一

由甲、乙两个圆锥的母线长相等，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.12345678910111213141516由勾股定理得，故选C.12345678910111213141516方法二设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，由题意知n1＋n2＝2π，故选C.1234567891011121314151615.(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是12345678910111213141516拓展冲刺练√√√12345678910111213141516因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，所以△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，如图所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE＋EC1的最小值为1234567891011121314151616.(2023·榆林模拟)如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为

cm2的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为_____________cm3.1234567891011121314151612345678910111213141516设圆锥的底面半径为rcm，圆柱形冰块的底面半径为xcm，高为hcm，12345678910111213141516§7.2球的切、接问题

[培优课]第七章立体几何与空间向量球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心.例1

(1)(2023·宣城模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝

，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是A.14π B.16π C.18π D.20π√题型一定义法由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos45°则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，又△PAC为直角三角形，所以PC是三棱锥P－ABC外接球直径，设O是PC的中点，即为球心，又AC＝4，PA＝2，(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为

，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.100π B.128πC.144π D.192π√由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，解得OO1＝4(舍去)；解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.综上，该球的表面积为100π.到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.思维升华跟踪训练1

已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为√由题意作图如图，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，例2

(1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为题型二补形法√因为在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以折起后OD，OE，OF两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体的外接球.设正方形ABCD的边长为2，则OD＝2，OE＝1，OF＝1，三棱锥O－DEF的表面积S＝4，(2)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为____，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为_____.6π如图，添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，方法一如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，AO即为球的半径，所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π.方法二因为CE，CB，CD两两垂直，故将直三棱柱ADF－BCE补成长方体，设外接球的半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π.(1)补形法的解题策略①侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解.(2)正方体与球的切、接问题的常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，√在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径.设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，(2)(2023·焦作模拟)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝

，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为______.34π根据题意，三棱锥P－ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.例3

(1)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为A.12π B.16π C.20π D.32π题型三截面法√如图，连接AC，BD，AC∩BD＝G，取AD的中点E，连接PE.∵四边形ABCD为矩形，∴G为四边形ABCD的外接圆圆心；∵△PAD为等边三角形，∴M为△PAD外接圆圆心，过G，M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线，则两垂线的交点即为球O的球心O，连接OP，∵△PAD为等边三角形，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG；同理可得，OM∥EG，∴四边形OMEG为矩形；∴球O的表面积S＝4πR2＝16π.(2)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为√依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大.设健身手球的半径为R，则健身手球的最大直径为4.因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球.(1)与球截面有关的解题策略①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.√则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A.如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B.则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，(2)(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为

，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为A.3π B.4π C.9π D.12π√如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，AB为球的直径，所以△ACD∽△CBD，因此，这两个圆锥的体积之和为课时精练第三部分1234567891011121.(2023·岳阳模拟)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为√123456789101112因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长为2，123456789101112√123456789101112可将三棱锥P－ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P－ABC的外接球即为长方体的外接球，123456789101112√√√123456789101112三棱锥P－ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，取BC的中点O1，∴O1为△ABC的外接圆圆心，∴OO1⊥平面ABC，如图.当OD⊥截面时，截面的面积最小，123456789101112∴截面面积为πr2＝π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π].4.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为A.π B.2π C.3π D.4π√123456789101112123456789101112过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，123456789101112√123456789101112根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，123456789101112√√√123456789101112设正方体的棱长为a，∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，解得a＝2，即正方体的棱长为2，1234567891011127.(2022·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为123456789101112√123456789101112将该多面体放入正方体中，如图所示.所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，8.(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为123456789101112√123456789101112该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大.设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，1234567891011121234567891011129.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，表面积为S1，球O的体积为V2，表面积为S2，设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，10.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.123456789101112123456789101112因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线长BS＝3，底面半径BC＝1，不妨设该内切球与母线BS切于点D，11.(2023·洛阳模拟)已知在三棱锥P－ABC中，AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______.12345678910111250π123456789101112因为AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，所以△ABC的面积为定值，所以当PA⊥平面ABC时，该三棱锥体积最大.如图，取线段PC的中点O，则OP＝OA＝OB＝OC，所以点O为三棱锥外接球的球心，12345678910111212.(2023·濮阳模拟)在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝2，AC＝

，BD＝4，BD⊥平面ABC，则三棱锥D－ABC外接球的表面积为______.12345678910111232π123456789101112∵BD⊥平面ABC，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示，故三棱柱的上、下底面三角形的外接圆圆心在底边中线的延长线上，设为O1，O2，易得∠O1BC＝60°，故O1B＝O1C＝BC＝2，∴三棱柱外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点O，即为三棱锥D－ABC外接球球心，123456789101112设该外接球半径为R，故三棱锥D－ABC外接球的表面积为4πR2＝32π.§7.3

空间点、直线、平面

之间的位置关系第七章

立体几何与空间向量1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、

直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.基本事实1：过_______________的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____过该点的公共直线.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______.不在一条直线上两个点一条平行2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面.3.空间中直线与直线的位置关系相交平行相交共面直线_____直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；_____直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点.平行任何

图形语言符号语言公共点直线与平面相交

____________个平行

___________个在平面内

_____________个4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系a∩α＝A1a∥α0a⊂α无数平面与平面平行

___________个相交

______________个α∥β0α∩β＝l无数5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________.6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：______.相等或互补1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(

)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.(

)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(

)(4)两两相交的三条直线共面.(

)××××1.(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是A.BM与ED平行B.CN与BM成60°角C.CN与BE是异面直线D.DM与BN是异面直线√√正方体的直观图如图所示.很显然，BM与ED不平行，故A错误；连接AN，AC，易知△ACN是等边三角形，CN与BM所成角即为∠ANC＝60°，故B正确；连接BE，易知CN∥BE，故C错误；连接BN，DM，易知DM与BN是异面直线，故D正确.2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与bA.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.√3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；AC＝BD∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形.AC＝BD且AC⊥BD∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.探究核心题型第二部分例1

已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；题型一基本事实的应用如图所示，连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.(3)DE，BF，CC1三线交于一点.因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点.共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.思维升华跟踪训练1

(1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M√因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.①证明：四边形BCHG是平行四边形；故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形.②C，D，F，E四点是否共面？为什么？C，D，F，E四点共面.理由如下：由①知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.命题点1空间位置关系的判断例2

(1)(多选)下列推断中，正确的是A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合√题型二空间位置关系的判断√√对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确.(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.异面或平行

B.异面或相交C.异面

D.相交、平行或异面√如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面.命题点2异面直线所成的角例3

(1)如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为√连接AO2，设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E，连接CE，易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，连接CD(图略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝

，CD＝1.(2)(2023·长治模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为BB1上一点，平面AEC1将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AE与B1C1所成角的余弦值为√如图，作C1H⊥A1B1于点H，设B1E＝x，易得AC⊥平面BB1C1C，平面AEC1将三棱柱分为两个体积相等的四棱锥C1－A1AEB1和A－BCC1E，即

＝

，则x＝1，所以E为BB1的中点，取CC1中点为F，连接EF，则EF∥B1C1，∠AEF(或其补角)即为异面直线AE与B1C1所成角，(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型.(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，

形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练2

(1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线√√因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确.(2)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝

SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为√如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角.∴在等腰△SCF中，(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为√例4

(1)(多选)用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是A.这两部分的表面积一定不相等B.截面不会是三角形C.截面不会是五边形D.截面可以是正六边形题型三空间几何体的切割(截面)问题√√√如图，一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则平面α一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积相等，根据对称性，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形(如图).(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，以D1为球心，

为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______.如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.跟踪训练3

(1)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.梯形√√√当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE>CF时，截面是梯形；截面不可能是正方形.(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为_____.如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，设等腰梯形MNDB的高为h，∴梯形MNDB的面积为课时精练第三部分1.若直线上有两个点在平面外，则A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内12345678910111213141516√基础保分练根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.2.(多选)下列命题中不正确的是A.空间四点共面，则其中必有三点共线B.空间四点不共面，则其中任意三点不共线C.空间四点中有三点共线，则此四点不共面D.空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面√12345678910111213141516√√12345678910111213141516对于平面四边形来说不成立，故A不正确；若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故B正确；由B的分析可知C不正确；平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D不正确.123456789101112131415163.已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系A.两两垂直

B.两两平行C.两两相交

D.两两异面√12345678910111213141516如图1，可得a，b，c可能两两垂直；如图2，可得a，b，c可能两两相交；如图3，可得a，b，c可能两两异面.123456789101112131415164.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是

的中点，F是AB的中点，则A.AE＝CF，AC与EF是共面直线B.AE≠CF，AC与EF是共面直线C.AE＝CF，AC与EF是异面直线D.AE≠CF，AC与EF是异面直线√12345678910111213141516如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是

的中点，F是AB的中点，AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线，故A，B错误；5.如图，已知四面体ABCD

的各条棱长均等于4，E，F

分别是棱AD，BC

的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α

去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为√12345678910111213141516将正四面体补成正方体如图所示，由于EF⊥平面α，且平面α与四面体的每一个面都相交，故截面为平行四边形MNKL，且KL＋KN＝4，又KL∥BC，KN∥AD，且AD⊥BC，∴KN⊥KL，∴

平行四边形MNKL

为矩形，1234567891011121314151612345678910111213141516当且仅当KN＝KL＝2时取等号.123456789101112131415166.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为√12345678910111213141516方法一如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP.12345678910111213141516方法二以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，12345678910111213141516方法三如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点.123456789101112131415167.(2023·广州模拟)如图为四棱锥A－DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是线段DF的中点，请写出四棱锥A－DEFG中一对一定相互垂直的异面直线____________________________________.(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形)AE，DF(或AE，DG或AE，GF或AG，DF)还原该四棱锥的直观图如图所示，连接DF和GE，相交于点O，连