新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解48-直线与圆锥曲线(解析版)6230

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题9.6直线与圆锥曲线【考纲解读与核心素养】1.会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题.2．了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法.3．理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用.4．培养学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象、数据分析等核心数学素养.5.高考预测：（1）考查直线与椭圆的位置关系；（2）考查直线与抛物线的位置关系；（3）考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题.（4）命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.1/22(1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质；（2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线位置关系题型的解法；（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.【知识清单】知识点1．直线和圆锥曲线的位置关系lClAxByC判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程＋＋＝AB0(，CFxy不同时为0)代入圆锥曲线的方程(，)＝0，消去yx(也可以消去)得到一个关于变xy量(或变量)的一元方程．Ax＋By＋C＝0，即yaxbxc0.2消去，得＋＋＝Fx，＝y0，aaxbxcΔΔ⇔0时，设一元二次方程＋＋＝0的判别式为，则>0直线与圆2(1)当≠C锥曲线相交；Δ⇔C＝0直线与圆锥曲线相切；Δ⇔C<0直线与圆锥曲线相离．ablC(2)当＝0，≠0时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有ClC一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若l为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．知识点2．“弦”的问题kklAxyBxy(，)，(，)，则1k2kxxkxxxxyy4＝1＋·|－|121＋·＋－22212121k2yy1yy12＝1＋·＋－4.222．处理中点弦问题常用的求解方法(1)．点差法：xx即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有＋，12yy－yy1＋，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求12xx－212得斜率．(2)．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．【典例剖析】高频考点一：直线和圆锥曲线的位置关系C:y4x【典例1】（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆21ABCDC:(x1)2y21，直线经过C的焦点F，自上而下依次交C和C于，，，四点，l2112则ABCD的值为A．14B．12C．1D．2【答案】C【解析】C:y4x因为抛物线的焦点为F(1,0)，21又直线经过C的焦点F，设直线l:ykx，(1)l1y4x2k2x(2k24)xk0，2由得2yk(x1)设A(x,y),B(x,y)，则xx1112212由题意可得：ABAFBFx11x，11同理CDx，2所以ABCDABCDxx1.cos0124/22故选C【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知抛物线：2=3的焦点为，斜率为3CyxF2lCABxP的直线与的交点为，，与轴的交点为．AFBFl（1）若||+||=4，求的方程；AB（2）若AP3PB，求||．【答案】（1）12x8y70；（2）413.3【解析】3（1）设直线方程为：y=xm，Ax,y，Bx,yl211223xx5由抛物线焦半径公式可知：AFBFxx4221212联立3yxm得：9x212m12x4m02y23x2则12m122144m20m12xx12m125，解得：m789212直线的方程为：y3x7，即：12x8y708l22（2）设Pt,0，则可设直线方程为：xytl3联立2xyt得：y22y3t03y23x5/22t13412t0则yy2yy3t，1212y3yy1yy312，y3AP3PB1221则AB14yy24yy134124139331212C1x2y21(a>b>0)的右焦点【典例3】（2020·全国高考真题（文））已知椭圆：a2b2FBC2C1C2Fx与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴重直的直线交于，CA14CDAB3CCD两点，交于，两点，且||=||．2C（1）求的离心率；1C1C2CC（2）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程．12【答案】（1）1；（2）C：21，C：xy2y28x.2116122【解析】y24cx，其中（1）因为椭圆C的右焦点坐标为：F(c,0),所以抛物线C的方程为21ca2b2.xy不妨设A,C在第一象限，因为椭圆C的方程为：21，21ab22cy2bbb所以当xc时，有21y，因此A,B的纵坐标分别为，；222abaaa22，所以当xc时，有y24cxy4ccy2c又因为抛物线C的方程为22，6/222b2所以的纵坐标分别为，，故|AB|2c|CD|4c，.C,D2ca|CD||AB|322(c)48bcc2，解得（舍去），.c12由得4c，即3a23aaaa2C的离心率为1.12所以xy22（2）由（1）知，b，故C:1，所以C的四个顶点坐标分a2c3c4c3c2112(2,0)，，，的准线为xc.(0,3c)(0,3c)别为，(2c,0)cC2c2，即.由已知得3cccc12xy2C的标准方程为21，C的标准方程为.所以y8x2116122【规律方法】直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点yxxy(1)判定方法：直线与圆锥曲线方程联立，消去(或)后当得到关于(或)的一Δ元二次方程时，设其判别式为，Δ⇔①＞0直线与圆锥曲线相交；Δ⇔②＝0直线与圆锥曲线相切；Δ⇔③＜0直线与圆锥曲线相离．(2)关注点：①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为Δ零．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式起着关键性的作用，第一：可以限定Δ所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根；第三：若的表达式非常复杂，7/22则可以采用列而不求，最后验证的策略．提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．【变式探究】1.（2019·河南南阳中学高三开学考试（文））已知抛物线16x的焦点为，过yF24点作直线交抛物线于两点，则的最小值为（）NFFM，Nl9MF2323C.-1D.1A.B.-33【答案】D【解析】2(,)由题意知，抛物线y16x的焦点坐标为(40，).设Mxy，Nxy，(,)1122xmy4代入抛物线方程，将：l可得y16(my4)，且有yy162m，yy641212yy22)816m28，又因为xx16.12161612所以1xxmy14(4mymyy2212由抛物线的定义可得MFx4，NFx4.121111xx8121()，故MFNFx4x4(x4)(x4)41212111由()可得MF4NF，8/224从而有414414113，3NF，NFMFNF9MF9NF当且仅当NF6时取等号.故选D.xy22文））已知椭圆T:1(ab0)长半轴为2，ab222.（2020·四川遂宁�高二期末（且过点(0，1).若过点引两条互相垂直的两直线l、l，若为椭圆上任一点，记点PMMP12到两直线的距离分别为d、d，则122的最大值为（）dd212D．163433A．2B．C．5【答案】B【解析】x2,则椭圆的方程为y21，设4由题意可得a2，b1Px,yl,l中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0.（1）若直线12设直线l的方程为x0，则直线l的方程为y112由Px,y在椭圆x21上，则44xy2y2241312253x1yyyy23所以+dd5，y11212223211643的最大值为.3dd2212故当时，2有最大值，即yd+d233129/22l,l的斜率都存在，且不为（2）当直线0,时12ykx1，即10l的方程为设直线1kxy1则直线yl的方程为xk1，即0xkyk2dkxy1,dxkyk所以11+k21+k22kxy1xkyk22所以d+dxy2y1212221k2244y2y22y153y22y43dd2由（1）可得的最大值为.1223故选：Bx22018·全国高考真题（理））设椭圆C:的右焦点为，过F的直线与y1F2l23.（A,B两点，点M的坐标为(2,0).C交于（1）当与x轴垂直时，求直线AM的方程；l（2）设为坐标原点，证明：OMAOOMB.2x2或y2x2；（2）证明见解析.【答案】（1）AM的方程为y22【解析】F1,0，l的方程为x1（1）由已知得.10/2221,.22由已知可得，点的坐标为或A1,2所以AM的方程为y2x2或y2x2.22（2）当与lx轴重合时，.OMAOMB0当与.lABOMBx轴垂直时，为的垂直平分线，所以OMAOMx轴不重合也不垂直时，设的方程为，Ax,y,Bx,y，ykx1k0当与ll1122yyx2,x2则，直线MA、MB的斜率之和为kk.12x2x2MAMB12122kxx3kxx4k.1212x2x2由ykxk,ykxk得kk1122MAMB12x2k1x24k2x2k220.2将ykx1代入得y12224k2,xx2k22xx2k21所以，2.2k11122则2kxx3kxx4k4k34k12k38k4k0.2k1312122从而kk0，故MA、MB的倾斜角互补，所以OMB.OMAMAMBOMA综上，OMB.【总结提升】1.研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方11/22法求解．2.直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．3.直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．4.直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断.高频考点二：弦长问题和中点弦问题【典例4】（2020·岳麓�湖南师大附中高三三模（文））已知椭圆3xy22C:1(0b2),作倾斜角为的直线交椭圆A,BC于两点,线段AB的中点为44b2M,O为坐标原点与的夹角为,且|tan|3b，则()OMMA6A．1B．2C．3D．2【答案】B【解析】yb2Ax,y,Bx,y,Mx,y，利用“点差法”可得0分析：设，设直线的OMx401122001tanb2tan13,tany倾斜角为，则，又tan4，由4或04x012/22b2143，从而可得结果.1b24Ax,y,Bx,y,Mx,y，详解：设112200x21y2121xxxxyyyy0，124b则，两式作差得1212124x2y2b21224b2yyxy2，即，yb1,01204b020xxx4120设直线的倾斜角为，则或，3tan1,tan41tanOM4b214yb2tan，由3，又0x401b24解得2，即b2，故选B.b2:4x的焦点为，F过点F【典例5】（2019·安徽高三月考（理））已知抛物线Cy232的直线交抛物线于A，两点，为坐标原点，若AOB的面积为，则线段AB的COB2长是（）A.992B.4C.D.8【答案】C【解析】13/222212，不符合题设；x轴时，1当直线垂直于ABSAOB2ykx1(k0)，即kxyk0.当直线不垂直于ABx轴时，设方程为AB点0,0到直线距离kd.ABk21ykx1,联立得k2x2k24xk0，22y4x,2设A(x,y),B(x,y),112)2则由韦达定理得,xx(2k24),xxk21,k2k121221k(xx)24xx所以由弦长公式得,AB212121k((2k24))2412k24(1k2),k2因为的面积为32,AOB214k43222k所以，所以，k82k212k29AB所以.2故选C.F的焦点为，直【典例6】（2019·全国高三月考（文））已知抛物线y2px(p0)214/22M，NMNFp=线l:2xy120与抛物线交于两点，且以线段为直径的圆过点，则（）A.1B.2C.4D.6【答案】B【解析】设Mx,y,Nx,y，1122y2px2联立x，消去得，ypy12p022xy12012p，yyp由韦达定理可得：yy12122xxyy24yy1p12,xx144p4p2236，1224p2221212MN以线段为直径的圆的方程为xxxxyyyy0F，，又其过点1212pxpxyy0，212122pp2xxxxyy0，42121212ppp2422123612p0，p2，故选：BC:x2py(p0)的焦点，【典例7】（2018·浙江学军中学高考模拟）F是抛物线215/22是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为Q，点Q到CM,F,OM3抛物线的准线的距离为.C4（1）求抛物线的方程；C1（2）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点,,ABlMl:xmyC241m2ABQ有两个不同的交点D,E，求当时，的最小值.222DE与圆13.(2).2【答案】(1)x2y2【解析】02p0x2pC:x2py(p0)（1）抛物线F的焦点F0,，设2Mx,(x0),Qa,b20pppp3bp242434由题意可知，则点Q到抛物线的准线的距离为bC42x2yp1，于是抛物线的方程为.解得C221x（2）∵M1,2∴OM垂直平分线方程为y222y22x15236xmy，设∴Q,,r.由得2Ax,y,Bx,y2y4my1014488112216/22∵16m280，∴2,yymyy121212AB21m4m22252m36Q到的距离ld81m2又∵82725m22725m225m28181mm2214DE4∴2323218m252514,12ABDE21m4m22m2，则,522令1m∴tt281m242512514t22t,t,58t4令gtt845，则4AB∴42tt2DE22g't8t225g'6058t24513t∴时.gt24min【规律方法】1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：AB2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点，关于直llABAB线对称，则垂直于直线且，的中点在直线上”的应用．l17/223.求解弦长的四种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．xy(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于或的一元二次方程，利用根与系xxyy数的关系得到(－)2或(－)2，代入两点间的距离公式．1212(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．提醒：利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．【变式探究】xy221.（2019·河北高考模拟（文））已知椭圆1ab0，点为左焦点，Fa2b21M1,，则椭圆且的中点为AB2A,B两点，为下顶点，平行于的直线交椭圆于FPl点P的离心率为（）1B．21C．423D．2A．2【答案】A【解析】1为M，则xxx，y），又AB的中点1,2AB设（x，y），（yy2，1，1122121218/22AB又因为、在椭圆上x212y212x222y2221，1所以ababyyyyb22两式相减，得：1212xxxxa1212yyyy112∵kAB2kxxb，k,1cxx212FPOM12b2bc1c2，22a4acc,∴=,∴，，∴22bc，平方可得4222acaa22a22故选A.x22019·广西高二期末）已知椭圆M:y21，直线与椭圆相交于A,B两lM42.（点，1点D(1,)是弦AB的中点，则直线的方程为__________．l2【答案】x2y20【解析】设Ax,y,Bx,y，因为直线与椭圆相交于A,B两点，lM112219/22x2y211412x22x2整理得142所以有，两式作差得：yy24x22y21142yy1xx14yykAB122，xx12