线性代数方法建模1常染色体基因遗传

第三章线性代数方法建模线性代数是以向量和矩阵为对象，以实向量空间为背景的一种抽象数学工具，它的应用遍及科学技术的国民经济各个领域。本篇通过基因遗传学、投入产出模型等几个例子阐述以线性代数为主要工具建立数学模型的一般方法和步骤。§1常染色体基因遗传常染色体基因遗传中，后代是从每个亲本的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对。模型一、植物基因的分布植物的基因对为AA,Aa,aa这三种。记x(n)——第n代植物中基因AA所占的比例1x(n)——第n代植物中基因Aa所占的比例2x(n)——第n代植物中基因aa所占的比例3x(n)=(x(n),x(n),x(n))t,n=0,1,2,123显然x(n)+x(n)+x(n)=1123由于后代是各从父代和母体的基因对中等可能地得到一个基因而形成自己的基因对,故父代母的基因对和子代各基因对之间的转移概率如下表：子\率代\AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21现在研究采用AA型植物与其它基因植物相结合的方法培养后代。故有

1x(n)=x(n-1)+—x(n-1)111x(n)=x(n-1)+—x(n-1)1122<x(n)=—x(n-1)+x(n-1)222-x(n)=03(n=1,2,…)1/21/200、1，则第n代与第n-1代植物基因型分布的关系为0丿x(n)=Lx(n-1), (n=1,2,…)由⑵得x(n)=Lnx(0),(n=1,2,…)2)3)0，对应的特征向量构成矩阵P=(111「r111)0-1-2，P-1=0-1-2、001,、001,F面把L对角化，求出L的特征值1、1/2、1-A)n1-(!)n-1Ln=P01/204)将(4)代入(3)x(n)=x(0)+[1-(!)n]x(0)+[1-(!)n-1]x(0)112223<x(n)=(!)nx(0)+(!)n-1x(0)2 2 2 3x(n)=03当nta，x(n)T1,x(n)T0,x(n)T0。1 2 3即培育的植物AA型基因所占的比例在不断增加，极限状态下所有植物的基因都是AA型。模型二、常染色体遗传疾病现在世界上发现的遗传病有几千种，这些都是由于父母或家族遗传基因所造成的。常染色体遗传疾病对应的基因型将人口分成三类记AA型一一正常人，Aa型一一隐性患者，aa――显性患者。若在开始时一代人口中AA,Aa，aa型基因的人所占百分比为a,b,c；x(n),x(n),x(n)0 0 0 1 2 3为第n代人口中所占的百分比。控制结合显性患者不能生育后代，隐性患者必须与一个正常人结合才能生育后代。从n=1开始就有x(n)=0，即不再有显性患者，且3递推得由于1x(n)=x(n一1)+—x(n一1)1122<1x(n)=—x(n一1)I2 22(1(n=1,2,…)(x(n)11、x(n)丿211212丿(x(n-1)11l屮-1)丿(x(n)11、x(n)丿2=Cn(a)0Ib丿'o77)(11n (1-2c 10-I2丿01 1-(2)n'1x(n)=a+[1一(一)n]b1020<1x(n)=(_)nbI2 2 0(n=1,2,…)8)可见在控制结合的方案下，隐性患将逐渐消失，这正是我们所希望的结果。自由结合这三种基因的人任意结合生育后代设性别比为1：1)。记A1——父代为AA

B1—母代为AA

C1—子代为AAA2——父代为Aa

B——母代为Aa2

C2—子代为AaA3—父代为aa

B——母代为aa3

C3—子代为aa记x(n一1)x(n一1)=p(AB)=p(A)p(B) (i,j=1,2,3),i j ij i j则由全概率公式，有ijp(C)=x(n)=2p(AB)p(CAB)(k=1,2,3)

k k ij kijiji=1j=1代入后得TOC\o"1-5"\h\z1 1 1x(n)=(x(n一1)+—x(n一1))x(n一1)+(x(n一1)+—x(n一1))—x(n一1)1 22 11 2 2 2 2x(n)=(丄x (n 一1)+x (n一1))x (n一1) +丄(x (n一1) + x (n一1)2 2 3 1 2 1 2+x(n一1))x(n一1)+(x(n一1)+—x(n一1))x(n一1)3 2 1 2 2 3x(n)=丄(丄x(n一1)+x (n 一1))x (n一1)+(x (n 一1)+—x (n 一1))x (n 一1)22 2 3 2 3 2 2 3

化简后得x(n)=x2(n-1)+x(n-1)x(n-1)+—x2(n-1)11242<x(n)=x(n-1)x(n-1)+2x(n-1)x(n-1)+x(n-1)x(n-1)+—x2(n-1)12132322x(n)=x2(n-1)+x(n-1)x(n-1)+—x2(n-1)3 2 3 4 2从n=1开始递推得（记p=a0+牛,q=c°+牛）x(1)=a2+ab+—b2=p210004012)<x(1)=ab+2ac+bc+丄b2=212)00 00 00 20x(1)=c2+bc+丄b2=q20 00 4